區間猶豫梯形模糊Bonferroni Mean算子及其應用

張 迪，成央金，楊 柳

湘潭大學 數學與計算科學學院,湖南 湘潭411105

1 引言

自從1965年，Zadeh[1]提出了模糊集的概念之后，引起了眾多學者的廣泛關注。模糊集理論也被當作一種處理模糊性和不確定性信息的有效工具應用到各個領域。在實際的決策問題中，由于決策者在給出評價信息時，會受到客觀環境和專業水平等因素的影響，使得作出決策時猶豫不決，并且不同決策者所給出的評價值有所不同。Torra[2]提出了猶豫模糊集的概念，它允許有多個元素對集合的隸屬度。由于決策者有時候不能給出確切的評價信息值，于是文獻[3]提出了區間猶豫模糊集。隨后，戴意瑜等人[4]基于三角模糊數和猶豫模糊數提出了三角猶豫Einstein算法的多屬性決策模型。周曉輝等人[5]基于區間直覺梯形模糊數提出了區間直覺梯形模糊幾何Heronian平均算子，并將其應用到模糊多屬性決策中。

而在模糊多屬性決策的問題中，信息集成算子也是一個重要的研究部分。Yager 等人[6]定義了有序加權平均（OWA）算子，隨后，又有人定義了有序加權幾何平均（OWGA）算子、有序加權調和平均（OWHA）算子。猶豫模糊集概念提出以后，Zhou 等人[7]提出了猶豫模糊Hamacher加權平均（HFHWA）算子、猶豫模糊Hamacher有序加權平均（HFHOWA）算子和猶豫模糊Hamacher混合平均（HFHHA）算子等。然而在現實的決策問題中，輸入變量之間或多或少會有相互影響。Yager 等人[8]提出了廣義Bonferroni Mean（BM）算子，能夠很好地反映這種輸入變量之間的關系。隨后，Zhu 等人[9]又提出了猶豫模糊Bonferroni Mean（HFBM）算子，猶豫模糊幾何Bonferroni Mean（HFGBM）算子；針對屬性值的重要程度不同，提出了猶豫模糊加權Bonferroni Mean（HFWBM）算子和猶豫模糊加權幾何Bonferroni Mean（HFWGBM）算子。朱輪等人[10]提出了廣義猶豫模糊Bonferroni 平均算子，并將其應用到多準則群決策中。于倩等人[11]提出了區間猶豫模糊Bonferroni Mean（IVHFBM）算子、區間猶豫模糊幾何Bonferroni Mean算子、區間猶豫模糊加權Bonferroni Mean（IVHFGBM）算子、區間猶豫模糊加權幾何Bonferroni Mean（IVHFWGBM）算子，并將其在多屬性決策中的應用。由于所給出的評價信息和屬性權重會存在模糊性和不確定性，2018年于倩等人[12]提出了猶豫梯形模糊加權平均（HTrFWA）算子和猶豫梯形模糊加權幾何（HTrFWG）算子，并將其應用到多屬性決策中去。

目前，基于Bonferroni Mean（BM）算子的區間猶豫梯形模糊環境下的多屬性決策方法的研究還沒有。于是基于Chen等人[13]的區間梯形模糊數和猶豫模糊集提出了區間猶豫梯形模糊Bonferroni Mean（IVHTrFBM）算子和區間猶豫梯形模糊幾何Bonferroni Mean（IVHTrFGBM）算子。結合猶豫模糊元的運算法則給出了區間猶豫梯形模糊元的運算法則，并夠構造了的得分函數進行排序；又根據輸入變量的重要程度不同，提出了區間猶豫梯形模糊加權Bonferroni Mean（IVHTrFWBM）算子和區間猶豫梯形模糊加權幾何Bonferroni Mean（IVHTrFWBM）算子。最后，又針對評價信息為區間猶豫梯形模糊集的多屬性決策問題提出了基于IVHTrFWBM算子和IVHTrFWGBM 算子的多屬性決策方法，并用算例證明了該方法的可行性和有效性。

2 預備知識

2.1 區間猶豫梯形模糊集

定義1 設X 是一非空集合，則集合

稱為區間猶豫梯形模糊集（IVHTrFSs），其中hA(x)是由[0,1]上所有不同區間梯形模糊數構成的。hA(x)是表示x ∈X 隸屬于A 的所有不同隸屬度的集合。

其中，0 ≤aL≤bL≤cL≤dL≤1,0 ≤aU≤bU≤cU≤dU≤1以及aL≤aU,bL≤bU,cL≤cU,dL≤dU。特別地，當aL=aU,bL=bU,cL=cU,dL=dU時，hA(x)就退化成猶豫梯形模糊元（HTrFE）。

定義2[3]區間猶豫梯形模糊元的運算法則：

定義3[3]設h 是一個區間猶豫梯形模糊元，h={γ|γ ∈h}，則稱為h 的得分函數。其中lh是h 中的區間梯形模糊數的個數，s(h)是區間[0,1]的區間梯形模糊數。對于兩個區間猶豫梯形模糊元h1和h2，如果s(h1)＞s(h2) ，則h1＞h2；如果s(h1)=s(h2) ，則h1=h2。對于h1和h2的大小可用上述方法進行比較。

定義4[14]設a=[aL,aU],b=[bL,bU] 為兩個區間數，且λ ≥0，則它們滿足以下性質：

2.2 BM算子

定義5[15]設p,q ≥0,ai≥0(i=1,2,…,n)為實數集，若存在稱函數Bp,q為BM算子。

容易證明BM算子滿足以下性質。

性質1（冪等性）設ai為非負實數集，如果有ai=a(i=1,2,…,n)，則有：

性質2（有界性）設ai為非負實數集，如果有a-=min(ai),a+=max(ai)，則有：

性質3（單調性）設ai(i=1,2,…,n),bi(i=1,2,…,n)為非負實數集，如果存在?i，且ai≤bi，則有：

性質4（置換不變性）設ai,a′i為非負實數集，其中(a′1,a′2,…,a′n)為(a1,a2,…,an)的任意置換，則有：

針對參數p、q 的取值不同，進一步探討BM集成算子的一些特例：

（1）當p=1,q=1時，Bp,q(a1,a2,…,an)=B1,1(a1,a2,…,

（2）當q=0時，Bp,q(a1,a2,…,an)=Bp,0(a1,a2,…,an)=

（3）當p=1,q=0時，Bp,q(a1,a2,…,an)=B1,0(a1,a2,…,

2.3 GBM算子

定義6[9]設p,q ≥0,ai≥0(i=1,2,…,n) 為實數集，若存在：稱函數GBp,q為幾何Bonferroni Mean（GBM）算子。

容易證明GBM 算子與BM 算子有類似的性質，篇幅有限在這里不一一贅述。

2.4 IVHTrFBM算子和IVHTrFWBM算子

2.4.1 IVHTrFBM算子

定義7 設hi(i=1,2,…,n)為區間猶豫梯形模糊元，對于p,q ≥0，若存在：稱函數IVHTrFBp,q為區間猶豫梯形模糊Bonferroni Mean（IVHTrFBM）算子。

定理2 設hi(i=1,2,…,n)為區間猶豫梯形模糊元，對于p,q ≥0，使用IVHTrFBM 算子集成后的結果仍是區間猶豫梯形模糊元，且：

容易證明，IVHTrFBM 集成算子和BM 算子有類似的性質，如下：

下面是IVHTrFBM集成算子的一些特例。

（1）當q →0 時，有：

（2）當p=2,q →0 時，有：

（3）當p=1,q →0 時，有：

（4）當p=1,q=1 時，有：

2.4.2 IVHTrFWBM算子

稱函數IVHTrFWBp,q為區間猶豫梯形模糊加權Bonferroni Mean(IVHTrFWBM)算子。

2.5 IVHTrFGBM算子和IVHTrFWGBM算子

2.5.1 IVHTrFGBM算子

定義9 設hi(i=1,2,…,n)為區間猶豫梯形模糊元，對于任意的p,q ≥0，若存在：

稱函數IVHTrFGBp,q為區間猶豫梯形模糊幾何Bonferroni Mean(IVHTrFGBM)算子。

下面是IVHTrFGBM算子的相關性質：

下面是IVHTrFGBM集成算子的一些特例。

（1）當q →0 時，有：

（2）當p=2,q →0 時，有：

（3）當p=1,q →0 時，有，

（4）當p=1,q=1 時，有：

稱函數IVHTrFWGBp,q為區間猶豫梯形模糊加權幾何Bonferroni mean（IVHTrFWGBM）算子。

3 基于IVHTrFWBM 算子和IVHTrFWGBM算子的多屬性決策方法

對于某個多屬性決策問題，方案集為A={A1,A2,…,An}{i=1,2,…,m}，屬性集為C={C1,C2,…,Cn}{j=1,2,…,n},ω=(ω1,ω2,…,ωn)T為專家給出的屬性集C 的權重向量，表示屬性不同重要程度且。專家經常給出不同的備選方案Ai，相對于屬性Cj的區間評價值用區間猶豫梯形模糊變量表示，從而構成區間猶豫梯形模糊矩陣H=(hij)m×n。

3.1 IVHTrFWBM 算 子 和IVHTrFWGBM 算子的算法步驟

步驟1.1 利用給定的區間猶豫梯形模糊矩陣和IVHTrFWBM算子計算Ai的綜合區間猶豫梯形模糊評價值hi(i=1,2,…,m)：

步驟1.2 利用給定的區間猶豫梯形模糊矩陣和IVHTrFWGBM 算子計算Ai的綜合區間猶豫梯形模糊評價值hi(i=1,2,…,m)：

步驟2 計算hi的得分函數s(hi)(i=1,2,…,m)。

步驟3 對s(hi)進行排序。

步驟4 根據s(hi) 的排序大小，選擇相應的最優方案。

3.2 算例分析

對于一個生產型企業選擇綠色供應商問題，假設現有5 個綠色供應商Ai{i=1,2,3,4,5}，分別從如下4 個屬性Cj{j=1,2,3,4}去評價：C1產品競爭力；C2合作與發展潛力；C3供應商競爭力；C3綠色績效。ω=(0.2,0.1,0.3,0.4)T是權重向量。專家給出各個備選綠色供應商在上述4 個屬性下的評價值以區間猶豫梯形模糊集的形式表示，各個屬性評價構成區間猶豫梯形模糊決策矩陣H=(hij)5×4如表1所示。

為了選擇出最優的綠色供應商，下面是具體算法實現步驟：

步驟1.1 為了不失一般性，參數p、q 選擇如下3種情形：（1）p=1,q=1；（2）p=1,q=2；（3）p=2,q=2。利用給定的區間猶豫梯形模糊矩陣和IVHTrFWBM 算子，對各方案進行集結。下面是以p=1,q=1 為例計算Ai的綜合區間猶豫梯形模糊評價值hi(i=1,2,…,m)。由于篇幅有限，其他不同參數的各方案綜合區間猶豫梯形模糊評價值，在這里不一一贅述。

表1 區間猶豫梯形模糊決策矩陣

得到方案Ai的綜合區間猶豫梯形模糊評價值hi(i=1,2,3,4,5)：

步驟1.2 為了不失一般性，參數p、q 選擇如下3種情形：（1）p=1,q=1；（2）p=1,q=2；（3）p=2,q=2。利用給定的區間猶豫梯形模糊矩陣和IVHTrFWGBM 算子，對各方案進行集結。下面是以p=1,q=1 為例計算Ai的綜合區間猶豫梯形模糊評價值hi(i=1,2,…,m)。由于篇幅有限，其他不同參數的各方案綜合區間猶豫梯形模糊評價值，在這里不一一贅述。

得到方案Ai的綜合區間猶豫梯形模糊評價值hi(i=1,2,3,4,5)：

步驟2 計算不同參數下各方案綜合區間猶豫梯形模糊評價值hi的得分函數s(hi)(i=1,2,3,4,5)如表2和表3所示。

步驟3 對得分數值s(hi)進行排序如表4所示。

步驟4 根據s(h1)的排序大小，選擇相應的最優案。

分析可知，對參數p、q 賦予不同的數值，兩種算子對各供應商的排序結果有略微不同，但最終決策結果相同；且綠色供應鏈中最優供應商是A5。

4 結束語

基于猶豫梯形模糊集和區間梯形模糊集，首先定義了區間猶豫梯形模糊集以及它的運算法則。又在此基礎上探討了區間猶豫梯形模糊Bonferroni Mean算子和區間猶豫梯形模糊幾何Bonferroni Mean 算子；考慮到專家給出評價值的重要程度不同，又進一步討論了區間猶豫梯形模糊加權Bonferroni Mean算子和區間猶豫梯形模糊加權幾何Bonferroni Mean 算子。最后，基于區間猶豫梯形模糊加權Bonferroni Mean算子和區間猶豫梯形模糊加權幾何Bonferroni Mean算子的多屬性決策方法，并通過算例證明其有效性和可行性。

表2 各方案得分值（IVHTrFWBM）

表4 排序結果

今后的工作中，仍需研究解決的問題：文中隨著參數p、q 取值不同，得到的最終排序結果不穩定。有多個專家評價的區間猶豫梯形模糊多屬性決策問題。