過虛擬交班點的能量最優(yōu)制導(dǎo)律

李晨迪，王江，李斌,*，何紹溟，張彤

1. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081 2. 北京理工大學(xué) 無人機(jī)自主控制技術(shù)北京市重點實驗室，北京 100081 3. 北方華安工業(yè)集團(tuán)，齊齊哈爾 161006

隨著現(xiàn)代軍事技術(shù)的發(fā)展，對精確制導(dǎo)武器的需求與日俱增，超視距導(dǎo)彈武器系統(tǒng)一般采用復(fù)合制導(dǎo)體制[1-3]。復(fù)合制導(dǎo)中，導(dǎo)彈由中制導(dǎo)轉(zhuǎn)為末制導(dǎo)時，交接班問題是實現(xiàn)精確制導(dǎo)的關(guān)鍵。為了使導(dǎo)引頭開機(jī)時順利截獲目標(biāo)，實現(xiàn)中末制導(dǎo)交班，往往對此時導(dǎo)彈的位置等信息有一定要求[1]，為了滿足對導(dǎo)彈中末制導(dǎo)交班的彈道約束，本文研究過虛擬交班點的制導(dǎo)律，為導(dǎo)彈提供可靠的中末制導(dǎo)交班條件。

近年來，基于軌跡跟蹤的制導(dǎo)律在無人飛行器領(lǐng)域被廣泛研究[4-5]。根據(jù)跟蹤方式，軌跡跟蹤法可分為兩類：連續(xù)軌跡跟蹤和路徑點(彈道點)跟蹤。與連續(xù)軌跡跟蹤相比，路徑點跟蹤只需要選取有限個彈道特征點，通過使導(dǎo)彈經(jīng)過選定的彈道點而得到期望彈道，計算量較小。連續(xù)軌跡跟蹤往往需要通過復(fù)雜計算實時得到待飛軌跡長度，或者基于虛擬目標(biāo)進(jìn)行軌跡跟蹤[6]。文獻(xiàn)[7]提出了一種兩點間線性二次最優(yōu)軌跡跟蹤制導(dǎo)律，用于跟蹤兩個彈道點之間的直線，其路徑改變點同樣基于需用過載最小得到，但該制導(dǎo)律不是全局最優(yōu)。文獻(xiàn)[8]提出了一種數(shù)值優(yōu)化方法，使得軌跡跟蹤制導(dǎo)律的能量消耗最小，計算復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[9]以反艦導(dǎo)彈為應(yīng)用背景，通過離線參數(shù)優(yōu)化得到每個彈道點的最優(yōu)邊界條件，例如角度和過載，從而在兩個彈道點之間采用最優(yōu)攻擊角度制導(dǎo)律，得到了全局能量最優(yōu)的軌跡跟蹤制導(dǎo)律。

有時，需要導(dǎo)彈以特定的終端落角對目標(biāo)進(jìn)行攻擊，以增強(qiáng)毀傷效果[10]，近年來考慮終端角度約束的制導(dǎo)律受到廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[11-12]通過求解含剩余飛行時間的線性二次最優(yōu)控制方程得到含終端角度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律的一般形式。文獻(xiàn)[13]應(yīng)用Schwarz不等式研究了帶落角約束的任意加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)律，得到了制導(dǎo)律的一般表達(dá)式。文獻(xiàn)[14]針對高速/低速目標(biāo)攔截問題，采用時變偏置角速率設(shè)計了一種三維聯(lián)合偏置比例導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[15]研究了一種無剩余飛行時間的偏置比例導(dǎo)引律，在比例導(dǎo)引的基礎(chǔ)上加上角度約束偏置項，通過改變導(dǎo)彈過載實現(xiàn)終端角度約束。文獻(xiàn)[16]針對空地導(dǎo)彈具有終端角度約束的制導(dǎo)問題，提出了一種在有限時間內(nèi)穩(wěn)定的新型二階滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。

路徑點跟蹤制導(dǎo)問題在每兩個相鄰路徑點之間可以看作一般的制導(dǎo)問題，因此近幾十年研究得到的一些經(jīng)典導(dǎo)彈制導(dǎo)律同樣可以應(yīng)用于路徑點跟蹤問題。對于不考慮制導(dǎo)動力學(xué)滯后的制導(dǎo)問題，無終端落角約束時，導(dǎo)航比為3的比例導(dǎo)引為最優(yōu)制導(dǎo)律[17]，當(dāng)考慮終端落角約束時，彈道成型制導(dǎo)律則成為最優(yōu)制導(dǎo)律[18-20]。但是在多個彈道點之間連續(xù)采用上述制導(dǎo)律的全局能量消耗是否為最優(yōu)尚未得到研究驗證[21]。基于此，本文將過虛擬交班點的精確制導(dǎo)問題視為路徑點跟蹤的特殊情況，即包括虛擬交班點與目標(biāo)點兩個彈道點，以氣動力控制的導(dǎo)彈為研究對象，分別研究了無落角約束與考慮終端落角約束情況下的全局最優(yōu)制導(dǎo)問題，推導(dǎo)出了解析解。最后，對非線性模型進(jìn)行仿真，結(jié)果表明，與經(jīng)典最優(yōu)制導(dǎo)律相比，無落角約束與考慮終端落角約束的情況下，該制導(dǎo)律可以將控制能量消耗分別減小49%和22%。

1 運動模型建立

1.1 非線性運動模型

為方便描述，將虛擬交班點與目標(biāo)落點視為兩個導(dǎo)彈需要經(jīng)過的路徑點，記作Pi(i∈{1,2})，導(dǎo)彈與目標(biāo)路徑點Pi之間的相對幾何關(guān)系如圖1所示。圖中：XIOYI為慣性坐標(biāo)系；V和a分別為導(dǎo)彈速度與法向過載；θ為彈道傾角；ri、qi和σi分別為導(dǎo)彈與第i個目標(biāo)路徑點之間的相對距離、彈目視線角和速度方向誤差角。

圖1 彈目相對運動關(guān)系
Fig.1 Missile-target engagement relationship

導(dǎo)彈與目標(biāo)路徑點之間的相對運動方程為

(1)

由幾何關(guān)系有

σi=θ-qi

(2)

1.2 模型線性化

本文將基于線性模型推導(dǎo)最優(yōu)制導(dǎo)律的解析解。引入?yún)⒖甲鴺?biāo)系，對建立的非線性運動學(xué)模型進(jìn)行線性化。如圖1所示，將坐標(biāo)系OXIYI繞原點旋轉(zhuǎn)qR角，得到參考坐標(biāo)系OXRYR。令yi=yPi-yM為導(dǎo)彈與Pi之間垂直于XR軸方向的相對位移，由幾何知識，yi=0?ri=0。

在參考坐標(biāo)系XROYR下，彈目相對運動方程可表示為

(3)

式中：vi、ai分別為導(dǎo)彈與Pi之間垂直于XR軸方向的相對速度與過載，由幾何關(guān)系可得

a⊥=acosσi

(4)

在工程實際當(dāng)中，飛行彈道由無控段、中制導(dǎo)段與末制導(dǎo)段3部分組成，對于中制導(dǎo)段與末制導(dǎo)段，可在每段飛行過程中分別視為彈目視線角變化較小，因此通過選取合適的qR可以使qi-qR為小量。同時，在實際情況中，導(dǎo)彈速度方向誤差角σi也為小量。基于以上合理假設(shè)，式(3)可改寫為

(5)

記系統(tǒng)狀態(tài)向量為x=[x1,x2]T=[y1,v1,y2,v2]T，輸出向量為y=[y1,y2]T，線性化的系統(tǒng)狀態(tài)方程可以寫為

(6)

式中：

(7)

2 最優(yōu)控制問題描述

為得到控制量的全局最優(yōu)解，提出以下形式的性能指標(biāo)：

(8)

式中：tf,i為導(dǎo)彈到達(dá)第i個路徑點的時刻。

本文研究的過虛擬交班點的固定目標(biāo)最優(yōu)控制問題可以表述如下。

問題1過定點的最優(yōu)制導(dǎo)律問題

對線性化的系統(tǒng)(6)，解得使性能指標(biāo)(8)取極小值的制導(dǎo)指令a，并滿足約束:

yi(tf,i)=0i∈{1,2}

(9)

問題2帶終端落角約束的過定點最優(yōu)制導(dǎo)律問題

對于帶有終端落角約束的最優(yōu)控制問題，在上述無落角約束情況下，需額外滿足約束

θ(tf,2)=θd

(10)

式中：θd為期望落角。

3 過定點的最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計

本節(jié)根據(jù)取控制能量最小的性能指標(biāo)，選取零控脫靶量(ZEM)[19]作為唯一狀態(tài)變量，對系統(tǒng)進(jìn)行變換，從而實現(xiàn)系統(tǒng)降階，對上述兩個最優(yōu)控制問題進(jìn)行推導(dǎo)，以得到最優(yōu)制導(dǎo)律的解析解，并對其進(jìn)行分析。

3.1 系統(tǒng)降階

為了方便對最優(yōu)解的解析形式進(jìn)行推導(dǎo)，對狀態(tài)向量進(jìn)行坐標(biāo)變換，使系統(tǒng)降階。以第i個點為例，進(jìn)行變換

(11)

式中：變換矩陣Φi(tf,i,t)為

(12)

其中：tgo,i為導(dǎo)彈至第i個點的剩余飛行時間(time-to-go)，將式(12)代入式(11)可得

(13)

得到Zi即零控脫靶量，它表示從當(dāng)前時刻起，導(dǎo)彈不再執(zhí)行任何控制指令的情況下到達(dá)第i個點的脫靶量。

對式(13)求導(dǎo)可得

(14)

經(jīng)過以上狀態(tài)變換，系統(tǒng)(6)由4階降為2階。

3.2 最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計

對于變換后的系統(tǒng)，最優(yōu)控制問題1轉(zhuǎn)化為在相同性能指標(biāo)下，對系統(tǒng)(14)求最優(yōu)解，即找到適當(dāng)?shù)腶使Zi盡快減小到0，同時控制能量最小。

根據(jù)ZEM的物理意義，新的系統(tǒng)狀態(tài)的終端約束為

Zi(tf,i)=0i∈{1,2}

(15)

根據(jù)線性系統(tǒng)理論，式(14)可改寫為

(16)

將式(15)代入式(16)，可得

(17)

定理1H為希爾伯特空間，{α1,α2,…,αn}為H中的一個線性無關(guān)集，c1,c2,…,cn為一組已知常數(shù)，在H中滿足約束條件(x|α1)=c1,(x|α2)=c2，…，(x|αn)=cn的所有解構(gòu)成一個集合V，此時V是一個余維數(shù)為n的線性流型，若xmin∈V，并且具有最小范數(shù)，則有

bi滿足：

對于最優(yōu)控制問題1，式(17)中a(τ)與tf,i-τ分別對應(yīng)定理1中的x與αi，由定理1可得，含有拉格朗日乘子λi的最優(yōu)解形式為

(18)

式中：拉格朗日乘子λi即定理1中的bi。

以t≤tf,1為例，求解拉格朗日乘子的表達(dá)式。將式(18)代入式(17)，可得

(19)

同理可以求得

(20)

定義λ=[λ1,λ2]T,Z=[Z1,Z2]T,由式(19)和式(20)可得

Z=Gλ

(21)

式中：

(22)

由式(21)可得

λ=G-1Z

(23)

將式(23)代入式(18)，可最終得到

(24)

3.3 討論與分析

為了更好地理解上述推導(dǎo)得到的制導(dǎo)律，進(jìn)行如下分析與討論。

討論1用tf,i=t+tgo,i計算到達(dá)時間，當(dāng)導(dǎo)彈位于路徑點附近時，可以視為得到精確的到達(dá)時間。

討論2考慮到實際應(yīng)用問題，對式(24)中的Z作如下處理：由于qi-qR為小量，所以有

(25)

求導(dǎo)得

(26)

由式(26)可得

(27)

在實際工程應(yīng)用中，由彈目視線角速率、速度和彈目距離等可測物理量，可計算得到制導(dǎo)指令。

(28)

這與經(jīng)典的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律(Proportional Navigation Guidance, PNG)形式一致。根據(jù)文獻(xiàn)[18]，在只有一個目標(biāo)點時，導(dǎo)航比為3的比例導(dǎo)引為最優(yōu)制導(dǎo)律，與式(28)一致。進(jìn)一步可以得出結(jié)論，僅在相鄰兩點之間連續(xù)采用比例導(dǎo)引并不是能量最優(yōu)的，因為比例導(dǎo)引只保證當(dāng)前段彈道能量最優(yōu)，沒有終端落角約束，因此總的控制能量消耗與本文提出的最優(yōu)制導(dǎo)律不同。

討論4將t≤tf,1時刻的過載指令表達(dá)式展開得

(29)

將式(27)代入式(29)，可得

(30)

式中:

(31)

式(30)與含有偏置項的比例導(dǎo)引(BPN)形式一致，將其看作導(dǎo)航比隨時間變化的BPN，根據(jù)文獻(xiàn)[14]有

(32)

式中：q0為與初始條件有關(guān)的常數(shù)。

(33)

此時，制導(dǎo)指令為

(34)

由于

(35)

可得

(36)

4 考慮終端落角約束的過定點最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計

在一些情況下，需要導(dǎo)彈以一定的終端落角攻擊目標(biāo)，以達(dá)到更好的毀傷效果。本節(jié)在第3節(jié)的基礎(chǔ)上加入終端落角約束，對有落角約束的過定點最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行設(shè)計。

4.1 最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計

經(jīng)過系統(tǒng)降階后，第2節(jié)中的最優(yōu)控制問題2轉(zhuǎn)化為，對系統(tǒng)(14)求最優(yōu)解，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小值，并在滿足約束(15)的同時，還滿足以下終端落角約束:

θ(tf,2)=θd

(37)

由線性系統(tǒng)理論可得

(38)

過載指令由兩部分組成:

a=aZ+aθ

(39)

式中：aZ、aθ分別為與ZEM和彈道傾角相關(guān)的調(diào)節(jié)項。根據(jù)定理1，有

(40)

同樣地，以t≤tf,1為例求解拉格朗日乘子，將式(39)代入式(38)可得

(41)

由式(41)可得

(42)

式中：G1∈R2×2,G12∈R2×1,G21∈R1×2，由3.2節(jié)可知

(43)

下面求解G12、G21、G2:

(44)

可得

(45)

由式(42)～式(45)可以解得拉格朗日乘子為

(46)

可得過載指令為

(47)

當(dāng)tf,1

(48)

過載指令為

(49)

4.2 討論與分析

注意到當(dāng)tf,1

(50)

對式(1)的第3項積分可得

(51)

將式(5)代入式(51)，可得

(52)

又由式(13)可得

(53)

將式(52)、式(53)代入式(50)，可得

(54)

與經(jīng)典的彈道成型制導(dǎo)律(Trajectory Shaping Guidance, TSG)形式一致。在只有一個目標(biāo)點，考慮終端落角約束的制導(dǎo)問題中，TSG是能量最優(yōu)的[18]。

5 仿真驗證

本節(jié)以非線性系統(tǒng)為研究對象，對提出的制導(dǎo)律進(jìn)行仿真驗證，并與經(jīng)典最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行對比。飛行彈道包括無控段、中制導(dǎo)段與末制導(dǎo)段，導(dǎo)彈在40 s啟控后進(jìn)入中制導(dǎo)段，經(jīng)過虛擬交班點進(jìn)入末制導(dǎo)段，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation Index

5.1 無落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律仿真

本節(jié)針對過虛擬交班點的無落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律(24)進(jìn)行仿真驗證，并在中制導(dǎo)與末制導(dǎo)段分別采用最優(yōu)比例導(dǎo)引，即導(dǎo)航比為3的比例導(dǎo)引律，與本文提出的最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行對比。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2分別給出了2種制導(dǎo)律下的彈道、彈道傾角、過載指令和控制能量曲線。圖2(a)中五角星表示需要經(jīng)過的路徑點1(虛擬交班點位置)與路徑點2(目標(biāo))，可看出兩種制導(dǎo)律都可以準(zhǔn)確經(jīng)過目標(biāo)路徑點，但通過對比2條彈道曲線末制導(dǎo)段發(fā)現(xiàn)，本文提出的最優(yōu)制導(dǎo)律比最優(yōu)比例導(dǎo)引制導(dǎo)律彈道更為平直；對比圖2(c)，該最優(yōu)制導(dǎo)律在末制導(dǎo)階段的過載指令遠(yuǎn)小于最優(yōu)比例導(dǎo)引。且最優(yōu)比例導(dǎo)引的過載指令在虛擬交班點處出現(xiàn)跳變，本文提出的制導(dǎo)律下過載指令為連續(xù)的，最大需用過載不超過分段比例導(dǎo)引的36%。圖2(d)為2種制導(dǎo)律下的控制能量消耗，可以看出，本文提出的最優(yōu)制導(dǎo)律能量消耗大大減少，比最優(yōu)比例導(dǎo)引所需的能量消耗減少49%。

圖2 無落角約束情況下的仿真結(jié)果對比
Fig.2 Comparison of simulation results without angle constraint

5.2 考慮終端落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律仿真

本節(jié)對考慮終端落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行仿真驗證。導(dǎo)彈期望落角選取為-90°。采用PNG與TSG切換的制導(dǎo)律進(jìn)行對比，即導(dǎo)彈在啟控后采用PNG，經(jīng)過虛擬交班點進(jìn)入末制導(dǎo)階段后，由PNG切換為TSG以實現(xiàn)期望落角。仿真結(jié)果對比如圖3所示。

對比發(fā)現(xiàn)，圖3(a)與圖2(a)第一段彈道相同，而最優(yōu)制導(dǎo)律在加入終端落角約束后，末制導(dǎo)段彈道軌跡與彈道傾角變化較為明顯，因為本文提出的最優(yōu)制導(dǎo)律在開始時就將落角約束考慮進(jìn)去，從而得到全局最優(yōu)的制導(dǎo)律。圖3(c)給出了兩種制導(dǎo)律下的過載指令，可以看到在經(jīng)過虛擬交班點時，PNG+TSG下過載指令與無落角約束時一樣出現(xiàn)了不連續(xù)性，而本文提出的最優(yōu)制導(dǎo)律為連續(xù)的。圖3(d)為2種制導(dǎo)律所消耗的控制能量，對比發(fā)現(xiàn)本文提出的制導(dǎo)律所需控制能量比無落角約束時明顯增大，但仍比PNG+TSG下能量消耗減少22%。

圖3 考慮終端落角約束情況下的仿真結(jié)果對比
Fig.3 Comparison of simulation results with angle constraint

6 結(jié) 論

1) 本文在希爾伯特空間基于最優(yōu)化理論，提出了一種針對固定目標(biāo)，過虛擬交班點的全局最優(yōu)制導(dǎo)律。在無落角約束下，能準(zhǔn)確經(jīng)過虛擬交班點，到達(dá)固定目標(biāo)點，且全局所需控制能量比最優(yōu)比例導(dǎo)引制導(dǎo)律減少了49%。

2) 在最優(yōu)制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上考慮終端落角約束，推導(dǎo)出含終端落角約束的全局最優(yōu)制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律可以實現(xiàn)期望落角，且全局所需控制能量比PNG+TSG下減少了22%。

3) 該制導(dǎo)律形式簡單，計算制導(dǎo)指令所需的信息較少，具有良好的工程應(yīng)用價值。