縱橫不出方圓 萬變不離其宗
——解三角形中的最值(范圍)問題

于 穎

(遼寧省大連市第三十六中學 116011)

解三角形中的最值問題既用到了三角函數知識，又有不等式的內容，可謂是三角、函數、向量、不等式的交匯點.常用到三角形內角和定理、三角形中不等關系、正弦定理、余弦定理、面積公式、三角恒等變形、三角函數的圖象和性質、基本不等式等.通常解決三角形中的最值問題有兩種方法：一是化邊為角，利用三角函數的有界性求解；二是化角為邊，利用均值不等式求解.

一、知識儲備

正弦定理、余弦定理、輔助角公式、基本不等式、三角形中的不等關系(兩邊之和大于第三邊).

二、典例分析

(1)△ABC面積的最大值;

(2)△ABC周長的取值范圍.

1.第(1)問解析

2.第(2)問解析

解法1因為b+c=2RsinB+2RsinC

=2sinB+2sin(A+B)

解法2 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可以變形整理為a2=(b+c)2-2bc(1+cosA).

總結此類問題給出的已知條件常常是三角形的一邊及對角，第(1)問求目標函數的最值(或范圍)，解法2的求解過程相對簡單便捷.運用余弦定理結合均值不等式，求出bc的最大值.但是無法通過均值不等式求出bc的范圍.所以解法2在解題上有優越,卻也有局限.第(2)問求周長的取值范圍,因為已知a=1,即求b+c的取值范圍.余弦定理結合均值不等式,可求其最大值,再根據兩邊之和大于第三邊,可求出其取值范圍.如果目標函數為b+2c或者2b+c,解法2是求解不了的.只能通過“化邊為角”,用解法1，利用三角函數的性質求值域.

比較(1)(2),解法1對于計算要求很高，考查了正余弦定理、兩角和與差的正弦公式、輔助角公式及三角函數的性質.整個解題的思路圍繞著“角”進行.“化邊為角”之后，A,B,C三足鼎立，求出A之后，角B與C合力突圍，到最后角B一枝獨秀.解題過程體現著“化多維為一維”的轉化思想，突出B的主元地位(當然本題中亦可以C為主元).解法1為該類型題的通性通法.

三、鞏固訓練

變式1 已知銳角△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a=1，b2+c2-bc=1，則△ABC面積的取值范圍是____.

總結本題已知三角形的一邊一角，利用正弦定理將邊化為角，利用三角函數性質求出面積的取值范圍.因為題目中對角加強了限制，銳角三角形無法通過邊的度量關系找到突破，所以本題適用解法1.要注意銳角三角形條件的應用：三個角都是銳角，角C雖然被消去，但是它是銳角的條件由角B來承擔，將所有條件都集中在角B主元上.