巧設(shè)問題情境 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力
——以對(duì)數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)為例

馬寶星

(江蘇省太倉(cāng)市沙溪高級(jí)中學(xué) 江蘇太倉(cāng) 215421)

當(dāng)前，每個(gè)教育工作者均加強(qiáng)了學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，并且在實(shí)際教學(xué)過程中基本上都是從多個(gè)方面入手進(jìn)行的。概念教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的很好素材。本文主要在“對(duì)數(shù)函數(shù)的概念”的課堂教學(xué)中，由問題情境出發(fā)，剖析數(shù)學(xué)概念，嘗試發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

一、教材分析

初等函數(shù)在高中數(shù)學(xué)課本中有著極其重要的地位，而對(duì)數(shù)函數(shù)是這當(dāng)中的核心組成部分。對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以在很大程度上幫助我們處理數(shù)學(xué)和生活中的諸多問題。蘇教版的教材安排是，先讓學(xué)生們對(duì)函數(shù)的定義及性質(zhì)、對(duì)數(shù)與指數(shù)的相關(guān)概念以及二者間的轉(zhuǎn)化進(jìn)行掌握，從而為實(shí)際的課堂教學(xué)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。而在對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)概念的教學(xué)過程中，教師需要讓學(xué)生充分掌握函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，并體驗(yàn)當(dāng)中所蘊(yùn)含數(shù)量與圖形的結(jié)合、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維及構(gòu)思。

二、學(xué)情分析

從整體上來(lái)看，學(xué)生都學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念以及對(duì)數(shù)與指數(shù)的相關(guān)概念，特別是對(duì)指數(shù)函數(shù)圖形等相關(guān)方面的知識(shí)，同時(shí)還具有使用指數(shù)函數(shù)解決實(shí)際問題的能力。這在一定程度上保障了課堂上關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的教學(xué)成效。本節(jié)課的設(shè)計(jì)從書本的細(xì)胞分裂出發(fā)，巧設(shè)問題情境，組織小組合作，在同伴互助中進(jìn)行自主探究，在教師引領(lǐng)追問中為學(xué)生指點(diǎn)迷津，讓學(xué)生真正體會(huì)一個(gè)新的概念的學(xué)習(xí)是要從特殊到一般尋找規(guī)律。教師可以結(jié)合數(shù)形結(jié)合、幾何畫板，使抽象的概念直觀化，真正讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，而不是機(jī)械地背誦、記憶和使用。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

問題情境1：

在細(xì)胞的分裂過程中，一般是按照一個(gè)成兩個(gè)，兩個(gè)分裂成四個(gè)……。依據(jù)這種分裂規(guī)律，寫出當(dāng)經(jīng)歷次細(xì)胞分裂后，最后細(xì)胞個(gè)數(shù)分裂次數(shù)的函數(shù)關(guān)系。

問題情境2：

在細(xì)胞的分裂過程中，一般是按照一個(gè)成兩個(gè)，兩個(gè)分裂成四個(gè)……。依據(jù)這種分裂規(guī)律，依次類推，若把細(xì)胞個(gè)數(shù)記作，其相應(yīng)的分裂次數(shù)記作，能否用的代數(shù)式表示？

問題情境3：

問題情境4：

你準(zhǔn)備如何研究對(duì)數(shù)函數(shù)？

對(duì)于一個(gè)新函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們需要了解與函數(shù)相對(duì)應(yīng)的圖形。

四、教學(xué)實(shí)踐反思

(一)問題情境的創(chuàng)設(shè)要使學(xué)生積累從具體到抽象的活動(dòng)體驗(yàn)[2]

本節(jié)課從細(xì)胞分裂出發(fā)，由問題情境1到問題情境3，由細(xì)胞分裂個(gè)數(shù)與細(xì)胞分裂次數(shù)的一一對(duì)應(yīng)這個(gè)具體問題，聯(lián)想到函數(shù)定義，逐步發(fā)展到對(duì)取一切正數(shù)，是否是關(guān)于的函數(shù)這一抽象問題上去。這既引出了 ，進(jìn)而又面臨它為什么是函數(shù)的問題。我們將對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相結(jié)合，利用指數(shù)函數(shù)圖像的對(duì)應(yīng)性，借助幾何畫板能夠有效推動(dòng)相關(guān)問題的研究。這一系列由具體到抽象的問題背后，暗含著內(nèi)在的邏輯關(guān)系。在教師的指引下，學(xué)生萌發(fā)了主動(dòng)探究對(duì)數(shù)函數(shù)的意愿。伴隨著問題的步步推進(jìn)，學(xué)生得出了概念，抓住了問題本質(zhì)。

(二)問題情境的創(chuàng)設(shè)要將具有點(diǎn)撥性的問題設(shè)計(jì)在難點(diǎn)處

在充分理解對(duì)數(shù)函數(shù)概念基礎(chǔ)之后，首先，教師可對(duì)問題情境4進(jìn)行引入：“你打算通過什么樣的方法進(jìn)行對(duì)數(shù)函數(shù)的研究？”大部分學(xué)生都說出了畫圖的方法，且在教師的指引下通過描點(diǎn)、連線的方法進(jìn)行操作。其次，由于底數(shù)不確定，畫哪個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像就是學(xué)生需要直面的問題，在教師的問題引領(lǐng)下，結(jié)合之前實(shí)例，學(xué)生們普遍都畫出了的基本函數(shù)圖像，并從中能夠輕易地觀察到時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。最后，教師再利用幾何畫板驗(yàn)證同學(xué)們的作圖，肯定同學(xué)們的探究精神和動(dòng)手能力，使學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)。本節(jié)課的難點(diǎn)也得以突破。教師在課后設(shè)置思考題，不但可以在一定程度上增強(qiáng)同學(xué)們?cè)谡n后對(duì)于問題的研究意識(shí)，而且還可以有效提高學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力。

(三)問題情境的創(chuàng)設(shè)要將比較性的問題設(shè)計(jì)在易錯(cuò)處

在教師對(duì)例題進(jìn)行講解時(shí)，學(xué)生可通過對(duì)數(shù)函數(shù)圖像，輕松地進(jìn)行同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)值的比較。但是，學(xué)生在比較不同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)值時(shí)，如的學(xué)習(xí)過程中，就會(huì)出現(xiàn)摸不著頭腦的情況，能想到和中間值1比較，需要教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖理解。這兩種題型的對(duì)比，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)定義和性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，使問題不再抽象。而在比較的大小時(shí)，初學(xué)者也容易犯錯(cuò)。因?yàn)榍懊娴膸捉M對(duì)數(shù)值比較都是底數(shù)確定的，這里需要在對(duì)比中強(qiáng)化分類討論思想。學(xué)生做錯(cuò)不可怕，重要的是教師要在正確和錯(cuò)誤的剖析比較中，幫助學(xué)生真正理解底數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的影響。

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，學(xué)生對(duì)相關(guān)概念進(jìn)行自主探究，能夠在很大程度上提高他們?cè)跀?shù)學(xué)方面的抽象水平。[3]與此同時(shí)，教師還要通過提出合理的問題加強(qiáng)概念方面的剖析。正如德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾所說：“在數(shù)學(xué)的世界當(dāng)中，問題的提出藝術(shù)遠(yuǎn)比問題的解決藝術(shù)更具重要意義?！鼻稍O(shè)問題情境，在教師的追問中啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生剖析問題情境中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，探究問題情境中的數(shù)量、圖形關(guān)系，逐步推進(jìn)，可以不斷抽象出基本的數(shù)學(xué)概念。這個(gè)過程中當(dāng)然也培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等其他素養(yǎng)，從而使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“多點(diǎn)開花”。