郵票里的數學故事

文 陳新合

一枚枚郵票包含著一個個典故。郵票與數學有什么不解之緣呢？讓我們一起走近郵票里那些形形色色的圖形。

如圖1，這張郵票上的圖形是一個“彭羅斯三角形”，它是現實世界中不能客觀存在的圖形，也稱為不可能圖形。不可能圖形，又稱錯覺圖片，是指只能在二維世界存在，而無法存在于三維的現實世界中的一種幾何圖形，常以視覺錯位的形式“欺騙”觀看者的眼睛，令觀看者產生眼見不一定為實的想法。如今，不可能圖形已成為視覺藝術的一個子類，在數學、醫學、電子游戲等領域均有應用。“彭羅斯三角形”雖然以彭羅斯命名，但它其實最先是由荷蘭藝術家埃舍爾設計的。數學家彭羅斯在看到埃舍爾的繪畫作品后，產生關于這種圖形的靈感，然后與其父親一同討論出一篇論文并發表。“彭羅斯三角形”便由此得名。

圖1

如圖2，這張郵票給我們展示了“希爾賓斯基三角形”。它由波蘭數學家希爾賓斯基在1915年提出。我們可以嘗試制作“希爾賓斯基三角形”：取一個實心正三角形，挖去“中心三角形”（以原三角形各邊的中點為頂點的三角形），在其余的小三角形中再分別挖去“中心三角形”。如圖3，白色三角形代表挖去的面積，黑色三角形代表剩下的面積。如果無限重復以上方法，則“希爾賓斯基三角形”的面積趨近于零，周長趨近于無限大。

圖2

圖3

“希爾賓斯基三角形”是最簡單的分形。分形具有自相似性，顧名思義，就是一個圖形的自身可以看成由許多與自己相似的、大小不一的部分組成。乍看起來雜亂無章的分形，其實是大自然的基本存在形式，隨處可見，例如雷雨過后的閃電（圖4），冬天漫天飛舞的雪花（圖5），蝸牛外殼上的螺旋圖案（圖6），生活中常見的花菜等。小至植物的結構及形態、遍布人體全身的縱橫交錯的血管，大到天空中聚散不定的白云、連綿起伏的群山，它們都或多或少表現出分形的特征。分形與混沌理論在數學、物理學、生物學、地質學乃至股票指數波動等許多自然與社會科學領域中都有廣泛應用，作為當今非線性科學中活躍風靡的前沿學科，不僅向人們展示了數學科學與藝術審美的內在關聯，也從某個方面揭示了自然和精神世界的本質差異。

圖4

圖5

圖6

如圖7，這張郵票上的圖案是我們非常熟悉的“莫比烏斯帶”。它是由德國數學家莫比烏斯和約翰·李斯丁于1858年發現的。把一根紙條扭轉180°，將兩頭再粘接起來，這樣做成的紙帶圈，具有魔術般的性質。普通紙帶具有雙側曲面，兩個面可以涂成不同的顏色，而這樣的紙帶只有單側曲面。如果我們把“莫比烏斯帶”沿橫中線剪開，出乎意料地得到了一條雙側帶子，而不是兩條。如果把“莫比烏斯帶”沿縱中線剪開，你又將獲得新奇之感：剪刀將環繞紙帶子剪整整兩圈，剪的結果是兩條卷繞在一起的紙條，其中一條是雙側紙圈，另一條是新的“莫比烏斯帶”。你看，這真是一條奇妙的帶子。

“莫比烏斯帶”為很多藝術家提供了靈感，比如荷蘭畫家埃舍爾利用這個結構創作了木刻畫里面的人（圖8）。“莫比烏斯帶”還被應用于工業制造，比如制造磁帶，以承載雙倍的信息量。

圖7

圖8

圖9給我們呈現了一幅美妙的圖案——“向日葵螺旋”。“向日葵螺旋”是由向日葵的管狀花排列出的，這種螺旋不是同心圓，兼具擴散感和吸入感，既美麗誘惑，又神秘莫測。它還有個格調更高的名字——斐波那契螺旋。斐波那契螺旋得名于意大利數學家斐波那契。這位數學家提出了一個有趣的數列——斐波那契數列，即數列中從第三項開始，前面相鄰兩項之和構成后一項，如1，1，2，3，5，8，13，21……斐波那契螺旋基于這個數列，作以連續的斐波那契數為邊長的正方形，然后以正方形的對角線為端點畫圓弧而形成（如圖10）。神奇的是，在較高的數字序列中，兩個連續的數的比值越來越接近黃金比例（1∶0.618）。黃金比例具有高度的藝術性、和諧感，被全世界公認為最能引起美感的比例。蘊含著黃金比例的斐波那契螺旋，能給人帶來美的視覺愉悅感，也是一種在動態中趨向平衡、和諧的線條，是美的極致。

圖9

圖10

除了向日葵以外，很多植物的花、種子的排列都遵循這個規律，比如海螺，甚至宇宙中的星系，都可見斐波那契螺旋。不得不驚嘆，我們身處的這個世界，真像是按照精確的計算和藝術的表達設計出來的。