“圖形的運(yùn)動(dòng)”錯(cuò)解剖析

文 王云峰

圖形的運(yùn)動(dòng)有三種方式：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，習(xí)慣上分別將它們稱為平移變換、對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換。初學(xué)這部分內(nèi)容，同學(xué)們常因觀察不仔細(xì)，想象不豐富，思考不全面等原因出錯(cuò)。下面我們舉例說(shuō)明。

例1 如圖1，4個(gè)小三角形的形狀與大小都相同，其中可以通過(guò)平移三角形ABC而得到的三角形一共有（ ）。

A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)

圖1

圖2

【錯(cuò)解】D。

【錯(cuò)因】有些同學(xué)由條件“4個(gè)小三角形的形狀與大小都相同”，誤認(rèn)為這4個(gè)三角形可以通過(guò)相互平移得到，錯(cuò)在沒(méi)有考慮平移的方向。實(shí)際上，三角形ACE是由三角形ABC沿AC翻折得到的。

【正解】C。

【點(diǎn)評(píng)】?jī)蓚€(gè)圖形間的運(yùn)動(dòng)方式為平移變換，它們不僅形狀、大小相同，而且方向也要一致；翻折變換實(shí)際上是反向平移。

例2“飛流直下三千尺”“坐地日行八萬(wàn)里（只考慮地球自轉(zhuǎn)）”，如果只從數(shù)學(xué)角度看，它們分別蘊(yùn)含的圖形變換是（ ）。

A.平移、平移 B.平移、翻折

C.平移、旋轉(zhuǎn) D.旋轉(zhuǎn)、翻折

【錯(cuò)解】A。

【錯(cuò)因】一些同學(xué)是這樣思考的：人在地面行走可看成是平移變換，因此從數(shù)學(xué)角度看，“坐地日行八萬(wàn)里”是平移變換。其錯(cuò)在沒(méi)有關(guān)注括號(hào)中的條件“只考慮地球自轉(zhuǎn)”。它表達(dá)的意思是：人在地球上不動(dòng)（“坐地”），地球自轉(zhuǎn)導(dǎo)致人“日行八萬(wàn)里”。因此這是旋轉(zhuǎn)變換。

【正解】C。

【點(diǎn)評(píng)】審題要仔細(xì)、全面，要關(guān)注題中的每一個(gè)條件。數(shù)學(xué)中許多式子會(huì)采用括號(hào)的形式表示，若不考慮全面，則容易出錯(cuò)。如：n=a（a≥0）寫(xiě)成 n=a，就是錯(cuò)的。

例3 如圖2，正方形ABCD繞某個(gè)點(diǎn)（記為點(diǎn)O）旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合，則點(diǎn)O的位置有________個(gè)。

【錯(cuò)解】2。

【錯(cuò)因】一些同學(xué)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O在點(diǎn)C（或點(diǎn)D）處時(shí)，正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合，錯(cuò)在僅關(guān)注了圖中有字母的點(diǎn)，忽視了其他的點(diǎn)。實(shí)際上，繞CD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后也能與正方形CDEF重合。

【正解】3。

【點(diǎn)評(píng)】由圖形的位置可知，正方形ABCD繞點(diǎn)C（或點(diǎn)D）旋轉(zhuǎn)90°能與正方形CDEF重合?？紤]完這種情形后，再考慮旋轉(zhuǎn)90°的整數(shù)倍后結(jié)論是否也成立，這是解答這類問(wèn)題的一個(gè)重要策略，可防止出現(xiàn)遺漏。繞CD的中點(diǎn)將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)180°能與正方形CDEF重合。

例4 如圖3，是一個(gè)長(zhǎng)為4cm、寬為3cm的長(zhǎng)方形紙片。若將此長(zhǎng)方形紙片繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的體積。

圖3

圖4

圖5

【錯(cuò)解】如圖4，是長(zhǎng)方形紙片繞一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，這是一個(gè)圓柱，它的底面半徑為3，高為4，所以它的體積為π×32×4=36π。

【錯(cuò)因】審題不清?！皩⒋碎L(zhǎng)方形紙片繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周”并沒(méi)有指明是繞長(zhǎng)邊旋轉(zhuǎn)還是繞短邊旋轉(zhuǎn)，因此要分兩種情形求解。

【正解】當(dāng)長(zhǎng)方形紙片繞長(zhǎng)邊旋轉(zhuǎn)一周，如圖4，它的體積為36π。

當(dāng)長(zhǎng)方形紙片繞短邊旋轉(zhuǎn)一周，如圖5，這個(gè)幾何體是圓柱，它的底面半徑為4，高為3，所以它的體積為π×42×3=48π。

綜上，所求幾何體的體積為36π或48π。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于沒(méi)有指明對(duì)象的問(wèn)題，要考慮進(jìn)行分類討論。

例5 圖6是3×3正方形方格，將其中兩個(gè)方格涂黑，并且使得涂黑后的整個(gè)圖案沿某條直線翻折，直線兩旁的部分重合。約定正方形ABCD繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)能重合的圖案都視為同一種圖案，如圖7中的四幅圖就視為同一種圖案。則得到的不同圖案共有（ ）。

A.4種 B.5種 C.6種 D.7種

圖6

圖7

【錯(cuò)解】B。

【錯(cuò)因】一些同學(xué)設(shè)計(jì)的圖案如圖8所示，忽視了題目中范例的情形。根據(jù)題意，范例也應(yīng)當(dāng)包含在答案中。

圖8

【正解】C。

【點(diǎn)評(píng)】利用翻折設(shè)計(jì)圖案，可先確定所有可能的“折線”，然后在“折線”的兩側(cè)進(jìn)行設(shè)計(jì)。本題的圖案是正方形，而正方形的“折線”有4條，如圖9所示。由于第1、2個(gè)圖繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)重合，第3、4個(gè)圖繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)也重合，所以只需在第1、3個(gè)圖中設(shè)計(jì)即可。由第1個(gè)圖可設(shè)計(jì)出范例及圖8中前兩個(gè)，由第3個(gè)圖可設(shè)計(jì)出圖8中后三個(gè)。這樣就能防止出現(xiàn)遺漏了。

圖9