基于粒子群優化灰色神經網絡的機床主軸熱誤差建模

馮 偉 ，王建軍

（1.中國一拖集團有限公司，河南 洛陽471004；2.西安交通大學機械工程學院，陜西 西安710049）

熱誤差是機床的主要誤差源，研究表明熱誤差占機床總誤差的40%～70%[1]，尤其在精密機床中所占比例更大。主軸是機床的關鍵部件，由溫度導致的主軸熱變形會嚴重影響機床的加工精度[2]。對熱誤差進行準確的預測并實施補償，對于提高機床的加工精度具有重要意義。

國內外在熱誤差建模方面做了大量研究[3]，已經發展了諸如多元線性回歸[4]、人工神經網絡[5]、時間序列[6]、灰色理論[7]、動態神經網絡[8]等多種熱誤差模型。人工神經網絡具有較強的非線性預測能力，因此能夠更好的預測機床熱誤差。BP神經網絡是應用最廣的神經網絡，但存在收斂速度慢容易陷入局部最優解的缺點。王春暖等[8]建立了基于改進粒子群優化BP神經網絡的機床熱誤差模型，能夠避免預測結果陷入局部最優解，且預測的精度優于普通BP神經網絡和支持向量機。但輸入神經網絡的時間序列中存在較大的隨機性和不確定性，遺傳算法采用概率的變遷規則指導搜素方向，能夠很好處理BP神經網絡權重初始化的隨機性問題，Huang等[9]采用遺傳算法優化BP神經網絡進行熱誤差建模，預測的精度得到很大提高。然而，遺傳算法存在編程實現復雜的缺點，為此本文提出基于粒子群優化灰色神經網絡的建模方法，采用灰色神經網絡（GNN）修正網絡的權值閾值，然后利用粒子群算法（PSO）獲取最優權值閾值得到主軸熱誤差模型，從而進一步提高模型預測的精度。

1 熱誤差建模

1.1 溫度測點優化

通過對溫度測點進行優化，減少溫度測點個數，提高模型運算效率和精度。在這里計算各溫度測點與熱誤差之間的相關系數，在同組中得出對熱誤差影響最大的點。

設溫度測點序列 T={T1，T2，…Tm}，Ti={Ti1，Ti2，Ti3，…Tin}，其中m為總共溫度測點數，n為時序上的總共測量次數，熱誤差測量序列為E={E1，E2，…En}，通過相關系數公式可以計算得出各溫度測點和熱誤差之間的相關系數。

1.2 BP神經網絡

BP神經網絡是在工業上應用最廣的神經網絡，具有反向誤差傳播結構，可以對網絡的權值閾值進行修正。BP神經網絡可以看作非線性擬合函數，在BP網絡中首先要對網絡進行訓練，使其具有聯想和預測能力，然后輸入要預測的數據進行預測。

在該網絡中具有輸入層、隱含層和輸出層三層結構。在這里設置網絡的結構為3-7-2，其中隱藏層節點數7是根據Kolmogorov定理進行選擇，最大迭代次數設置為1000，學習目標設置為0.1，學習率設置為較大值時會加快網絡收斂，但在最佳值時會產生震蕩使之無法收斂，應設置為較小值，這里設置為0.25，動量因子設置為0.9，輸入層到隱藏層的傳遞函數設置為‘tansig'，隱藏層到輸出層設置為‘purelin'。

1.3 灰色神經網絡

灰色模型可以對缺少規律的問題進行白化處理，挖掘數據深層次的有用信息去揭示未知信息，在灰色神經網絡中采用了BP神經網絡的誤差反向傳播的結構，可以有效地修正網絡的權值閾值[10]。

在灰色神經網絡中，需要對原始數列進行一次累加處理，得到呈指數增長的數據序列。從而可以以一個微分方程的形式進行數據的擬合和預測。n個輸入參數的微分方程表達式如下：

其中 a，b1，…，bn-1為網絡的 n 個輸入參數；y2，…，yn為系統輸入參數；y1為系統的輸出參數。得到的微分方程的時間響應式為：

變換后的式（4）映射到拓展的BP神經網絡可以得到n個輸入一個輸出的灰色神經網絡。網絡拓撲結構如圖1所示。

圖1 灰色神經網絡拓撲結構

1.4 PSO優化灰色神經網絡

PSO算法最早是由Kennedy和Eberhart根據鳥類捕食行為提出，在PSO算法中每個粒子都作為鳥群中的鳥的角色，每個粒子的位置信息都作為問題的可能解。在算法中每一個粒子都通過適應度函數得出的適應度值來判斷自身位置的好壞，在PSO算法中每個粒子還必須具有記憶功能，用以記錄自己所經過的位置，通過社會共享行為來進行自身速度和方向的調整來獲得最優位置[11]。

在PSO算法中尋優公式如下：

在灰色神經網絡中因為隨機賦值，導致網絡容易陷入局部最優解。在PSO優化的灰色神經網絡中用PSO算法對初始參數進行優化，有效的避免灰色神經網絡在迭代過程中陷入局部最優，在PSO優化的網絡中選擇灰色神經網絡的預測值和實際測量值的絕對誤差作為適應度函數，流程圖如圖2所示。

圖2 PSO優化灰色神經網絡流程圖

在PSO優化的灰色神經網絡中設置學習因子c1、c2為 2.05，粒子長度設置為 4，種群規模（粒子數）設置為30，PSO算法優化部分設置為100代，最大限制速度設置為5，權值最大值和最小值分別設置為0.9、0.4，在優化的灰色神經網絡中迭代次數設置為100代。

2 熱特性試驗

2.1 實驗裝置及實驗方案

該實驗以XK63100機床為研究對象，采用NI公司數據采集系統實時獲取主軸系統溫度及熱變形數據，如圖3所示。測點溫度由磁K型熱電偶測量，主軸熱漂移量由電渦流傳感器測量。用7個熱電偶獲取機床主軸的溫度場，主軸主要熱源為軸承，由于后軸承封在主軸齒輪箱中，因此主要測前軸承、主軸部分溫度，環境溫度作為參考，溫度測點布置如表1所示。采用五個電渦流傳感器分別測量主軸熱伸長及徑向傾斜，熱變形測量示意圖如圖4所示，溫度和熱變形測量現場如圖5所示。

圖3 實驗測量系統

表1 溫度傳感器布置

圖4 熱變形測量示意圖

圖5 主軸溫度場和熱變形測量

主軸轉速按照熱機時的轉速（800 r/min）從冷態開始加熱210 min，模擬實際加工過程中主軸轉速變化，設定主軸轉速在0～1 500 r/min范圍內按階梯變化并設定每15 min變換1次轉速，共連續運行135 min，主軸轉速圖如圖6所示。

圖6 主軸轉速圖

通過五點法采集的熱變形數據可計算得出主軸俯仰角 θy和偏擺角 θx， 計算公式如下：

2.2 實驗結果

主軸熱特性實驗獲得的溫度場如圖7（a）所示。隨著主軸轉速增加，各測點溫度總體不斷增大，約250 min主軸前端和前軸承溫度達到最高，其中前軸承發熱最為嚴重，最高溫度達到49.8℃，主軸前端和后端最高溫度分別為37℃和31.1℃。主軸后端溫度在250 min時還在緩慢上升，在310 min時達到最高31.1℃。由于結構限制，無法得到主軸內部的溫度，測點溫度只是一種近似，但測量結果也能反映溫度隨時間變化情況。另外，車間室溫隨外部環境溫度變化也略有變化，但變化不大，在2～3℃左右。

圖7 主軸熱性能

實驗獲得的主軸熱變形如圖7（b）所示。隨著溫度的升高，主軸熱變形逐漸增大。約經過250 min主軸軸向伸長最大達到210.9 μm，主軸前端垂直方向最大偏移89.7 μm，后端垂直方向最大偏移量82.2 μm，主軸在垂直方向表現出“抬頭”現象。主軸前端水平方向最大偏移58.0 μm，后端水平方向最大偏移量55.6 μm，主軸在水平方向發生傾斜。通過轉速圖、主軸溫度場圖和主軸熱變形圖的對比，可知主軸轉速、熱變形與溫度呈近似比例變化，然而熱變形相對于溫度場存在滯后現象，這主要是由于主軸結構熱慣性的存在。試驗獲得的主軸熱傾角如圖8所示。

圖8 主軸熱傾角

3 模型性能比較

3.1 溫度測點選擇

該數據在采集時已經進行分組，從圖7（a）中可以看出溫度數據分為三組，只需相關系數計算即可，在這里選擇軸向熱誤差進行相關系數的計算，經過式（1）計算得出溫度測點相關系數值如表2所示。

表2 溫度變量相關系數

對比各組相關系數值選出三個溫度測點T1、T4、T5，用這三個溫度測點進行網絡訓練。

3.2 模型預測

選擇優化后的三個溫度測點作為各個網絡的輸入，軸向熱變形和俯仰角θy作為網絡的輸出，將選擇的的溫度數據、熱變形數據和熱傾角數據進行歸一化處理，以加快網絡收斂。并在每個網絡中用所選數據的前260 min對應的數據進行訓練，用剩下的85 min數據預測。軸向熱誤差預測如圖9（a）所示，俯仰角 θy預測如圖 9（b）所示。

圖9 模型預測

PSO優化灰色神經網絡值得到的最優初始參數分別為 a1=0.530 2，b1=0.384 6，b2=0.453 2，b3=0.637 0，得到的個體適應度曲線如圖10所示。

圖10 最優個體適應度

3.3 模型性能比較

通過對預測數據和實際數據做差可以得到殘差圖，軸向熱變形殘差如圖11（a）所示，俯仰角θy殘差如圖11（b）所示。通過殘差圖可以看出PSO優化灰色神經網絡預測殘差波動范圍相比于其他的兩個網絡較小，計算得出PSO優化網絡得出的軸向熱伸長和俯仰角θy平均殘差分別為2.293 μm和0.134 μm；灰色神經網絡的出的平均殘差分別為3.075 μm和0.181 μm；BP神經網絡得出的平均殘差分別為3.546 μm 和 0.215 μm。

圖11 網絡預測殘差

計算預測值與實際值的平均相對誤差得出PSO優化的灰色神經網絡預測軸向熱誤差和熱傾角的相對誤差分別為1.55%和0.72%；灰色神經網絡預測的平均相對誤差分別為1.91%和0.99%；BP神經網絡預測平均相對誤差分別為2.21%和1.20%。從這些平均殘差和相對誤差中也可以看出PSO優化后的網絡預測精度得到了改善，有效的避免了局部最優解的出現。

4 結束語

本文建立了PSO優化的灰色神經網絡的軸向伸長和俯仰角模型，并將該模型的預測性能與灰色神經網絡BP網絡進行對比，得出以下結論：

（1）該網絡預測得出的軸向熱伸長和俯仰角θy平均殘差分別為2.293 μm和0.134 μm。

（2）計算該網絡預測得出數據的平均相對誤差分別為1.55%和0.72%，均小于灰色神經網絡和BP網絡的預測平均相對誤差。

（3）PSO算法能夠實現對灰色神經網絡的初始參數進優化，并能有效提高網絡模型的收斂性和預測精度。為主軸熱誤差補償模型提供了一種新的方法。