數學　如何在復雜問題中絕地求生

東坡

剛走出考場，耳邊充斥的總是花式比慘的話語：同桌自稱一點沒復習，前桌瘋狂吐槽題目太難，學霸小王感慨差點沒做完……咦，只有自己感覺還不錯，甚至覺得挺穩嗎？直到試卷發下來，看到同桌考了80分，前桌拿了85分，學霸小王喜提98分，而你，因為59分不及格而被點名批評。你恍然，原來同學間的較勁也暗藏心機。

這其中蘊含的正是博弈。簡單來說，博弈可以理解為做決定，要不要瘋狂采購、報考什么學校、是否競爭總裁職位……小到菜市場的斤斤計較，大到國家間的寸土必爭，生活處處都有博弈。面對復雜的問題，我們如何運用博弈知識絕地求生呢？

“零花錢困境”

假設你和學霸小王是一層樓的鄰居，并且同在一個班。學校要統一購買參考書，費用為12元?；丶衣飞?，你們發現樓下小賣部新進了一種網紅雪糕，售價1元。對于早早用完了零花錢的你們，這1元的雪糕也顯得遙不可及。因此你打算告訴父母，參考書是13元一本，這樣你就能擁有雪糕，享受清涼的快樂。

可正當你準備向父母開口時，媽媽向你透露了一個消息：今晚她要去小王家串門。這時你就面臨了一個困境，你不知道小王要了多少錢買書，但你的父母去串門后肯定會知道。如果你要了13元但小王只要了12元，那你“謊報軍情”的事情就會敗露，你不僅吃不到雪糕，還會被扣除1元下個月的零花錢。如果你要了12元但小王要了13元，那被扣錢的就會是小王，而作為誠實的獎勵，你會獲得一支2元的高級雪糕。此時，你應該誠實還是虛報參考書費用呢？

在博弈論中，我們通常將這類問題簡化為支付矩陣（Payoffmatrix）的方式來分析，如左圖。

支付矩陣中一共有四個格子，每個格子中是你和小王的一種決定及對應收益。左上方的格子，代表你和小王都“謊報軍情”，結果均得到13元的情況：紅色的1指的是你在此時能獲得1元，藍色的1指小王在此時能獲得1元。同理，左下方的格子代表你誠實而小王撒謊，此時，紅色的2指的是你獲得了2元的高級雪糕獎勵，藍色的-1指小王被扣除了下個月的1元零花錢。

矩陣有了，該如何選擇呢？由于你無法和小王溝通，也猜不到小王會怎么做，所以我們要引入一個新的概念來解決問題——重復剔除嚴格劣戰略。

合適的戰略=最多的零花錢？

現在有一堵墻，隔絕了你和小王的所有聯系，讓你無從知道他的決定，因此你需要一個戰略來保護自己，并且獲得更大收益。有了它，你就能“運籌屋檐之下，勝負一墻之隔”了。

我們再來一起看看右邊的支付矩陣。

如上面表格所示，對你而言，當小王撒謊時，誠實的你能獲得價值2元的高級雪糕，撒謊的你只能多獲得1元。所以當小王撒謊時，誠實是比撒謊更好的選擇。而當小王誠實時，撒謊的你會被罰去1元零花錢，誠實的你不會受罰也不會得到獎勵。所以當小王誠實時，你的誠實依舊是比撒謊更好的選擇。綜合來看，無論小王如何抉擇，對你來說，誠實都是收益更大的選擇，而撒謊是嚴格劣于誠實的策略。

同樣的道理，下面表格，我們站在小王的角度來分析，也能得出結論：無論你是誠實還是撒謊，對小王來說，誠實都是更好的選擇。

現在結果出來了：當你和小王都不清楚對方會如何抉擇時，最佳的策略是誠實地告訴父母參考書的價格。這個結果就是通過博弈論的方法得到的最優解。

但很明顯，其實收益最大的情況是，你和小王都撒謊，這樣你們各能獲得1元收益，共計2元;而都選擇誠實卻是0元收益，共計0元。因為條件的限制，運用博弈論，你們只能做出沒有收益也不會被懲罰的決策。

囚徒困境

“零花錢困境”實際上是博弈論中經典的囚徒困境的一種形式。

囚徒困境指的是，兩名共謀犯罪的人被關入監獄，分開在不能互相溝通的單人牢房內。已有的證據只能讓每個人坐1年的牢，不過如果任意一人檢舉揭發另一個人，而另一方保持沉默，那么揭發方就能戴罪立功，逃離牢獄之災，而被揭發方會因為證據確鑿并且抗拒司法入獄10年。不過，如果雙方互相揭發，那么雙方都會因確鑿的證據而被判刑8年。

對兩名囚犯而言，他們的最佳選擇和作為團隊的最佳選擇是什么呢？同學們可以用支付矩陣來分析分析。

結果是不是有點扎心？即便合作對雙方都有利，但想要達成并保持合作卻困難重重。

或許你會想，有溝通不就能打破困境了嗎？不管是獲得零花錢，還是減少監禁時間，充分溝通后就能雙贏。

真有這么容易嗎？

如果下次考試，只要低于最高分60%的分數會被判為不及格，也就是如果最高分是80分，那么及格線就是48分。這時有人給出一個“完美”方案，只要大家都考一樣的分數，就能保證全員及格，哪怕大家都是0分！學渣小李聽后開心得不行，準備放手一搏，交白卷。但知道了囚徒困境的你，相信大家會統一交白卷嗎？以及，你又會交白卷嗎？