基于分岔理論的球式自動平衡裝置的穩定性研究

祝貴祥，譚 青, 江 波

（中南大學 機電工程學院，長沙410083）

隨著回轉機械轉子轉速的不斷提高，回轉機械的振動直接影響著旋轉機械工作的安全與可靠性[1-2]，回轉機械的振動已經成為重要的研究課題之一。目前，最常見的減振方法是對轉子采取高精度的動靜平衡方法。但是,實際的工業生產中，回轉機械在使用過程中可能會出現偏心質量分布突然發生變化的情況，動靜平衡方法不能對回轉機械的突變型偏心質量做到實時平衡。安裝自動平衡裝置是解決回轉機械實時平衡的有效措施之一[3-6]。國內外學者已經提出了多種類型的自動平衡裝置，其主要分為兩類，一種是通過微機控制的主動式自平衡裝置；另一種是通過系統自動定心原理來實現平衡的被動式自平衡裝置，該類自平衡裝置又分為球式、液體式、環式、擺錘式等自動平衡裝置[7]。自球式自動平衡裝置問世以來，該裝置的研究就受到了國內外的廣泛關注[8-12]。不同于液體式、環式、擺錘式等自動平衡裝置[13-15]，球式自動平衡裝置在高速狀態下減振效益顯著，且不管偏心量的位置，也不需要外界的調試和控制，其能自動發揮平衡作用[16]。

分岔分析可以很直觀得到解的變化情況及解的性質發生改變的界面，使用分叉分析既可以知道系統解的變化情況，又能得到穩定平衡解存在的區域邊界，同時擺脫了依靠擾動方程不能解決臨界系統穩定性的困境[17]。

對某特定工況的轉子，使用哪些參數才能保證自動平衡裝置的穩定運行是必須考慮的問題。故研究球式自動平衡裝置的行為隨參數變化而改變的規律，為其設計和使用提供一個用于參考的參數可行域是有必要的。使用分岔理論研究自動平衡裝置的動態特性隨參數變化的演變情況，獲得相應的穩定區域分布圖，對于球式自動平衡裝置的設計和應用具有一定的理論和實際價值。

1 球式自動平衡裝置的數學模型

1.1 數學模型簡要說明

球式自動平衡裝置力學模型如圖1所示。

圖1 力學模型圖

由課題組已有的研究可知，系統的運動微分方程[18]如式（1）所示

式中M為系統的總質量；m1、e為轉盤的偏心質量、偏心距，m、r分別為滾球質量和半徑（本文假設每個滾球的大小和質量一樣）；C、K為系統的阻尼矩陣、剛度矩陣分別為滾球的角加速度、角速度、轉角；I為滾球對其質心的轉動慣量，單位為kg·m2；分別為轉盤的角加速度、角速度、轉角；穩態時轉盤以角速度ω勻速轉動。i為滾球個數編號，在球式自平衡裝置中，至少需要一個滾球，當系統僅有一個滾球存在時，裝置的平衡能力很有局限性，因此，球式自平衡裝置中一般會加2個及2個以上的滾球，文中以2個滾球為例進行說明，即取n為2。β0為滾球的滾動摩擦因數，β1為滾球的黏性阻尼系數。式中變量上面的點“.”表示變量對時間的導數，后文不再說明。

當系統處于穩定狀態時，滾球所受的滾動摩擦阻尼力可以忽略。此時有θ=ωt，令φi=φi+θ。

對于球式自動平衡裝置，由于滾球質量是一個變化的量需要與總質量M分開，M=M1+2m+m1（M1為圓盤質量）。求出系統的偏心距和固有頻率

λ為滾球質量與轉盤質量之比，η為轉速與固有頻率之比，δ為偏心距與轉盤半徑之比，ζ為結構阻尼比，β為黏性阻尼系數。于是有

1.2 數學模型的自治化變換

根據李亞普洛夫穩定性定理，非線性自治系統的平衡解的穩定性可以用其一次近似線性方程的穩定性來進行研究[19]。研究非自治系統的分岔和穩定性問題的研究方法比較復雜，為簡化問題，通過坐標變換將上述建立的非自治系統方程組轉化為自治系統方程組的形式。引入旋轉坐標變換，設坐標系uov的中心與軸未發生變形時中心重合并隨著軸一起旋轉，如圖2所示。

圖2 旋轉坐標系示意圖

則有

得到最終的自治化方程組為

將方程組寫成矩陣形式，令

方程組可寫成如下形式：B(x)x˙=D(x)，其中

Q(x)是一個滿秩的且可逆的4×4方陣，I為4×4的單位矩陣，B(x)為可逆的8×8矩陣，故得到

B(x)-1、D(x)都是關于向量x的矩陣，即方程組轉換成了標準的微分方程組形式

2 系統的平衡解

球式自動平衡裝置的數學模型可表示為一個標準形式的非線性微分方程組。由文獻[20]可知，對于自治系統：x˙=f(x)；如果有a∈D（D為解區間）滿足f(a)≡0則稱x=a為系統的一個平衡解。

系統的平衡解反映了系統不隨時間變化的平衡狀態，即一種穩定的狀態。

根據文獻[21]，奇點時系統的速度和加速度都為零，奇點就是平衡解所對應的平衡點，故令都等于零。本文只考慮2 個球的情況，3 個球或多球的情況以此類推。令n=2，得

求解式（12）可獲得平衡解1和平衡解2

（1）若u=v=0，則得平衡解1，如式（13）所示。平衡解1 狀態下滾球達到理想平衡位置，實現完全減振，殘余振幅為0。平衡解1 的示意圖如圖3(a)所示。

（2）若u≠0,v≠0，則得平衡解2，如式（14）所示。平衡解2狀態下滾球未達到理想平衡位置。殘余振幅不完全為零。平衡解2 的示意圖如圖3(b)所示。

圖3 平衡解的示意圖

對于平衡解1，要保證滾球的相對轉角φ1=有意義，只考慮偏心距為正的情況，所以（n為滾球數目），即直觀上理解，滾球的質量之和必須大于等于偏心量的等效質量，當滾球處于理想平衡位置時滾球的質量必須足夠用來補償偏心質量，這樣才能實現完全減振。

考察平衡解2(±)的表達式，要保證解的存在性，則可得式（15），可以看出在時，不等式恒成立,即平衡解2(±)在時一直存在。當時，對于η→∞，除的區域，不等式成立。

解2(-)為平衡解2 中滾球相對轉角表達式前面取負號

解2(+)為表達式取正號：

根據李雅普諾夫穩定性定理，對于形狀如x˙=f(x)的自治非線性系統平衡解的穩定性分析可以通過對其一次近似線性方程的平衡解的穩定性研究實現。其一次近似方程為

其中矩陣A為系統在平衡解xe的雅克比矩陣，M為其雅克比矩陣的特征方程，p為特征值。根據李亞普洛夫定理和勞斯判據，系統平衡點穩定的充分必要條件是特征方程的所有特征值的實部都為負數，即：real(pj)＜0,j=1,2,…,N。N為系統的階次，pj為系統的第j個特征值。若該一次近似系統只要有一個特征值取正值，對應的非線性系統的平衡解也就不穩定。同時，李亞普洛夫也指出當一次近似系統的特征值出現純虛根，即在該參數空間中系統為臨界穩定系統時的情況。

運用MATLAB 計算雅克比矩陣和特征值矩陣十分方便和迅速，故直接利用勞斯判據。根據平衡解1和平衡解2的表達式，獲得平衡解關于參數空間的關系式，代入至雅克比矩陣中，從而解出特征值矩陣，判斷所有特征值的實部是否小于0 從而判斷穩定性。

分別設置參數空間中不同的參數為自由參數（雙參數或者多參數）進行迭代，從而得到穩定域。具體流程見圖4

圖4 平衡解的穩定邊界計算流程圖

經過計算得到η-λ、η-δ、η-ζ、η-β雙參數下的平衡解1和平衡解2(±)的穩定區域分布圖，結果如圖5至圖8所示。

不穩定區域外不存在穩定平衡解的區域。平衡解1為滾球達到理想平衡位置，實現完全減振，殘余振幅為0；平衡解2(±)下殘余振幅不為零。

圖5 η-λ雙自由參數下的穩定區域

從圖5可以看出，亞臨界轉速下有穩定的平衡解2(-)存在，解2(-)在亞臨界轉速下滾球的相對角度是偏向于偏心質量一側的（當λ=0.0018,δ=0.0018,ζ=0.011 ，β=0.0814 ，η=0.95 時，φ1=-0.666 rad=-38.16°）。在亞臨界轉速下，隨著滾球質量占比的增大，系統將更早進入不穩定區域，這時滾球相對于轉盤開始運動。當滾球質量較大時(λ＞0.03)，會在轉速比為1 附近的狹小區域內（例如λ=0.05時，0.969 9 ＜η＜1.023）產生穩定的平衡解1，不過這個區域太過狹小，轉速一旦稍微升高，平衡狀態立即消失。在過臨界轉速下，滾球質量越大，進入穩定區域所需要的轉速越高，當λ=0.049 8 時，η≥1.639才能進入平衡解1存在的穩定區域。當滾球質量之和不能完全抵消偏心質量造成的偏心時，在過臨界轉速下，會有穩定的平衡解2(-)存在，這時兩個滾球靠在一起分布于偏心質量對側，一定程度上抑制系統振動但仍然存在殘余振幅。

圖6 η-δ雙自由參數下的穩定區域

從圖6可以看出，當偏心質量比較小，在亞臨界轉速下即開始出現不穩定區域，滾球相對于轉盤轉動，偏心質量增大，開始出現穩定的平衡解2(-)。當轉速η≥1.21，進入平衡解1的穩定區域。

從圖7可以看出，當系統的結構阻尼較大時，在亞臨界系統提前進入不穩定區域，滾球相對于轉盤轉動。在過臨界轉速下，當結構阻尼比較小時，系統需要更高的轉速才能進入解1的穩定區域內實現減振（如ζ=0.000 5,η=1.403）。

圖7 η-ζ雙自由參數下的穩定區域

圖8 η-β雙自由參數下的穩定區域

從圖8可以看出，在亞臨界轉速下，平衡解2(-)的穩定區域與不穩定區域的分界線是η=0.885 4的一條垂直線，在過臨界轉速下，當黏性阻尼系數比較大的時候，在轉速大于1.208時進入平衡解1的穩定區域內。但當β比較小時，系統需要更大的轉速才能進入解1的穩定區域（β=0.000 5,η=1.465）。

3 實驗研究

實驗研究是對η-λ、η-δ、η-β雙參數分岔和穩定性的理論分析進行驗證。本文設計、搭建了如圖9（a）所示的實驗平臺；振動信號采集系統用來記錄實驗過程中的振動情況，振動信號采集系統如圖9（c）所示。

（1）驗證η-λ雙參數分岔和穩定性分析結論時，用不同質量的滾球來平衡系統，觀察系統平衡解1的穩定性的變化情況。將電機的轉速調至該滾球質量對應的根據理論計算得到的轉速值附近，然后施加沖擊擾動，改變滾球質量，觀察裝置的穩定性情況，實驗結果如圖10所示。

圖10中相等質量下的穩定點表示在該質量和轉速工況下，系統處于穩定狀態，沖擊擾動后系統不會失穩。不穩定點表示系統在沖擊擾動后會發生失穩現象。

從圖10中可以看出，滾球處于穩定點時，系統的振幅只有0.02 mm。當系統處于不穩定點，施加沖擊擾動后系統開始失穩，最后完全失穩，此時的最大振幅可達到0.35 mm，振幅明顯增加。從圖中可知，當m=7.10 g時，實驗中開始出現失穩的不穩定點η實驗=1.243；當m=32.12 g，實驗的開始出現失穩的不穩定點η實驗=1.363。實驗顯示了隨著滾球質量的增大，開始出現失穩的不穩定點增大，說明滾球越大，系統越晚進入穩定區域，這與理論分析的結論顯示的趨勢是一致的。

圖9 實驗臺及實驗方案

圖10 不同滾球質量工況下的穩定點和不穩定點的振幅

（2）驗證分岔現象的存在以及η-δ雙參數分岔和穩定性分析結論，文中改變偏心量大小，觀察系統穩定性的變化情況，本次實驗使用的滾球質量為32.12 g。用兩組不同偏心質量做穩定性試驗，試驗結果如圖11所示。

從上圖可知，當偏心質量為3 g 時，實驗中開始出現失穩的不穩定點的轉速比η實驗=1.316；當偏心質量m1=35 g，實驗中開始出現失穩的不穩定點η實驗=1.355。理論值和實驗結論基本一致。實驗顯示隨著偏心質量的增大，不穩定點的頻率稍有增大，說明偏心量的大小對進入平衡解1的穩定區域影響不是很明顯。

（3）驗證η-β雙參數分岔和穩定性分析結論。根據摩擦學理論，向軌道中加入不同黏度的潤滑劑來研究黏性阻尼的雙參數分岔和穩定性問題。實驗中使用的滾球質量為32.13 g，分別在46#液壓油、低黏度油、不加油3種條件下做了3組試驗。實驗結果如圖12所示。

通過實驗發現，對于使用40#液壓油的軌道，滾球在超過ω=713.6 r/min 的轉速下能處于穩定的平衡解1的狀態。使用低黏度的潤滑油的軌道黏性阻尼較小，滾球很難穩定下來，系統一直未穩定。當不使用潤滑油時，軌道具有很小的黏性阻尼和較大的滾動摩擦阻尼，系統一直未穩定。因此，在軌道中加入足夠黏度和劑量的潤滑油對提高系統減振效果和穩定性具有重要意義。

4 結語

球式自動平衡裝置需要在不同工況下穩定運行。在使用過程中部分參數可能發生變化，如偏心量大小和位置、轉速、結構阻尼等。因此，研究系統在參數變化情況下動態特性的變化規律是有重要意義的。本文引入無量綱變量和旋轉坐標系對數學模型進行無量綱化和自治化處理。利用微分方程理論求出自治系統的平衡解1和平衡解2(±)，根據李雅普諾夫原理和勞斯穩定性判據判斷平衡解的穩定性變化情況，獲得了η-λ、η-δ、η-ζ、η-β雙參數下的平衡解1 和平衡解2(±)的穩定區域。通過研究得到了平衡解隨轉速、滾球質量、偏心距等參數變化而變化的趨勢圖。

圖11 不同偏心質量工況下的穩定點和不穩定點的振幅

圖12 不同潤滑狀態下m=32.13 g時不穩定點的振幅

實驗對η-λ、η-δ、η-β雙參數分岔和穩定性的理論分析進行驗證。實驗結果顯示系統的確存在分岔現象，且驗證了分岔與穩定性理論分析的正確性與數值仿真計算的有效性。

雙參數可行域可用于指導不同工況要求下的球式自動平衡裝置的設計和應用條件的設置，同時從理論上更深刻理解球式自動平衡裝置從亞臨界到過臨近轉速下系統狀態的演變過程。這對球式自動平衡裝置的研究和使用具有一定的指導作用。