淺析多元函數的求導

孫珊珊

【摘?要】多元函數的求導是學習高等數學中必須要掌握的一個點，同時它也是一個難點。本文就來簡單介紹一下多元函數的類型與多元函數的求導法則。研究多元函數的求導能讓我們提升自己的邏輯思維能力和數學素養。

【關鍵詞】多元函數;求導

【中圖分類號】B032.2

在解決許多問題的時候，往往都要使用到函數來解決問題。但如果只使用只有一個自變量的一元函數解決問題，有著很大的局限性，因為很多實際問題都牽扯到很多方面的影響，在數學中就是一個變量依賴于多個變量的情況，所以便引入了多元函數的概念。在高等數學中，多元函數的求導也是很重要的一環，同時呢，與一元函數不同，多元函數的形式多樣，多元函數的求導會繁雜許多，那么掌握多元函數求導的關鍵、分析各種多元函數的類型就特別的重要。本文就簡單的分析一下多元函數的類型，并介紹相對應的求導方法。

多元函數的求導

在一元函數中，因為只有一個自變量，所以可以直接求導。而多元函數的自變量不止一個，至少有兩個，自變量和因變量的關系要比一元函數復雜的多，所以多元函數求導有很多種。

一.偏導數

偏函數就是先考慮多元函數中某一個自變量的變化率，也就是偏某一自變量求導，使用偏導數是多元函數求導的基礎。

四.復合函數

首先我們要清楚復合函數的定義：假設y是u的函數，u又是x的函數，那么就有y=f（u），u=g（x），即y關于x的函數就有y=f [g（x）]，這個函數就叫做函數y=f（u），u=g（x）的復合函數，其中x就是自變量，a就是中間變量，y就是函數值。

在一元復合函數中的求導有鏈式法則：它們的函數關系是y對應u，u對應x。

鏈式法則在多元復合函數中同樣適用，以下就是利用該規則求導的基本步驟。

（1）弄清函數之間的關系，明確有幾條路徑

（2）按照連式法則寫出式子（有幾條路徑就是幾部分的和就是各個路徑之間相加，路徑的每段對應的導數用乘法連起來，分段相乘）。

（3）計算那么在這里我們還要特別注意到如果是一元函數關系就用直立的導，如果是多元函數關系就用偏導。

1.多元函數和一元函數復合（兩個或以上中間變量，一個自變量，中間變量為一元函數）

假設函數和都在x點可導，那么函數就在對應點（u，v）上具有連續偏導數，復合函數就在對應點x可導.

在中，u和v都是有關于自變量x的一元函數，那么復合函數就有兩個中間變量，中間變量對自變量的導數是一元函數導數，所以就有以下求導公式其中稱為全導數。

如果f，u，v都是具體給定的的函數，那么求全導數我們可以直接將中間變量用最終自變量換進去讓它變成一元函數后，通過對一元函數求導就能求出最后結果

例題2：假設函數，其中，可導，求。

解：首先我們要分析其中的函數關系，中間變量是有兩個，即x和y，x和y是關于t的函數其中可導，中間變量是一元函數。所以就用公式：?另外：假設題目中的中間變量不僅有兩個，出現的函數關系，那么我們可以把以上公式改為，同理運用公式便可輕易解出題目。

2.多元函數和多元函數復合（兩個中間變量，兩個自變量，中間變量為多元函數）

假設和在點都有對x和y的偏導數，同時函數在對應點都具有連續偏導數。則復合函數在對應點上的兩個偏導數存在，即可用以下公式：

3.三個中間變量兩個自變量（中間變量既有一元函數也有多元函數）

假設有函數關系，其中，且具有一階連續偏導數，那么復合函數對自變量x和y可求偏導數，公式如下：

總結

數學是原始人類在長期的生活和生產實踐中逐漸形成的，具有嚴密的邏輯性和高度的抽象性。而多元函數作為數學中不可缺少的一部分，其重要性不言而喻。通過利用偏導數，高階偏導數，全微分，多元復合函數，多元函數的隱函數這些知識來對多元函數進行求導，熟悉掌握對多元函數的求導后，可以解決實際生活中許多復雜的問題，提高自己的邏輯思維能力和數學素養。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系. 高等數學第七版上冊[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[2]劉隆復. 數學分析習題講義：多元函數部分[M]. 吉林大學出版社，1986.

[3]艾立新. 具有復雜函數關系的多元函數求導法[J]. 軍需工業高等專科學校邢臺高等職業技術學校學報，1997.

（作者單位：廣州工商學院基礎教學部）