淺談構造模型法在高中計數原理中的應用

付堯

【摘要】構造模型法是高中數學中應用最為廣泛的解題方法，通過已知的解題條件或者已知問題的答案，構建函數、方程或幾何圖像等數量關系式來解答題型的方式。高中教材中計數原理、排列、組合的題目類別繁雜多樣，解題思路也層出疊現，變幻莫測，而計數原理難點在于解題方式不是唯一的，使高中生遇到此類題型時常常沒有解題思路，本文主要介紹構造模型法在計數原理中的實際運用。

【關鍵詞】計數原理? 構造模型法? 解題技巧

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）49-0123-01

引言

在高中生解題過程中，通常是回憶老師所講過的內容并對以往做過類似的題目進行分析總結，其意圖是依照以往的解題技巧來尋求方法，并以此來解答新題目。構造模型法是一種新型的解題思路模式，通過對題目的構成分析，把分析結果并入到已知的模型中，繼而對其進行模擬試驗以此解答新題目。因此在高中生學習過程中，應該加強基礎模型的結構和實際運用。

一、計數原理概述

計數原理作為數學中最為關鍵的探究內容之一，也是實踐問題中運用性最廣泛的知識點，因自身知識點的獨特性，其答題方法和分析思路也具有特別之處，其根本計數原理分為分類加法計數原理以及分步乘法計數原理，是解答計數類題型最為基礎的理論依據，此方法也為解答現實問題擴寬了思路。分類加法原理，假如一個目標能夠在m種不同情形下完成，第k種情形又有nk種不同方法來完成其中k取值可以為1，2，3，…，m，那么完成這個目標就可以有M=n1+n2+n3+…+nm種方式;分步乘法原理，假如完成一個目標需要通過m個環節，第k步又能有nk種不同方法來完成其中k取值可以為1，2，3，…，m，那么完成這個目標就可以有M=n1n2n3…nm種方式。

二、構造模型法的運用

根據計數原理、排列、組合的常規解題模式進行分別論述，從而總結不同題型的解題技巧，進而為構造模型解題法提供參考依據。

（一）映射題型

例1：已知集合M={x，y，z}，N={4，5，6，7，8}，那么集合M→集合N的映射有幾種？

通常遇到這類不同單元對應的題目，學生們應從對應單元為只有單一選擇的單元為探究對象，在例題中，集合M中的單元在集合N中只有唯一一個單元與之對應，但集合N中可能有多個單元與集合M對應，因此，在解題時，選擇集合M為探討對象，其中x有5種選擇，y有5種選擇，z也有5種選擇，故此集合M到集合N有5×5×5=125種映射。

構造題型：集合M有x個單元，集合N有k個單元，那么集合M→集合N有k種映射。

運用模型：6名學生要去參加跑步、跳高、跳繩、游泳活動，每人僅限一項，問不同的參加方式有幾種？

答：4種。

（二）抽取正次品、抓球題型

例2：200件同規格物品中，180件正品，20件次品，現在任意抽取5件，問抽到3件次品的概率是多少？

通過題意可知抽出的5件物品中正品數是2件，次品數是3件，在180件中取出2件正品以及在20件中取出3件次品的抽法共有CC種選擇，而總抽法有C種選擇，因此抽出5件物品中有3件次品的概率為N=CC/C。

構造題型：在x+y個不同的單元中，x個單元中有同屬性產品M（比如顏色、正次品等），y個單元中同屬性產品N（比如顏色、正次品等），在x+y中所及抽出z個單元，那么抽取的z個單元中恰好有k個同屬性產品M的單元的抽出方式有CC種方式。

運用模型：抽獎箱中有10個籃球和8個紅球，隨機抓出4個球，問恰好有2個籃球的概率？

答：恰好有2個籃球的概率為N=CC/C。

（三）分配類題型

例3：50個先進個人稱號頒發給6個班組，每組最少2個，問有多少種頒發方法？

計數原理題型中同種單元的分配問題通常是比較空洞且難以理清題意，在解答這種題目時，可利用擋板模型來解答，既50個木塊有49個間隔（不計兩頭），需要5個擋板放入49個間隙中，故50個木塊可分成6組，一一對應6個班組，每組對應的木塊數即頒發的個數，因此共有C種頒發方法。

構造題型：x中同性質的單元分配給y個人，每人最少一個單元，那么共有C種分配方法。

運用模型：求解方程x+y+z=20有多少組自然數的解？

答：有C組解。

（四）子集、并集題型

例4：已知集合M={4，5，6，7}，求解集合M的子集N有多少個？

根據題意可知，集合M中的所有單元組成，只有兩種形式，即為屬于N或不屬于N，故此M的子集個數為2×2×2×2=2個。

構造題型：子集個數問題，關于任何一個k個單元的集合M={x1，x2，x3，…，xk}，子集個數為2k。并集個數問題，已知集合MUN={x1，x2，x3，…，xk}，那么符合要求的M，N集合有多少組？利用幾何圖形，由圖1可知，MUN可劃分為三個范圍，因此MUN={x1，x2，x3，…，xk}中的任何一個單元x都有3種方式，即有3組符合M，N要求。

運用模型：已知MUN={4，5，6}，那么符合要求的M，N集合有多少組？

答：符合要求的有3組。

結合上述幾種題型的分析可以得出，構造模型法既是將題目中共有的信息通過對比、分析總結，使問題由難到簡，然后把問題轉變成另一種形式來解答。

結束語

構造模型法對于計數原理的運用主要在于構建題型和運用模型，使高中生在解題時通過老師給出的模型進行題目的模仿和構造，可有效增加學生的創造性和解題技能。因此，教師在授課過程中，應加強學生構造模型法的鍛煉，將學生的構造模仿能力得到進一步的提升。

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