探索多層問題，透析數學模型

楊薇

摘要：在現今的小學數學應試教育中，解應用題或叫解決問題是不少學生的薄弱環節。解應用題的本質就是數學建模，而建模的關鍵環節是對問題模型的建造，相當于應用題的數量關系模型的確立。本文以四年級數學廣角中雞兔同籠典型問題作為案例，探索以建立數學模型為主的課堂。

關鍵詞：數學建模;數量關系;雞兔同籠;應用題

學生錯解應用題，離不開一些主要原因。例如，學生對題目文字、詞語的意思把握不足、生活視野狹窄和缺乏思維想象導致無法審題或審題偏差，分析問題時難以準確提取數量關系。課堂上沒有完全理解問題的數量關系，知其然而不知其所以然，靠發揮記憶力來推敲類似題目的數量關系。

有些教師會以不同的數量關系劃分成不同類型的應用題針對性地進行大量訓練，這樣很容易把題目“講死”，學生思維固化，以記憶解題方法為主，不利于思維發展。

一、解應用題的本質——數學建模

這是某些專家畫出的數學建模流程圖（如圖1），這過程跟解應用題非常相似，實際上就是小學生解應用題時的步驟：審題、分析數量關系、列式計算或列方程解答、驗證。而建模中的“數學問題（模型）”這個關鍵環節跟應用題中數量關系的分析和確立，都是用一些文字、符號或圖形表達這個關系而形成的模型，其本質沒有區別。所以進一步研究怎樣把數學建模思想融合到解決問題里去，對提高學生解決問題的能力有一定的研究價值。

不管是何種因素導致學生解題能力低下，也應歸咎于學生和教師對問題的數量關系理解不深刻。解應用題時，有正確完整的數量關系模型才可以解答問題，不論是列算式還是列方程。因此，重視數量關系的分析、提取和運用是提高學生應用題解題能力的核心。

二、探索利用建模思想解決問題的課堂案例

在小學數學應用題范疇里，用特定的數量關系或特殊步驟解決問題，我們把這種類型題目叫做典型應用題，因其有較大的研究價值，我們把這些應用題歸類成各種“問題”。下面以四年級下學期的“雞兔同籠”問題作為案例來解析建立數學模型教學方法。

課上，教師引入一類型問題“籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有多少只？”基于建模的一般步驟，我把探索這一問題的課堂實踐分成幾個必要環節展開：分析問題、構建模型、驗證模型。

1、分析問題

高等數學里的數學建模的第一步是對象屬性的分析和背景調查，而小學數學里面，解題第一步是審題，這里可以理解成后者是前者的初級版。審題時除了讀出隱藏信息（例：兔有4腳，雞有2腳），還需要初步感知條件與問題之間的關聯性（例：只有知其中一個只數能求另一個只數，只數與腳數有關，怎樣通過腳數來確定只數是關鍵）。對于“雞兔同籠”問題學生主要通過畫圖、枚舉甚至利用表格有序列舉等方法去分析（如圖2、3），因此教師應鼓勵并給予充分時間組織學生動手試探，經歷這個過程充分感知后，教師引導指出：不管用什么方法，實際解題方法都離不開“假設”。有人一次假設就碰對，有些則假設多次，并引導學生往有沒有更方便快捷的方法來解決這種問題的方向思考。

這里的分析問題環節，不是單純地思考分析，簡單來說是通過動手來思考分析，不斷累積這種基于數形結合的動手操作的經驗來構建想象。這里，畫圖法是最好的體現。同時讓學生感受到當數據變大時，粗糙的假設方法是行不通的，需要產生一種相對固定的解決辦法，也就必須找到固定的數量關系來建立模型。

2、構建模型

（1）從假設中感知規律

在充分體驗假設后，教師根據實際情況可設問“在這個過程里說說你的發現”。學生不管是哪種假設，當他們直觀感受到當假設得到的總腳數比26（實際總腳數）多時，說明假設兔的頭數多了，反之。教師接著引導指出：假設總腳數與26的差值與兔多出的只數有關。然后進一步觀察列表（如圖4）中數據探索這種關系（如圖5）。

學生不難發現，每多一只兔，總腳數就多2;也就是總腳數多了2n，兔假設只數多n，反之。所以不管任何一種假設，只要知道與實際腳數相差多少，就能推出兔的假設只數比實際相差多少，我們可以利用這個關系來確定兔的實際只數，從而確定雞只數。

（2）提取算式，初構模型

在基于學生不同的假設上，老師順勢引導學生列算式表達出不同的假設，嘗試在這些不同的“假設”算式里找到模型的影子。

例：當雞只有0只，那么兔就有8只：………假設的腳數比實際多

總腳數比實際多6，那么兔的假設只數多了，說明兔實際有，雞有。如此類推。

………………

不管學生如何假設兔只數和雞只數，都有能通過雞與兔的總腳數和實際總腳數的差值除以“2”來求出多了幾只兔或少了幾只兔，從而對應求出雞兔的實際只數。

（3）深入參與模型建構，發掘模型本質

上一個例題是以動物雞和兔為情景，為了更接近雞兔同籠問題的本質，我們可以對上一個例題的對象和情景稍作更改，以達到變式效果。可舉出第二例題：停車場里有10個停車位，里面停滿了三輪車和摩托車，每個停車位只能停一輛車，如果這里所有車一共有23個輪子，問三輪車和摩托車各有多少輛？

學生基于第一例題的探究經驗，不難看出“10個車位”相當于雞兔總只數，求摩托車和三輪車各有的輛數相當于求雞兔各有的只數。只要套用剛才的模型就能解決問題，這里學生會遇到每多一輛三輪車，總輪數還是否多2的問題，也就需要重新理清“為什么每多一只兔總腳數就會多2”的問題。設計例題二的原因不單是讓學生體驗情景對象上的變化，更重要的是讓學生體驗問題的本質和模型的由來。

通過綜合兩個例題，進一步理解模型本質，教師可以引導學生用自己表達方式。如果用對象1和對象2比喻成剛才例題中的雞和兔、三輪車和摩托車，用對象1和對象2的總腳數比喻成雞兔總腳數、三輪車和摩托車總輪子數，要求的是對象1和對象2各有的只數，那么模型就有一個比較具體的表達，隨意假設對象1和對象2相應只數后所得模型：

（4）識破變式，看透問題本質

經歷第二例題的情景與對象的變化，創設例題三以求突破。例三：六1班全班同學參與植樹節活動，全班共20人，每個男生負責植樹5棵;每個女生負責植樹3棵，一共要種76棵樹，問男女生各多少人？相對例一、二里面的對象屬性，“三輪車和摩托車”與“雞與兔”具有明顯的相似性，學生需要辨識例三是否屬于同類型題目。

隨意假設有19個男生，1個女生，那么就有19×5+1×3=98棵樹，比實際植樹數多，說明男生假設得多了，女生少了，下面需要知道男生和女生人數與實際相差多少個，利用模型解決問題：

所以男生實際人數：19-11=8（人）女生實際人數：1+11=12（人）

通過多層例題，看透一個本質，強化對模型應用，深刻理解了雞兔同籠模型的意義和由來，培養學生的抽象思維。

3、驗證模型

驗證模型也是數學建模里面的一個必要環節，不單只是建設模型，驗證和校對模型同樣是確立模型的關鍵，在小學數學的解決問題里，“驗證模型”更像是在檢查解決過程的合理性，驗算結果的正確性，對問題進行二次思考與回顧。例如對例題三的驗證：8×5+12×3=76（棵），也可以通過列表和觀察數據的變化，判斷出“總腳數差值”、“單個腳數差值”和“與實際相差的只數”三者關系是否符合模型要求。

學生經歷參與模型的建立，理解模型由來，看透問題的本質，最終理清特定問題的數量關系的意義，深刻體驗某種數量關系與特定問題的關聯性。而非強調借助記憶力辨別類型題目對應類型模型，從而缺乏對數量關系摸索的深度參與。

三、雞兔同籠的建模教學方法與傳統的對比

由于學生在四年級還沒有接觸列方程求解，教師在教授“雞兔同籠”問題時多用抬腿法、假設法等方法講解題目，用假設時一般會直接假設全部是兔或全部是雞的只數，如果當堂教師沒有揭示為什么要這樣假設，學生解題時容易局限于形式套路，著重發揮記憶和重復訓練的效果來達到解題目的，沒有真正看透假設法的本質意義。利用數學建模的方法則是著重于引領學生觀察和分析問題，通過多層問題的探索而確立數學模型，發掘問題的本質。整個學習過程的時長可能會超出一般課時的規定，但這樣能夠充分開發揮學生的思維深度，重視建立數量關系模型，把握解決問題的核心。

參考文獻

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