覆蓋層、雙凹陷地形和入射角對SV 波的影響

方浩

蘇州科技大學 土木工程學院,江蘇 蘇州215011

局部凹陷地形和凸起地形一直是地震工程學研究中的一個重要的課題，而對凹陷地形的研究中，尤以沉積谷地和凹陷地形為主。由兩個凹陷地形相連接的地形在自然界中也廣泛存在，比如在山脈的兩側均是河流的地形上修建設施，可將該地形簡化為兩個方形凹陷地形相連接的地形，因此研究該類地形在實際工程中是具有意義和未來前景的。

凹陷地形下地震動的研究包括半橢圓形凹陷地形[1]，圓弧形凹陷地形[2-4]以及凸起地形和凹陷地形相連的地形[5-7]等等。丁海平[8]等采用有限元數值模擬的方法，依次探討了SV 波以0o～30o入射時，單個凹陷地形在有無覆蓋層時地表點的動力響應；巴振寧[9]等采用間接邊界元的方法，分析了SV 波入射時無覆蓋層沉積谷地的個數以及谷地間距對地表點位移幅值以及放大系數的影響；許貽燕和韓峰[10]利用復變函數和多級坐標的方法研究了平面SH 波對多個半圓形凹陷的散射，分析了兩個半圓形凹陷地形之間的相互作用。目前有關凹陷地形的研究主要還是集中在單一凹陷地形情況，而且多是關于SH 波波動的問題，對于多個有覆蓋層凹陷地形而且是關于SV 波的研究還沒有被人所研究，因此本文在文獻[8]，文獻[9]和文獻[10]的基礎之上，探討分析有覆蓋層的雙凹陷地形對平面SV 波的散射。文章主要采取有限元與多次透射邊界相結合的數值模擬法[11,12]，探究覆蓋土層厚度，入射角以及凹陷間距對SV 波入射下雙凹陷地形地表上測點的位移的影響，并得到了一些有用的結論。

1 研究方法

在進行多個有覆蓋層凹陷地形對SV 波的散射問題分析前，首先需要得到SV 波入射時的自由場，該自由場直接關系到最終計算結果的精度。本文主要依據傳遞矩陣法和波動傳播規律[13]得到彈性水平成層半空間的自由場位移，以作為分析土體散射問題的輸入波場。

在進行數值模擬分析時，將計算區域內的所有節點分為內節點和人工邊界節點。位于人工邊界上的節點u0稱為人工邊界節點，其余的節點包括自由表面上的節點u稱為內節點。所有內節點的位移可通過運動方程求得：

其中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；P為外力矢量，針對本文模型，P為0。所有邊界節點的計算主要通過多次透射公式求得，即邊界節點u0在p+1 時刻的運動表示為：

其中：N為透射階數；0 為邊界點；j為與邊界點0 相鄰的內節點；式（2）中表示的是節點外行波場的位移，設外行波場位移為us，全波場位移為u，參考波場為ur，三者滿足

左側邊界區內，參考波場ur可取為入射波在彈性半空間產生的自由場；右側邊界區內，地震波垂直入射時，參考波場ur同左側邊界計算，斜入射時取ur=0；在底部邊界區內，參考波場可取為入射波場。

2 計算模型

該計算模型主要為在一彈性半空間中有兩個方形凹陷面的模型，且兩個凹陷面對稱分布，具體如圖1 所示。模型大小為700 m×200 m，凹陷面尺寸均為100 m×50 m 且保持不變。覆蓋層位于地表以及凹陷底部的表面上，覆蓋層與土體介質均保證均勻彈性且各向同性。覆蓋層厚度用h表示，兩凹陷凈間距用S表示。土體和覆蓋層的介質密度ρ1和ρ2分別為2000 kg/m3和1700 kg/m3，剪切波速cs1和cs2分別為1000 m/s 和400 m/s，壓縮波速cp1和cp2分別為1732 m/s 和833 m/s，泊松比均為0.25。假定地震波從模型左下方入射，入射角為θ，選取的輸入波為脈沖波，脈沖寬度為0.5 s，輸入脈沖的時程曲線如圖2 所示。

圖1 雙凹陷地形計算模型Fig.1 Calculating model of the terrain with two depressions

圖2 入射波時程曲線Fig.2 Time history curve of incident wave

為保證數值模擬計算穩定，采用正方形單元將計算區離散，有限單元尺寸為5 m×5 m，選取計算時間步距為0.002 s。在凹陷左右兩側地表和凹陷底部上每隔5 m 設置一個觀測點（除去兩凹陷底部第一個點和最后一個點），共141 個點，從左到右編號1～141 號以觀測地表運動情況。

3 結果分析

本文采用水平地震動放大系數|u/Amax|和豎向地震動放大系數|w/Amax|來描述地形對地震動的放大效應，其中u，w分別為觀測點地表地震動水平位移峰值和豎向位移峰值，Amax為輸入地震動峰值，對于本文研究模型，Amax=1。

3.1 覆蓋土層厚度的影響

基于圖1 中的雙凹陷計算模型，采用控制變量的方法，保持兩凹陷面的凈間距S=200 m 不變，分別取覆蓋土層厚度h=0 m（無覆蓋層），h=10 m 以及h=20 m，通過對比SV 波以θ=0o，15o以及30o入射時雙凹陷左右兩側地表和凹陷底部共141 個測點的放大系數，分析覆蓋土層厚度和入射角對雙凹陷地形地震響應的影響。具體結果如圖3 所示。

圖3 覆蓋土層厚度不同時地表各測點的震動放大系數（θ=0o，15o，30o）Fig.3 Shaking amplification factors at each measuring point when the thickness of the soil layer was different

對比圖3 中1～141 號測點的水平和豎向放大系數大小，發現無論入射角如何變化，有覆蓋土層的測點的位移放大系數總是大于沒有覆蓋土層的測點的位移放大系數，而且覆蓋土層的厚度越大，同一測點的位移放大系數會相應地增大，這表明覆蓋土層對局部地形的地震動有明顯的放大作用。而且，垂直入射時，位于兩凹陷之間地表的中間點由于是處于模型的對稱位置，并且SV 波垂直入射相對于豎向坐標軸是反對稱振動，因此該位置的豎向地震動放大系數始終為0，并且不隨覆蓋土層厚度的改變而改變。此外，地震動位移放大系數還會受到入射角度，觀測點位置以及位移分量的影響，規律復雜。當入射角發生變化時，兩凹陷底部區域的放大系數變化不大，但是對凹陷兩側上部地表的放大系數影響很大。

3.2 凹陷凈間距的影響

基于圖1 中的雙凹陷計算模型，采用控制變量的方法，保持覆蓋土層厚度h 為10 m，分別取兩凹陷面凈間距S=100 m，S=200 m 以及S=300 m，通過對比SV 波以θ=0o，15o以及30o入射時雙凹陷左右兩側地表和凹陷底部共141 個測點的放大系數，分析凹陷凈間距和入射角對雙凹陷地形地震響應的影響。具體結果如圖4 所示。

圖4 凹陷凈間距不同時地表各測點的震動放大系數（θ=0o，15o，30o）Fig.4 Shaking amplification factors at each measuring point when the net spacing of the depression was different

從圖4 的結果我們可以清晰地得出，凹陷間距的變化對兩凹陷之間的地表點的放大系數有很大的影響，但對凹陷底部和凹陷外側上部地表點的放大系數的影響不大。這是由于兩凹陷地形的凈間距越小，波在此范圍中的反射就越頻繁，進而加大了地表點的放大效果。當SV 波斜入射時，兩凹陷之間的凈間距越大，兩凹陷之間地表的左側角點的水平放大系數越小，右側角點的水平放大系數越大，但是對豎向放大系數沒有影響。

4 討論

本文以有覆蓋層雙凹陷地形為分析對象，采用有限元與多次透射公式相結合的數值模擬法，采用脈沖波作為輸入SV 波，通過對比雙凹陷左右兩側地表和凹陷底部共141 個測點的放大系數，分析覆蓋土層厚度，兩凹陷凈間距以及入射角對雙凹陷地形地震響應的影響。在探究覆蓋土層厚度的影響時，發現有覆蓋土層時測點的放大系數總是大于無覆蓋土層時測點的放大系數。丁海平等[8]將脈沖波作為SV 波輸入波，探究單一凹陷地形下有無覆蓋土層時對地震動響應的影響發現：覆蓋土層的存在對地表運動有很大的倍增作用。這與本文的研究結果一致。

在探究雙凹陷凈間距對地震動響應的影響時，發現隨著凹陷凈間距的改變，不同間距時相對應的測點的水平放大系數和豎向放大系數均有改變，但總體是沿著凹陷放大的方向。巴振寧等[9]在探究無覆蓋層沉積谷地個數和沉積間距對地震動響應的影響發現：沉積間距能改變沉積間的動力相互作用，所以不同間距下對應的測點位移幅值和放大譜均明顯不同。這與本文的研究結果一致。

本文主要是基于丁海平和巴振寧的研究上開展的，該研究明確了覆蓋土層的厚度，入射角度以及兩凹陷凈間距的影響，為實際工程中雙凹陷地形的地震動響應提供了有力的參考，而且本文的方法也同樣適用于分析凹陷的深度和寬度以及凹陷地形的數量等因素，對此將另文討論。

5 結論

文章采用將有限元與多次透射邊界相結合的方法研究了有覆蓋層的雙凹陷地形對平面SV 波的散射問題，分析了入射角，覆蓋土層厚度以及凹陷凈間距對地表點放大系數的影響，得出以下結論：

（1）覆蓋層的存在對場地上所有點的運動有放大作用，覆蓋土層的厚度越大，地表各點的水平位移幅值和豎向位移幅值均越大；

（2）脈沖波入射角度越大，兩凹陷之間地表的位移放大系數最大值和最小值差距越小，地表點位移放大效果越平緩；

（3）凹陷間距的變化對兩凹陷之間的地表點的放大系數有很大的影響，但對凹陷底部面點和凹陷兩側地表點的放大系數的影響不大。凹陷間距越小，兩凹陷之間的地表點的放大系數越大，節點的位移幅值越大；

（4）當地震波從左側斜入射時，凹陷間距越大，凹陷之間地表的左側角點的水平放大系數越小，右側角點的水平放大系數越大，但是凹陷間距的大小對豎向放大系數沒有影響。