旋轉(zhuǎn)圓筒泄漏流模型研究*

趙國昌1 王 泉 宋麗萍1 邢仕廷

(1.中國民航大學(xué)適航學(xué)院 天津 300300；2.中國民航大學(xué)中歐航空工程師學(xué)院 天津 300300)

葉尖泄漏流動是葉輪機(jī)械中普遍存在的現(xiàn)象，由于氣流流過葉背與葉盆的速度不同，導(dǎo)致吸力面與壓力面間存在周向壓差，引起泄漏流動。葉尖間隙過大將引起較大的泄漏流量，從而降低葉輪機(jī)工作效率，增加使用成本；葉尖間隙過小，將導(dǎo)致葉片在離心力的作用下與機(jī)匣發(fā)生碰撞或摩擦，危害葉輪機(jī)運(yùn)行安全。研究表明,葉尖間隙為葉片高度的1%～3%較好[1-4]。為獲得葉尖泄漏流動規(guī)律，本文作者對周向壓差作用下同軸旋轉(zhuǎn)圓筒間泄漏流進(jìn)行研究。

同軸旋轉(zhuǎn)圓筒間流動即Taylor-Couette問題的研究結(jié)果，廣泛應(yīng)用于潤滑、密封等領(lǐng)域[5-8]。在初始的Taylor-Couette問題上引入新的變量，如加入周向壓力梯度探究其對圓筒間流動的影響，具有重要的工程應(yīng)用價值。考慮周向壓力梯度的影響最早由Dean提出，因此又被稱為Taylor-Dean問題[9]，目前對此方面的研究主要集中在對圓筒間流動穩(wěn)定性分析上[10-14]，通過求解其臨界泰勒數(shù)，描述流動從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩過程，而對圓筒間隙內(nèi)流體流量影響規(guī)律的研究相對較少。

本文作者采用二維周向壓力梯度下同軸旋轉(zhuǎn)圓筒模型分析轉(zhuǎn)速比、半徑比等因素對葉尖泄漏流量的影響。

1 物理模型

周向壓力梯度下旋轉(zhuǎn)圓筒二維模型如圖1所示，模型包含旋轉(zhuǎn)速度不同的內(nèi)外同軸圓弧，圓弧對應(yīng)的圓心角為θ，其中內(nèi)弧半徑為R1，轉(zhuǎn)速為Ω1；外弧半徑為R2，轉(zhuǎn)速為Ω2；壓力梯度沿周向分布均勻，進(jìn)口壓力為p1，出口壓力為p2。求解同軸圓弧間流體速度分布，獲得通過旋轉(zhuǎn)圓筒間不可壓縮牛頓流體的體積流量，為泄漏流動研究提供理論基礎(chǔ)。

圖1 二維周向壓力梯度下旋轉(zhuǎn)圓筒模型Fig 1 Two-dimensional circumferential pressure gradient rotating cylinder model

根據(jù)經(jīng)典黏性流體力學(xué)理論[15-17]，用連續(xù)方程、徑向動量和周向動量方程描述該模型的控制方程組。

(1)連續(xù)方程

(1)

(2)徑向動量方程

(2)

(3)周向動量方程

(3)

由于圓筒的半徑很小，徑向速度可以忽略，且二維模型不考慮軸向速度，則方程(1)可簡化為

(4)

由于徑向速度為0且流動定常，軸向速度關(guān)于轉(zhuǎn)角的偏導(dǎo)數(shù)為0且不考慮體積力，因此徑向動量方程可簡化為

(5)

假設(shè)周向動量方程的徑向速度為0且流動定常，軸向速度為0、軸向速度關(guān)于轉(zhuǎn)角的偏導(dǎo)數(shù)也為0且不考慮體積力，因此

(6)

2 數(shù)學(xué)求解

相比于周向壓力梯度，徑向壓力梯度很小，可近似為0，文中只考慮周向壓力梯度對流動的影響，方程(6)可以通過無周向壓力梯度的同軸旋轉(zhuǎn)圓筒間的定常流動和有周向壓力梯度下固定圓筒的Poiseuille流動2個解相疊加求得。

2.1 不考慮周向壓力梯度的同軸旋轉(zhuǎn)圓筒間的定常流動

不考慮周向壓力梯度的同軸旋轉(zhuǎn)圓筒間定常流動解只需考慮內(nèi)外圓筒旋轉(zhuǎn)對流動的影響，式(6)簡化為

(7)

該方程的解

(8)

為了求出常數(shù)A和B，引入方程邊界條件[18]

r=R1uθ(r=R1)=Ω1R1

(9)

r=R2uθ(r=R2)=Ω2R2

(10)

求解得到

(11)

(12)

其中，

2.2 考慮周向壓力梯度的固定圓筒間的流動

描述固定圓筒間有周向壓力梯度的流體流動的控制方程由式(6)表達(dá)，為便于求解，將式(6)改寫為

(13)

(14)

其中C、D為常數(shù)，引入邊界條件[19]

r=R1，uθ(r=R1)=0

(15)

r=R2，uθ(r=R2)=0

(16)

得到

(17)

(18)

2.3 考慮周向壓力梯度旋轉(zhuǎn)圓筒間的定常流動

將2.1節(jié)中無周向壓力梯度的同軸旋轉(zhuǎn)圓筒間的定常流動解和2.2節(jié)中有周向壓力梯度下固定圓筒的Poiseuille流動解相疊加，得出周向壓力梯度下同軸旋轉(zhuǎn)圓筒間定常流動周向速度解析解

(19)

2.4 泄漏流體積流量的求解

利用式(19)求得的二維周向壓力梯度下旋轉(zhuǎn)圓筒間周向速度解析解，通過積分得到旋轉(zhuǎn)圓筒間泄漏體積流量表達(dá)式

(20)

考慮沿軸向存在單位長度，因此

(21)

代入周向速度表達(dá)式式(19)可得

(22)

代入常數(shù)A、B、C、D可得

(23)

(24)

其中

(25)

(26)

3 結(jié)果和討論

3.1 η和ζ對Q1，Q2的影響

為便于討論，定義量綱一體積流量

(27)

(28)

聯(lián)立式(25)、(27)得到Q1與量綱一化數(shù)η和ζ的關(guān)系式。由內(nèi)外圓筒轉(zhuǎn)動引起的泄漏流Q1隨半徑比和轉(zhuǎn)速比的變化趨勢如圖2和圖3所示。

圖2 η對Q1的影響Fig 2 The influence of η on Q1

由圖2可知，半徑比η一定時，由內(nèi)外圓筒轉(zhuǎn)動引起的泄漏體積流量Q1隨著轉(zhuǎn)速比ζ的增加而增加；當(dāng)半徑比η由小變大時，隨轉(zhuǎn)速比ζ增大，泄漏體積流量的增加率變小。

圖3 ζ對Q1的影響Fig 3 The influence of ζ on Q1

由圖3可知，轉(zhuǎn)速比ζ一定時，由內(nèi)外圓筒轉(zhuǎn)動引起的泄漏體積流量Q1隨著半徑比η的增加而減小；當(dāng)半徑比η為1時，泄漏量為0；當(dāng)半徑比一定時，轉(zhuǎn)速比ζ越大泄漏量越大，兩圓筒反向轉(zhuǎn)動(ζ<0)可降低泄漏流量。

聯(lián)立式(26)、(28)得到Q2與量綱一化數(shù)η的關(guān)系式。因此處沒有旋轉(zhuǎn)，由周向壓力梯度引起的泄漏量Q2只需考慮半徑比的影響，圖4所示為η對Q2的影響曲線。

圖4 η對Q2的影響Fig 4 The influence of η on Q2

由圖4可知，由周向壓力梯度引起的泄漏體積流量Q2隨半徑比η的增加而減少，當(dāng)η趨于1時，Q2趨于0；由周向壓力梯度引起的量綱一泄漏量Q2比由圓筒轉(zhuǎn)動引起的量綱一泄漏量Q1小2個數(shù)量級。

3.2 介質(zhì)對泄漏流的影響

以空氣、水和甘油3種介質(zhì)為例研究總泄漏量隨半徑比的變化，為便于分析對式(24)—(28)進(jìn)行簡化。定義

(29)

由式(24)、(27)—(29)可得

(30)

定義

(31)

則

(32)

在給定的壓差、轉(zhuǎn)角、內(nèi)圓筒轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速比等參數(shù)下，研究了半徑比等因素對泄漏流的影響。因較大壓差會影響流態(tài)，文中給定壓差為100 Pa，轉(zhuǎn)角θ=π/2，假設(shè)流動為充分發(fā)展流動，周向壓力沿圓周方向均勻下降，壓力梯度為63.66 Pa/rad，取內(nèi)圓筒轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，轉(zhuǎn)速比ζ=0.1。20 ℃時空氣、水和甘油3種介質(zhì)的動力黏度及Ωp/Ω1值如表1所示。

表1 20 ℃時介質(zhì)的黏度及Ωp/Ω1值

由圖2和圖4已知，Q1約為Q2的100倍，結(jié)合表1中的Ωp/Ω1數(shù)值，20 ℃時空氣的Q2·Ωp/Ω1值遠(yuǎn)大于Q1；水的Q2·Ωp/Ω1值與Q1相當(dāng)；甘油的Q2·Ωp/Ω1值遠(yuǎn)小于Q1。3種介質(zhì)的量綱一泄漏總體積流量如圖5—7所示。

圖5 η對Q的影響(空氣，ζ=0.1)Fig 5 The influence of η on Q (air,ζ=0.1)

圖6 η對Q的影響(水，ζ=0.1)Fig 6 The influence of η on Q (water,ζ=0.1)

圖7 η對Q的影響(甘油，ζ=0.1)Fig 7 The influence of η on Q (glycerin,ζ=0.1)

由圖5可知，隨著半徑比η的增加，總泄漏流體積流量Q減少，由于影響泄漏流量的主要因素為周向壓差，圖5的變化趨勢與圖4一致。由圖6可知，隨著半徑比η的增加，Q1和Q1·Ωp/Ω1減少，因此總體積流量Q減少。由圖7可知，隨著半徑比η的增加，總泄漏流體積流量Q減少，由于影響泄漏流量的主要因素為圓筒轉(zhuǎn)動，圖7的變化趨勢與圖2一致。

3.3 溫度對泄漏流的影響

在給定的壓差、轉(zhuǎn)角、內(nèi)圓筒轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)速比等參數(shù)下，研究了溫度變化對泄漏流量的影響。由式(23)可知，溫度主要通過影響介質(zhì)的動力黏性從而影響泄漏流的體積流量。對于甘油，其泄漏流量主要由Q1決定，因此溫度變化對其總泄漏流量Q影響很小，可以忽略。空氣和水在溫度t變化范圍內(nèi)的動力黏度μ及Ωp/Ω1值如表2所示。當(dāng)ζ=0.1時，介質(zhì)為空氣，η對Q影響如圖8所示；介質(zhì)為水，η對Q影響如圖9所示。

表2 溫度對動力黏度和Ωp/Ω1的影響

圖8 η對Q的影響(空氣，ζ=0.1)Fig 8 The influence of η on Q (air,ζ=0.1)

圖9 η對Q的影響(水，ζ=0.1)Fig 9 The influence of η on Q (water,ζ=0.1)

由圖8可知，隨著溫度升高空氣的黏性增加，泄漏流流量減小。與圖8相對照，由圖9可知溫度升高水的黏性降低，泄漏流流量增加。由圖8和圖9可知，隨著半徑比的增加，總泄漏量逐漸減少最終趨于0。

4 結(jié)論

(1)由轉(zhuǎn)動引起的泄漏流體積流量隨著轉(zhuǎn)速比的增加而增加，隨著半徑比的增加而減少，同向轉(zhuǎn)動時的泄漏流流量大于反方向轉(zhuǎn)動時的泄漏流流量；由周向壓力梯度引起的泄漏流體積流量隨著半徑比的增加而減少。

(2)動力黏度較小的介質(zhì)如空氣，影響其泄漏流體積流量的主要因素為周向壓力梯度，動力黏度較大的介質(zhì)如甘油，影響其泄漏流體積流量的主要因素為圓筒轉(zhuǎn)動，動力黏度介于兩者之間的介質(zhì)如水，需要考慮兩者的共同作用。

(3)介質(zhì)溫度影響介質(zhì)的動力黏度從而影響泄漏流流量。空氣溫度增加其動力黏度增大，泄漏流流量減小；水溫度增加其動力黏度減小，泄漏流流量增加。