展開與折疊 轉(zhuǎn)化與互逆

文 江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學(xué)校九（9）班 許辰宇

在學(xué)習(xí)“展開與折疊”的過程中，可能有不少小伙伴無法在腦海中抽象出立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化過程。其實這對我們的空間想象能力提出了較高的要求。現(xiàn)在我把我的一些發(fā)現(xiàn)整理如下，希望能幫助大家學(xué)習(xí)。

“展開與折疊”包含了兩個關(guān)鍵詞：展開、折疊，這兩個詞本身是一種互逆的關(guān)系。

首先，我們從圖形的展開說起。展開就是將某個幾何體的表面適當(dāng)剪開并平鋪的過程，形成的平面圖形稱為幾何體的展開圖。在小學(xué)階段，我們曾了解到圓柱的展開圖是兩個圓和一個長方形（如圖1）。

圖1

進(jìn)入初中后，我們談到圖形的展開，就不得不提到一個非常重要的幾何體——正方體。正方體的展開圖可能是大家的一個困惑點。其實正方體的展開圖種類并不多，只有11種。根據(jù)展開圖中每一層的正方形個數(shù)（從上往下數(shù)），我們可以把它們分成4類，即“141型（如圖2）”“231型（如圖3）”“222型（如圖4）”“33型（如圖5）”。

圖2

圖3

圖4

圖5

當(dāng)然，在某些展開圖中也隱藏著一些數(shù)量關(guān)系。比如圖1中，圓的周長與矩形的長是相等的。因為如果將展開圖折疊還原為圓柱，圓的一周與矩形的長是完全重合的。這里就涉及另一個關(guān)鍵詞——折疊。將展開后的平面圖形折疊成立體圖形，形成幾何體的過程，就是折疊。如果將8個相同的正三角形沿如圖6所示的虛線折疊，則會得到一個正八面體。

圖6

相較于“展開”結(jié)果的多樣性，折疊結(jié)果則具有唯一性。對一個平面展開圖實施不同的方法折疊，還原成幾何體，這個幾何體有且只有一個。在這個還原的過程中，會衍生出一類問題，比如求正方體展開圖重新折疊成正方體時，原來的展開圖上哪兩個面是相對的？在解決這類問題之前，我們首先要明白一個基本規(guī)律：在正方體展開圖中，相對的兩個面不可能是“相連”的，應(yīng)該是“分隔”的；如果展開圖中兩個面是“相連”的，那么折疊后的它們一定是相鄰的面，而不是對面。

運(yùn)用這個規(guī)律，我們逐個剖析，可以把正方體的11種展開圖中的“對面”分布情況標(biāo)注如下（如圖7）。字母相同的兩個面是對面。

圖7

“展開”是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形；“折疊”是將平面圖形轉(zhuǎn)化為立體圖形。這其中蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化和互逆的數(shù)學(xué)思想方法。我們在解決實際問題時，經(jīng)常會把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形來解決，也會借助平面圖形折疊成立體圖形，練習(xí)空間想象能力。

希望我的一點學(xué)習(xí)經(jīng)驗?zāi)転榇蠹业膶W(xué)習(xí)帶來幫助。

教師點評

“展開與折疊”是蘇科版《數(shù)學(xué)》教材七年級上冊的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是在小學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上對圖形的進(jìn)一步認(rèn)識。在小學(xué)階段，同學(xué)們已經(jīng)初步認(rèn)識了正方體、圓柱、圓錐等立體圖形，從直觀上對展開與折疊有了一定的認(rèn)識，但對展開與折疊前后立體圖形與平面圖形的位置、數(shù)量之間的關(guān)系認(rèn)識不足，直觀想象能力有待進(jìn)一步訓(xùn)練提高。許辰宇同學(xué)在平時的學(xué)習(xí)中，注重自主探索，及時歸納、總結(jié)學(xué)習(xí)中的小規(guī)律、小發(fā)現(xiàn)，形成有借鑒意義的小成果，值得同學(xué)們學(xué)習(xí)。眾所周知，正方體與其展開圖之間的相互轉(zhuǎn)化是學(xué)習(xí)的重點，許辰宇同學(xué)以最具代表性的“正方體”為例，歸納總結(jié)了4類共11種展開圖，便于記憶使用。文章最后給出正方體展開圖的互為對面情況的標(biāo)記，有助于同學(xué)們探尋對面的規(guī)律，理解并掌握展開圖的特征。相信他的這篇小文章會對同學(xué)們的圖形學(xué)習(xí)有一定的幫助。