基于ZMNL的Pareto雜波模擬改進方法*

傅俊滔，周國安，陳 紅

(1 空軍工程大學研究生院， 西安 710051；2 空軍工程大學防空反導學院， 西安 710051； 3 61769部隊， 山西呂梁 033000)

0 引言

雜波制約著對目標的檢測性能，在雜波背景下，雜波數據對驗證雷達探測性能具有重要意義[1-2],因此，對雜波的模擬和特性的研究變得非常重要。雜波模型由早期的瑞利分布[3]和韋布爾分布[4]發展到現在的復合高斯分布模型，如K分布和Pareto分布[5]等。通過與實測海雜波數據進行對比，研究者發現Pareto分布在擬合海雜波時更具有優勢[6]。Pareto分布和K分布具有相同的理論解釋，其不同之處在于Pareto分布的結構分量為逆Gamma分布，而K分布的結構分量為Gamma分布[7]。因此，對Pareto分布海雜波仿真的研究可以借鑒K分布海雜波的仿真方法。

傳統的K分布海雜波模擬方法可以采用零記憶非線性變換(zero memory nonlinearity，ZMNL)法[8]。文獻[9]和文獻[10]利用ZMNL方法產生K分布的雜波，原理簡單,但是產生Gamma隨機變量的形狀參數是整數或者半整數，因此該方法不能夠仿真形狀參數為非整數或非半整數的海雜波，只能進行近似處理。文獻[11]利用Gamma函數的相加性，將形狀參數拆分為整數部分和小數部分之和的形式，將雜波的形狀參數擴展到一般實數。

由于Pareto分布的結構變量可以通過倒數變化得到K分布的結構變量，因此Pareto分布也存在著雜波仿真的形狀參數只能為整數或半整數的問題。文中針對ZMNL方法中形狀參數取值受限的問題，利用Gamma函數的可加性，提出一種產生Gamma分布隨機數的改進方法，不僅將形狀參數的取值范圍擴展到一般實數，而且在產生過程中不需要將形狀參數分解為整數和非整數部分進行處理，可以直接得到形狀參數為任意值的Gamma分布隨機數，改善了雜波的仿真性能。

1 雜波模型及模擬方法

1.1 Pareto分布雜波模型

海雜波X的概率密度函數(PDF)可看作是結構分量調制散斑分量的結果，其形式如下[12]：

(1)

其中，pY(y)為結構分量的PDF，如式(2)：

(2)

式中：Γ(·)為Gamma函數，a為形狀參數，b為尺度參數。

pX|Y(x|y)為散斑分量的PDF，如式(3)：

(3)

1.2 ZMNL方法

傳統的ZMNL方法是：首先產生Gamma隨機變量z和指數隨機變量u，然后將z和u相乘取平方根，得到服從K分布的雜波變量。由于產生Gamma隨機變量的形狀參數a是整數或者半整數，因此若a為非整數或者非半整數，則需對a向上下取近似值，滿足a′為整數或半整數。此時，近似得到的雜波K(l;a′,v)與實際要求的雜波K(l;a,v)存在著偏差。此外，文獻[11]利用Gamma函數的相加性，將形狀參數拆分為整數部分和小數部分之和的形式，解決了形狀參數a要近似處理的問題，但拆分使得模擬表達式更加復雜，產生Pareto分布雜波也存在類似的問題。

2 改進的Pareto雜波模擬方法

文獻[11]和文獻[13]中利用的方法均是通過a為整數的Gamma分布隨機數與Beta分布隨機數的乘積來解決Gamma分布隨機數的a不能為非整數或半整數的問題。因此，對已有方法進行改進，得到新的產生a為任意值的Gamma分布隨機數的方法。

設β～B(β;c,d)，其中0<β<1，則Beta的PDF[14]為：

(5)

設τ=1/β，其中τ∈(1,+)，則τ的概率密度函數fτ為

(6)

將式(6)記作τ～B逆(τ;c,d)。與K分布模型不同，Pareto分布模型的結構分量服從逆Gamma分布，記作z～IG(z;a,b)，其中：

(7)

假設兩個獨立隨機變量z～IG(z;p+q,1)，τ～B逆(τ;p-r,q+r)。其中，p為p>r的整數，q為非負整數，0

(8)

(9)

由定理可得：

(10)

(11)

(12)

(13)

將式(13)代入式(12)可得：

(14)

因此可得，假設兩個獨立隨機變量z～IG(z;p+q,1)，τ～B逆(τ;p-r,q+r)，那么隨機變量γ=zτ～IG(γ;p-r,1)。由定義可知，p+q為整數，p-r為非整數，也就是說該方法可以利用形狀參數為整數或半整數的逆Gamma分布隨機數與逆Beta分布隨機數的乘積，來得到形狀參數為任意值的逆Gamma分布隨機數。與文獻[9]和文獻[10]對比，該方法在生成逆Gamma隨機數時不需要將形狀參數進行近似處理，可以得到任意形狀參數的逆Gamma分布隨機數，模擬性能更好。與文獻[11]對比，該方法不需要將形狀參數拆分為整數和小數兩部分，利用Gamma函數的相加性，再合成出任意形狀參數的Gamma分布隨機數，而是可以直接生成任意形狀參數值的逆Gamma分布隨機數，在保證仿真性能的同時，簡化了產生逆Gamma分布隨機數的過程。

3 仿真性能分析

文中主要是解決形狀參數不能為非整數或非半整數的問題，因此，實驗時形狀參數a取值為2.75，實驗結果為100次實驗的均值。這樣傳統的ZMNL方法在模擬逆Gamma分布隨機數時就只能取就近的整數值3和半整數值2.5。

圖1為逆Gamma分布PDF的理論曲線和仿真數據的對比圖，為了便于比較，圖2為圖1的局部放大圖。從圖2可以看出，和傳統的形狀參數取近似值的方法相比，改進后的方法，即a=2.75時的PDF曲線與理論上的PDF曲線之間的擬合明顯優于a=2.5和a=3時的情況，a=2.5和a=3時的PDF曲線明顯偏離理論上的PDF曲線。與文獻[11]的方法相比，仿真的PDF曲線與理論曲線的擬合程度差不多，仿真性能接近，但是由于改進的方法不需要將形狀參數進行拆分處理，在之后的結構設計和計算上更加簡單。

圖3為均方誤差(mean square difference，MSD)擬合優度對比結果，為了方便觀察，對MSD曲線進行平滑濾波處理，如圖4。從圖4中可以看出，文中改進的方法與文獻[11]的方法，即a=2.75時，對應的MSD最小，說明擬合最好，而傳統的ZMNL方法對應的MSD更大，說明擬合更差，與圖2得出的結論一致。

圖1 仿真數據與理論PDF曲線擬合

圖2 圖1局部放大曲線

圖3 MSD檢驗結果

圖4 平滑后的MSD檢驗結果

4 結束語

文中對ZMNL方法的雜波仿真進行研究。無論是K分布還是Pareto分布的雜波模擬，均存在著不能產生形狀參數為非整數或非半整數的Gamma分布或逆Gamma分布隨機數的問題。通過對已有方法進行改進，改進的方法可以產生形狀參數為任意值的逆Gamma分布隨機數，并且不需要對形狀參數進行整數和小數部分的拆分處理，簡化了仿真和計算。仿真實驗表明:改進后得到的PDF仿真曲線與理論的PDF曲線擬合更好，對應的MSD最小，仿真性能得到提高。