基于一核二心下“平方根”教學操作

楊利金

摘 要：章節起始課在每一個章節中起著提綱挈領的作用，浙教版初中數學七上《3.1平方根》屬于“數與代數”領域，它的作用是非常重要的。在一核二心的模式下，主要通過引領學生回顧數學現實，提出探求課題;啟發學生生成核心知識，激發數學思考;激發學生拓展學習空間，解決數學問題;幫助學生整體性回顧與總結，反思中埋伏筆;建構了一定的課堂結構，為后續內容學習鋪下基礎。

關鍵詞：一核二心 生長點 回顧

中圖分類號：G633文獻標識碼：A文章編號：1003-9082（2019）12-0-02

數學化更注重強調數學的實用性，讓人們用數學邏輯思考現實世界中的問題。同時，在數學學習過程中，要更好地掌握數學原理、數學公式，必須與現實世界相結合。數學化思想在強調數學知識的應用性的同時，也強調數學知識在應用過程中的再創造。數學知識的學習不是簡單的抽象，更重要的是有自身具體的應用價值。

一、“一核”——數學理解

浙教版初中數學七上《3.1平方根》屬于“數與代數”領域，從數系擴展來看，為了運算的封閉，完成初中階段數系的擴充，這樣就從有理數到實數進行擴充;從數的運算來看，乘方運算到開方運算，出現了極限運算;從知識作用來看，這個知識的學習是后續的根式、方程、函數等相關內容有重要的奠基作用。

我們知道等號的作用有表示等價與表示運算結果兩類，比如=5中，等號的作用表示等式兩邊的量是等價的，x2 =25，x=±5也同樣。又如1+2=3中，這個等號的作用就表示運算的結果。等價是“充要條件”而表示運算結果則是“充分不必要條件”。表示的是一個數，是一個完整的數，不可分開，開方運算的結果用這樣的數表示，單獨理解符號“”并沒有意義，因為它不是運算符。

1.教師理解

浙教版七上第三章是學生剛學完有理數和有理數的運算，嘗試系統地認識數。本章學習應遵循代數學習和研究的一般方法，首先在接觸概念之前應該思考，從哪里來。數學來自生活，就像生活中接觸正數對于負數等。通過圖片的呈現，讓學生引起認知沖突，發現還有一些東西是我們目前沒有學過的數表示，但是應該是一個數，所以我們得定義一下，然后統一。從平方根和算術平方根的角度講，當然不一定知道這個名稱，這就是一個發現和創造的過程。比如x2 =2，則x等于多少？因為存在，但是未知，所以要創造。

開方運算是平方根的根本，是開方運算的需要才有平方根的概念，類比分數，除法運算不封閉，所以就有分數，開平方運算在有理數內不封閉，就有平方根。當然開方運算也是基于實際的需要。浙教版中《平方根》這節課所有的例題和習題中結果都是有理數，也就是能開方開出來的，所以第一節課教材的用意是讓學生從計算角度看平方根的符號。第二節是實數，當開方后結果是無理數的時候，根號更像是一個符號，如，代表的是無理數，讓學生從符號角度去看平方根。這與減號這個符號是類似的。平方根學生最難理解的是破壞了學生原有的計算體系，原來都是1對1的，而現在正數的開平方運算有兩個，這就讓學生的認知產生沖突，也是學生難以接受的地方。

數系擴充：引入一種新數（如何引入）;定義其運算（如何定義）;滿足怎樣的運算律。擴充的基本原則是：使算術運算的運算律保持不變。后面可能還有新的數加入，到時運算再次更新時不能增加后面定義的難度，因此每次新運算的定義要做到合情合理，讓一般人難以察覺運算已經更新。

2.知識結構與網絡圖（見圖1）

3.教學重點

本節課的重點是定義，同時，因為開方運算也含在定義之中，所以求一個非負數的平方根同樣也成為重點。講述的是一個新的概念和一種新的運算，自然重要，因為新所以重要。

4.教學目標解析

結合課標和數學理解確定教學目標，本課是通過學生的認知沖突，感受到平方與開方運算之間存在的關系，從而了解其平方根和算術平方根的概念，會用符號表示并會求。在這個過程的學習中發展學生的數學素養。

二、“二心”——基于機會的學

1.學情分析

在學習平方根內容之前，學生已對有理數，有理數的乘方有系統的認識，并具備一定的計算能力了。同時，這一階段的學生可以說已經從經驗型的思維到理論性過渡，在加、減、乘、除、乘方的基礎上順水推舟得出開方，可以說是順勢而為，符合學生發展的。

2.學習難點

算術平方根的性質容易和平方根建構的概念相混淆，易混淆所以就難。

三、“二心”——基于機會的教

1.突出重點

通過從平方過渡到開平方，理解平方根概念，會用符號表示。

定義：內涵、要素（平方根的意義）—符號表示、讀法—性質

思考1：從哪些角度理解平方根概念？

思考2：怎樣讓學生去探索發現平方根的性質？

思考3：開平方運算與數系擴充的關系是什么？

2.突破難點

傳承研究方法，固化研究模式，啟迪數學思想。使學生的知識在已有認知的基礎上得到自然升級，以此來突破難點.

以下對《平方根》這個內容的教學作一闡釋。

（一）引領學生回顧數學現實，提出探求課題

1.回顧舊知，引發思考

（1）我們已經學習過哪些運算？它們中互為逆運算的是哪些？

（2）你覺得還缺少什么呢？

（3）若有逆運算又是怎么樣的呢？

設計意圖：引起認知沖突，激發學生求知欲望。第一個問題，復習回顧概念，形成了認識新知的興趣點和停靠點;第二個問題，把學生帶到了探索的的大門口，自然貼切，提出了認識新知的關鍵點;第三個問題，緊扣主題，建立了認識新知的生長點疑難點，為探索新課埋下了伏筆。

2.創設情境，解疑出新

填空：

已知底數和指數，求冪，叫乘方運算;已知指數和冪，求底數，就構成乘方逆運算。

概念：一般地，如果一個數的平方等于a ，即x2=a，那么這個數x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。

求一個數的平方根的運算叫做開平方。

開平方與平方運算互為逆運算。

設計意圖：培養學生用逆向思維的觀點去分析問題，發現問題中蘊涵著相互聯系的。由直觀到抽象的轉化，通過學生正反兩面多次的敘述，達到由量變到質變的過程，數學的概念形成是數學思維的細胞，通過觸摸外延，提取關鍵詞，從而形成概念。平方根概念的形成是學生學習新知識的基礎，也是數學思維的起點，在數學教學中具有重要的地位。

3.典例分析，發現規律

【例1】下列各數有沒有平方根？如果有，請求出它的平方根;如果沒有，請說明理由。

（1） 9.? ? ? ?（2）? ? ? ? ?.? ? ? （3）0.36.? ? ? ? （4）0? ? ? （5）? -4

a 9 0.36 0 -4? …

a的平方根 ±3 ? ± ±0.6 0 沒有 …

我們經常可以借助表格等工具來幫助發現規律。

結論：平方根的性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數;零有一個平方根，它是零本身;負數沒有平方根。

思考：開平方的結果與其他運算的結果有何不同？

設計意圖：進行概念辨析，通過表格這個工具，學生能得出平方根的性質，再進行與其它運算比較，讓學生體會在平方根的學習中分類討論思想的作用。進而和風細雨的滲透了數學思想。

4.游戲搶答，得出符號

（1）搶答游戲：下列各數是否有平方根？若有，請求出它的平方根;若沒有，請說明理由。

0，-16，25，? ? ? ? ? ，2

（2）問：2 有沒有平方根？ 若有怎樣表示？沒有，說明為什么？

設計意圖：通過最后2的平方根如何表示，引起學生認知沖突，得出平方根的表示方法的迫切意愿。

（3）介紹開方最早見于我國的《九章算術》，比國外早一千多年。從埃及人的“┌”到印度人的ka，再到德國人的“.”經歷了很長時間，到1525年德國數學家魯道夫用“√”，最后到十七世紀，法國數學家笛卡爾開始用 。

設計意圖：得出平方根的表示方法，讓學生意識到符號的簡潔美，還融入了數學發展史，挖掘了數學中蘊含的教育素材，這樣數學學習就不再枯燥，而變得有趣。鼓勵學生在遇到新問題的時候可以有自己獨特的方法，因為需要而產生，而學生自己創造符號的過程，就是一個概念內化的過程，最后用現在實際使用的符號和學生自己想像的符號完美接軌。

（二）啟發學生生成核心知識，激發數學思考

1.典例分析，知識融合

例：下列各數是否有平方根？若有，請求出平方根;若沒有，請說明理由。

（1） 2? ? （2）5? ? ? （3）a

思考：

1.表示什么意思？

2.表示什么意思？

3.-表示什么意思？

設計意圖：及時鞏固用平方根符號解決問題，規范解題格式。讓學生意識到平方根符號的使用簡潔方便，強化符號感。a的出現讓學生注意分類是解題的關鍵，并注意讀法與表示的意思。

2.回歸生活，應用實際

若正方形的面積是2，邊長是多少？

算術平方根的概念：正數的正平方根和零的平方根，統稱算術平方根。

即的算術平方根是

設計意圖：數學是刻畫現實生活的工具，通過問題的呈現，可以對算術平方根的了解與符號表示，引發學生學習數學的心向。

（三）激發學生拓展學習空間，解決數學問題

拓展提高，內化符號

先說出下列各式的意義，再計算

設計意圖：本環節所謂的拓展并不是單指一題多解、一題多變等一類技巧性的研究，也不是拿著定義和性質作特殊化的應用。本課堂教學是從“低層次”到“高層次” 基于創造過程的數學化。平方根概念建構后，接下來并不是頂層次的知識結構，而是把它當做低層次繼續再創造。這正是新的數學知識的發現，新的數學方法的創造。

（四）幫助學生整體性回顧與總結，反思中埋伏筆

梳理小結，反思精致

1.本節課學習的核心問題是什么？

2.研究問題的核心價值是什么？

3.自我挑戰

古希臘的畢達哥拉斯學派認為世間任何數都可以用分數表示，并將此作為他們的一條信條。如果一個正方形的面積是2，那它的邊長是，畢達哥拉斯的學生希伯斯試圖找出和相等的分數，可是，最終他認識到根本不存在這個分數，也就是說不是有理數，那它究竟是個什么數呢？

事實上，還引發了許多數學故事，請我們同學課后去查閱資料或請教老師。

設計意圖：這看起來是一個簡單的問題，但其意義是十分重要的。之所以這樣教學，是因為從以下兩個方面考慮：

（1）如果從問題教學的視角看，課堂教學應該處處充滿問題，尤其是課堂教學進入尾聲，教學并不是封閉狀態，整堂課學生應該帶著問題進課堂，也用該帶著課題離開課堂。這里留下這個疑問，在于讓學生處于數學的質疑之中，激發學生數學思考。（2）如果從一核二心視角分析，問題教學顯然含有基于機會的學和基于機會的教的教學重要成分， 對于本課的核心知識來說是掌握這個平方根，它是實數運算的低層次知識。所以，這節課最后安排的內容為后面內容的學習埋下了伏筆。

四、結語

新課教學帶領學生感受了數學內部發展的需要，定義一種新的運算就要研究相應的運算律。本課在恰當的教學環節下加深了學生對運算的數學本質的理解。使學生在學習過程中不僅學會知識，而且受到研究問題的思想方法的訓練，從而發展學生解決問題的能力。所以說數學課堂是培養學生核心素養的絕佳之地。作為教師需要讓課堂做到恰如其分。

參考文獻

[1]杜紅亞.初中數學《平方根》的教學及反思[J]理科教學探索.2011，12.

[2]義務教育數學課程標準[M].北京：師范大學出版社.2011.