粗糙勢中耦合布朗粒子的定向輸運性能*

劉晨昊 劉天宇 黃仁忠 高天附 ? 舒咬根

1) (沈陽師范大學物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

2) (中國科學院理論物理研究所, 北京 100190)

研究了粗糙棘輪中耦合粒子的定向輸運行為, 并進一步討論了阻尼條件下粗糙棘輪的擾動振幅、擾動波數、粒子間的耦合強度及自由長度等因素對耦合布朗粒子質心平均速度及斯托克斯效率的影響.研究發現,合適的粗糙棘輪擾動振幅和擾動波數能促進耦合布朗粒子的定向輸運, 同時還能增強其斯托克斯效率.此外,合適的耦合強度和自由長度還能使粗糙棘輪的輸運性能達到最強.還發現小擾動振幅條件下, 通過改變耦合強度和自由長度能夠誘導粗糙棘輪的流反轉.通過研究更具實際意義的粗糙棘輪, 本文所得結論能為實驗上理解分子馬達的運動行為提供理論指導, 還可為納米量級分子機器的設計及粒子分離技術的實現提供實驗啟發.

1 引 言

生物分子馬達是一類尺度在2—10 nm的酶類蛋白大分子, 在細胞內馬達可沿微絲、微管做定向運動[1,2].實驗研究已表明, 分子馬達的定向運動充分參與了細胞內的各種生命活動, 如有絲分裂、肌肉收縮、減數分裂中染色體的分離及信號傳導等[3].早期關于分子馬達的研究, Allen 等[4]和Vale等[5]借助差分干涉對比顯微鏡直接觀察到魷魚巨突中囊泡的定向運動現象.此外, Sheetz研究組[6]還在魷魚巨突中發現了沿微管做定向運動的驅動蛋白馬達.牛津大學的Dey研究組[7]在最近的研究中提出一種以酶促反應產生的能量作為輸入能的馬達模型, 并證實該馬達具有朝酶底物方向運動的趨勢, 更新了人們對分子馬達定向運動的認識.同時, 最新的醫學研究還發現動力蛋白功能的缺陷可引發纖毛功能障礙, 造成呼吸道慢性感染.此外, 在分子機器領域基于酶分子的人工合成馬達技術日漸成熟, 并有希望實現分子馬達的定點傳輸或藥物輸運[8-10].因此, 生物分子馬達定向輸運的研究在生物學、醫學乃至對未來分子機器的研發都具有十分重要的意義[11-13].

為了深入理解分子馬達的定向輸運機制, 理論上人們提出了閃爍棘輪、搖擺棘輪等一系列棘輪模型[14-17].如Jayannavar研究組[18]提出了空間非對稱棘輪, 發現粒子定向輸運速度隨外(驅動)力搖擺頻率的增大而減小.Wang和Bao[19]研究了二維搖擺棘輪模型, 并證明布朗粒子的耦合作用能增強棘輪的定向輸運.此外, Li等[20]詳細討論了空間對稱外勢中耦合布朗粒子的流反轉現象, 發現粒子間耦合強度是誘導流反轉現象的關鍵因素.近年來關于反饋棘輪的研究, 我們研究組發現流反轉現象還與脈沖相位存在一定關聯[21].從上述幾類不同棘輪的研究中可發現模型中采用的外勢都是表面光滑的鋸齒勢或簡諧勢.然而, 最新的實驗研究表明細胞內的雜質和空間不均勻性都會導致布朗粒子對“光滑”軌道的偏離[22].此外, Frauenfelder等[23,24]還發現, 在蛋白質折疊過程中側鏈的非正常連接會導致外勢表面“粗糙”的產生.這種“粗糙”不僅會影響蛋白質的快速折疊, 還會影響分子馬達的定向運動.可見外勢的粗糙程度不僅是描述各類蛋白質特性的一種語言, 還對粗糙棘輪定向輸運的研究具有一定的理論參考意義.因此通過粗糙棘輪來模擬分子馬達與軌道間的相互作用更具實際意義.

關于粗糙棘輪的理論研究, Zwanzig[25]發現外勢的粗糙程度會抑制凈流的產生, Marchesoni[26]的研究也表明棘輪表面的粗糙還會導致粒子運動過程中的無序性, 從而造成輸運速度降低.最近,Camargo和Anteneodo[22]構建了一種新的粗糙棘輪模型, 發現外勢的粗糙情況并非完全抑制單粒子的定向運動, 在一定條件下還會促進其定向輸運.可見外勢粗糙程度對分子馬達定向運動的影響仍存在諸多未知.此外, 實驗研究還表明分子馬達在輸運過程中大都呈現集體行為, 除與軌道的相互作用外馬達間還存在復雜的相互作用, 且耦合粒子與單粒子的輸運行為性質上還存在明顯差別, 因此研究粗糙棘輪中耦合粒子的定向輸運更具實際意義.本文將在上述理論研究基礎上采用一種新的粗糙棘輪模型, 深入討論外勢粗糙度對耦合布朗粒子定向輸運的影響.

早期關于生物分子馬達的實驗研究已表明, 生物體內大多數分子馬達都是拖動負載做定向運動的.但 Parrondo 研究組[27]的實驗結果表明, 生物體內還存在一類并不拖動負載但同樣做定向運動的分子馬達.為了深入分析這類馬達的定向輸運能力, Wang[28]在理論上提出可用斯托克斯效率來研究這類馬達的定向輸運性能.理論研究表明馬達的斯托克斯效率越大, 其克服黏滯阻力時做定向運動的能力越強.然而, 目前關于粗糙棘輪中耦合粒子的定向運動情況如何, 特別是外勢的粗糙度對馬達斯托克斯效率的影響我們還知之甚少.因此, 本文將深入討論外勢的粗糙結構對耦合布朗馬達定向輸運性能的影響.

本文主要研究周期無偏外力作用下的粗糙棘輪模型, 并討論粗糙勢的擾動振幅、擾動波數及粒子間的耦合強度、自由長度等因素對分子馬達定向輸運速度及斯托克斯效率的影響.研究發現, 一定條件下外勢的粗糙度會促進粗糙棘輪定向輸運速度和斯托克斯效率.此外, 有趣地發現在外勢的小擾動作用及耦合作用的共同協作下, 分子馬達還會出現流反轉現象.本文所得結論不僅能為微小粒子的整流與分離提供理論指導, 同時還能對納米量級分子機器的研發及醫學上藥物定點投放技術的實現提供實驗啟發.

2 粗糙棘輪模型

本文主要研究粗糙勢中過阻尼耦合布朗粒子的定向運動情況.同時馬達還受周期無偏置外力及熱噪聲的影響, 其動力學行為可由朗之萬方程描述：

式中x'為耦合粒子的位置坐標;s為時間;γ為介質阻尼系數;W(x′(s)) 為粗糙外勢為耦合粒子間的相互作用勢;θ(s) 為高斯白噪聲, 滿足統計特性i,j=1,2, 其中D0=γkBT,kB為玻爾茲曼 常 數 ,T為環境溫度.此外, 引入F(s) 來描述外界環境對粗糙棘輪周期性的驅動作用.

為使方程(1)中的物理量無量綱化, 引入特征長度λ和特征時間τ0, 其中λ為外粗糙勢周期長度,τ0為過阻尼條件下布朗粒子的特征時間, 且?U為勢壘高度.通過定義新的無量綱位置坐標x=x′/λ, 無量綱時間t=s/τ0, 可以得到新的無量綱化參量U(x)=W(x′)/?U,U0(x)=W0(x′)/?U,將 上述參量代入方程(1)便可得到無量綱化后的朗之萬方程：

方程(2)中ξi(t) 為無量綱化后的高斯白噪聲且滿足如下統計特征為無量綱噪聲強度.

此外, 方 程 (2)中 的U(xi) 為粗 糙外 勢, 則為粒子受到粗糙棘輪勢的作用.周期外勢U(xi) 的表達形式為[22]

其中

(3)式中ε和H分別為粗糙勢的擾動振幅和擾動波數,N為歸一化因子.(4)式中U1(xi) 為常見的鋸齒勢, 且λ為鋸齒勢的周期,l為鋸齒勢的不對稱度.(3)式構建的粗糙棘輪結構示意圖如圖1所示, 其中圖1(a)表示擾動波數H=5 時粗糙勢U(x)隨空間位置x及擾動振幅ε的變化, 圖1(b)為擾動振幅ε=0.1 時粗糙勢U(x) 隨空間位置x及擾動波數H的變化.

此外,U0(x1,x2) 為兩個耦合粒子的相互作用勢, 具體關系如下：

其中k為耦合強度,a為彈簧的自由長度.F(t) 為外驅動力, 其具體形式為

其中A為外驅動振幅,ω為外力頻率,為外力周期.為了研究耦合布朗粒子在粗糙棘輪中的定向運動, 采用耦合粒子的質心平均速度來描述粗糙棘輪的定向輸運, 其公式表述如下[22]：

其中Pout為粒子克服溶液阻尼的輸出功率,

根據隨機能量理論[29], 時變外力對耦合粒子做的功為WE=F(t)xc,xc=(x1+x2)/2 為耦合粒子的質心位移, 則時變外力對系統的輸入功率Pin為

因此, 耦合布朗粒子斯托克斯效率的表達式為

其中粒子演化時間T=nTω,n為耦合粒子演化的周期.

圖1 (a) 粗糙勢 U (x) 隨擾動振幅 ε 的變化, 其中擾動波數 H =5 ; (b) 粗糙勢 U (x) 隨擾動波數H的變化, 其中擾動振幅 ε=0.1Fig.1.(a) Diagram of the rough potential U (x) varying with the amplitude of perturbation ε , where perturbed wavenumber H=5; (b) diagram of the rough potential U (x) varying with perturbed wavenumber H, where the perturbation amplitude ε=0.1.

本文采用二階隨機龍格-庫塔算法對過阻尼條件下粗糙棘輪的定向輸運進行數值模擬, 主要研究粗糙勢中耦合粒子定向輸運性能受系統各參量變化的影響.為了得到穩定的系宗平均值, 本文模擬了 2 ×103條軌道, 每個軌道演化 2 ×103個周期, 步長h取 1 ×10-3.無特殊說明參數取γ=1 ,l=0.7 ,λ=1,ω=2π ,D=0.1 .

3 結果與討論

3.1 擾動振幅ε的影響

為了研究耦合粒子在粗糙棘輪中的定向運動,分析了棘輪的質心平均速度隨不同參量的變化行為.首先, 不同耦合條件下粗糙棘輪的擾動振幅ε對質心平均速度的影響如圖2(a)所示.研究結果表明在弱耦合條件下, 如k=1 時質心平均速度單調減小.在強耦合條件下, 如k≥5 時速度能夠產生峰值.說明在一定的耦合條件下合適的擾動振幅能夠促進粗糙棘輪的定向輸運.然而, 隨擾動振幅ε的繼續增加, 粗糙棘輪整體的輸運行為都呈V→0.這是因為隨著外勢擾動振幅的增加, 由粗糙棘輪的結構示意圖1(a)可知ε越大勢壘越高, 粒子更不容易跨越勢壘形成定向運動, 因此一定條件下勢壘的擾動振幅將抑制耦合棘輪凈流的產生.然而, 隨著耦合強度的增加如圖2(a)所示, 有趣地發現當k≥30 時耦合粒子的質心平均速度在小擾動振幅范圍(如ε=0.15 附近)其方向會由負變為正, 說明此時粗糙棘輪發生了流反轉.這種現象的產生是由于粒子間的強耦合與擾動振幅的共同作用抑制了耦合粒子負向運動的趨勢, 同時又促進了其正向的運動[30], 因此在小擾動振幅條件下粗糙棘輪更容易產生流反轉.關于這一流反轉現象我們還將在后面進行深入討論.此外, 強耦合作用下隨著擾動振幅ε的繼續增加, 研究發現粗糙棘輪的定向輸運還能產生極值流.這種極值流的產生是因為隨著ε的增加耦合粒子平均速度先由負變正, 并且最終再次趨于零.因此粗糙棘輪中會存在合適的擾動振幅εopt使其質心平均速度達到極大值, 說明強耦合條件下合適的εopt能夠促進粗糙棘輪的定向輸運.此外, 通過比較不同耦合強度下粒子的平均速度, 研究還發現弱耦合條件下的大于強耦合下的這是因為強耦合條件下的粒子如同被一根“硬桿”連接, 粒子更不容易產生定向運動, 故其會減小.

根據Wang的理論[28], 斯托克斯效率η一定程度上反映了布朗粒子的定向輸運性能, 因此進一步研究了斯托克斯效率隨粗糙棘輪各參量的變化行為.圖2(b)首先給出了不同耦合強度下粗糙棘輪的擾動振幅對斯托克斯效率的影響.結果表明斯托克斯效率的變化規律和圖2(a)速度的變化規律類似.η與變化規律的相似性可由(11)式進行分析, 一定條件下η正比于粒子克服溶液阻尼做功的輸出功率, 即η∝Pout.又由 (9)式分析知,Pout∝故一定條件下η近似正比于即η與有類似的變化趨勢.在弱耦合條件下, 如k=1 時,η隨擾動振幅的增加單調減小.在強耦合條件下,如k≥5 時, 斯托克斯效率會出現一個或多個極值,且隨ε→ ∞ ,η→0 .此外, 通過對比圖2(b)與圖2(a)發現, 一定條件下當耦合粒子的質心平均速度達到極值時其斯托克斯效率也會達到最大.意味著粗糙棘輪的定向輸運達到最強時, 其粒子克服黏滯阻力的定向輸運效率也將達到最大.同時研究還發現,在強耦合條件下增大粒子間耦合強度會使粗糙棘輪的定向輸運速度及斯托克斯效率的極值增大, 說明耦合強度k還會促進粗糙棘輪的定向輸運.因此下文將進一步討論耦合強度對粗糙棘輪定向輸運性能的影響.

圖2 不同耦合強度下, (a) 質心平均速度 〈V 〉 、(b) 斯托克斯效率 η 隨粗糙勢擾動振幅 ε 的變化 (a =0.5 , A =3 , H =5)Fig.2.Curves of (a) the center-of-mass velocity 〈V 〉 and (b) the Stokes efficiency η varying with perturbation amplitude ε for different coupling strength k, where a =0.5 , A =3 , H =5 .

3.2 耦合強度k的影響

由上文分析知耦合強度對粗糙棘輪的定向輸運會產生影響, 因此本文進一步研究了不同擾動波數H下耦合強度k對粗糙棘輪定向輸運的影響,如圖3(a)所示.結果表明, 耦合粒子的質心平均速度在擾動波數較小時(如H=0,2)會隨k的增加出現極值, 并隨k的繼續增大逐漸減小, 且當k→∞ 時趨于穩定值.當擾動波數較大時(如H=5,10), 粒子的平均速度在達到極值后會隨耦合強度的增大不斷減小, 且當k→ ∞ 時v→0 .產生這種現象的原因主要是當耦合強度趨于無窮時粒子間的相互作用很強, 耦合粒子受到外驅動力的作用相對較弱, 此時較大的擾動波數將對粒子的輸運起抑制作用(關于擾動波數對粒子流的影響下文還會深入討論), 因此耦合粒子很難產生定向輸運.這一結果表明, 在不同擾動波數下, 粒子間耦合強度能夠促進粗糙棘輪的定向輸運, 即合適的耦合強度kopt能使粗糙棘輪的定向輸運達到最強.此外, 由圖1(b)的粗糙棘輪結構發現, 擾動波數H越大外勢的表面越粗糙, 可見H在一定程度上反映了棘輪的粗糙程度.由圖3(a)所示, 當H=0時對于一定的耦合強度, 棘輪的隨粗糙勢擾動波數的增加而單調減小.這是由于擾動波數越大外勢越粗糙, 粒子更不容易跨越勢壘形成定向運動,所以會減小.特別地, 當H=0 時發現強耦合條件下,也就是說擾動波數的增加對粗糙棘輪定向輸運的影響并不是完全抑制的, 合適的粗糙度(外勢結構)還會促進耦合粒子的定向輸運.

基于上述討論, 我們進一步研究了不同擾動波數下, 耦合強度對粒子定向輸運效率的影響, 如圖3(b)所示.研究發現圖3(b)與圖3(a)之間仍存在類似的變化關系, 即斯托克斯效率η隨耦合強度k的變化也能產生極值, 類似的結論可由圖2(b)的分析所得.也就是說, 一定條件下合適的耦合強度kopt還能增強粗糙棘輪的定向輸運性能.此外, 研究還發現在較弱的耦合條件下, 小擾動波數H還能提升耦合粒子的輸運性能.因此, 下文將討論棘輪擾動波數對耦合粒子定向輸運性能的影響.

3.3 擾動波數的影響

如圖4(a)所示, 進一步研究了不同噪聲強度下擾動波數對粒子質心平均速度的影響.結果表明隨著擾動波數的增加, 耦合粒子質心平均速度整體的變化趨勢逐漸減小.通過圖3(a)類似的分析可得隨著外勢粗糙度的增加(擾動波數H增加)會抑制耦合粒子的定向運動.然而, 有趣的是當擾動波數為整數時耦合粒子的質心平均速度會產生一定的振蕩, 但總體變化行為仍呈下降趨勢.由外勢結構示意圖1(b)可知當擾動波數H為整數時, 外勢U(x)在一個周期λ內包含了H個完整的擾動波形,此時擾動波數對粒子定向輸運的影響較H為非整數時更強, 所以整數個H的擾動將使的行為呈現局域的振蕩.此外研究還發現隨著噪聲強度的增大, 平均速度減小的趨勢越來越平緩.這是由于隨著D的增大, 在D與H兩種擾動的競爭中熱噪聲的影響將成為粒子輸運的主導因素, 因此熱噪聲抑制了粗糙度對耦合粒子輸運的影響.此外, 研究還發現當外勢的擾動波數較大時, 如H≥4 , 噪聲強度越大耦合粒子的定向輸運速度也越大, 這一結果表明在較大的粗糙度下噪聲強度越大耦合粒子越容易跨越勢壘形成定向輸運.

圖3 不同擾動波數 H 下 (a) 質心平均速度 〈V 〉 ; (b) 斯托克斯效率 η 隨耦合強度 k 的變化曲線, 其中 a =0.2 , A =3 ,ε=0.1Fig.3.Curves of (a) the center-of-mass velocity 〈V 〉 ; (b) the Stokes efficiency η varying with coupling strength k for different perturbed wavenumber H, where a =0.2 , A =3 , ε =0.1 .

圖4 不同噪聲強度下, (a) 質心平均速度速度 〈V 〉 、(b) 斯托克斯效率 η 隨擾動波數 H 的變化 (a =0.2 , k =10 , A =3 , ε =0.1)Fig.4.Curves of (a) the center-of-mass velocity 〈V 〉 and (b) the Stokes efficiency η varying with perturbed wavenumber H for different noise intensity D, where a =0.2 , k =10 , A =3 , ε =0.1 .

圖4(b)討論了擾動波數對粗糙棘輪斯托克斯效率的影響.在小噪聲條件下, 如D＜0.1 時, 斯托克斯效率η減小的速度較快; 然而, 隨著噪聲強度的增加, 如D≥0.1 時,η減小的速度反而較慢.產生上述現象的原因可由圖4(a)的分析得到：小噪聲條件下耦合粒子的速度?隨H的增加迅速減小, 故斯托克斯效率也會隨H的增加迅速降低.然而, 當D較大時, 通過類似的分析可知, 此時噪聲強度將成為影響η的主導因素, 因而H對粗糙棘輪定向輸運的抑制效果將會減弱, 故η減小的速度變慢.研究還發現, 當外勢擾動波數較大時, 如H≥5 ,噪聲強度越大粗糙棘輪的定向輸運效率也越大.這是由于D越大, 噪聲對粗糙棘輪定向輸運的影響越強, 因此外勢粗糙度較大時噪聲D還能促進粗糙棘輪的定向輸運效率.此外, 耦合粒子的定向輸運效率也會在H為整數時產生與速度類似的振蕩行為, 其原因主要是圖4(a)中?的振蕩行為將導致H對粗糙棘輪定向輸運效率的影響也存在局部的非單調性.結果表明一定噪聲條件下, 通過構建合適的粗糙棘輪結構(如取擾動波數為整數)也能增強耦合粒子的定向輸運性能.

3.4 外力振幅的影響

由于耦合布朗粒子的運動還受周期外力F(t)的影響, 因此又討論了不同耦合強度下粗糙棘輪的定向輸運速度隨外力振幅A的變化, 如圖5(a)所示.結果表明, 粗糙棘輪的平均速度整體呈現多峰結構, 且隨外力振幅的增加的峰值逐漸減小.這種多峰結構主要是由于本文所采用的外勢為非對稱周期勢, 在粗糙棘輪對稱性破缺和耦合相互作用這兩種因素相互協作和競爭中耦合粒子的定向輸運速度將被促進或抑制, 因而粗糙棘輪的能夠存在多個極值.此外, 研究還發現隨著外力振幅的增加的極值將逐漸減小, 最終會趨于零.這是由于當振幅A較大時, 外驅動力將成為耦合粒子定向運動的主導因素, 而此時粒子在無偏置的F(t) 作用下難以產生定向運動, 所以耦合粒子速度的極值將會減小并趨于零.

圖5 不同耦合強度下, (a) 質心平均速度 〈V 〉 、(b) 斯托克斯效率 η 隨外力振幅A的變化(a =0.2 , H =5 , ε =0.1)Fig.5.Curves of (a) the center-of-mass velocity 〈V 〉 and (b) the Stokes efficiency η varying with amplitude A for different coupling strength k, where a =0.2 , H =5 , ε =0.1 .

同時, 進一步研究了不同耦合強度下粗糙棘輪的斯托克斯效率隨外力振幅的變化, 如圖5(b)所示.結果表明, 隨著外力振幅的增加粗糙棘輪的斯托克斯效率仍呈現多峰結構(局部放大圖如內插圖所示), 也就是說合適的外力振幅A也能夠使粗糙棘輪的定向輸運效率達到最強.由圖2(b)—圖4(b)的類似分析可得, 粗糙棘輪平均速度的多峰結構同樣會導致斯托克斯效率多峰結構的產生.此外, 研究還發現隨著A的增加斯托克斯效率的峰值也會迅速減小.這是因為當A≥4 時隨著外力振幅的增大的極值逐漸減小, 同時由(9)和(11)式可知此時Pout的極值將減小.然而, 由(10)式又可知隨著A的增大外界對系統的輸入功率Pin不斷增大,所以粗糙棘輪斯托克斯效率η的峰值會迅速減小.

3.5 粗糙棘輪的流反轉

圖2(a)的研究結果已表明, 小ε條件(ε≤ 0.1)下粒子間的耦合強度能夠誘導棘輪流反轉的產生.為了進一步研究粗糙棘輪的流反轉現象, 又研究了小擾動振幅條件下耦合布朗粒子的質心平均速度隨自由長度a的變化.由于外勢的平移不變性會使耦合粒子的平均速度隨a的變化呈現周期性, 即故圖6(a)僅畫出一個周期內的變化情況.有趣地發現一個演化周期內質心平均速度的變化規律關于a=0.5對稱.研究還發現隨a的增加會呈現多個峰值, 也就是說通過選擇合適的自由長度能夠促進粗糙棘輪的定向輸運.然而, 此時在強耦合作用下, 即耦合強度k=30 , 粗糙棘輪在a=0.5 附近產生了流反轉, 這一現象表明粗糙棘輪的流反轉不僅會受耦合強度k的作用, 還會受到耦合自由長度a的影響.因此進一步討論了粗糙棘輪的耦合強度k和自由長度a對粗糙棘輪流反轉的影響, 如圖6(b)所示.

圖6 (a) 質心平均速度 〈V 〉 隨耦合自由長度a的變化 (A =3 , ε =0.1 , H =5 , k =30 , D =0.1); (b) 質心平均速度 〈V 〉 隨耦合自由長度a及耦合強度k的變化(A =3 , ε =0.1 , H =5 , D =0.1)Fig.6.Curves of (a) the center-of-mass velocity 〈V 〉 varying with free length a, where A =3 , k =30 , ε =0.1 , D =0.1 ; the curves of (b) 〈V 〉 varying with coupling strength k and free length a, where A =3 , ε =0.1 , k =30 , D =0.1 .

4 結 論

研究了粗糙棘輪中耦合布朗粒子的定向輸運行為, 并詳細討論了棘輪的擾動振幅、擾動波數、耦合強度及自由長度等對粗糙棘輪質心平均速度和斯托克斯效率的影響.研究發現, 一定條件下棘輪的粗糙度(擾動振幅、擾動波數)都能夠促進耦合布朗粒子的定向輸運及斯托克斯效率.這一結論表明棘輪的粗糙度對耦合粒子定向運動的影響并非完全抑制, 也就是說通過構建合適的粗糙棘輪結構還能夠促進耦合布朗粒子的輸運性能.同時, 在一定條件下合適的耦合強度和自由長度也能促進粗糙棘輪的定向輸運性能并能使其達到最強.此外, 研究發現粒子間耦合強度和自由長度的變化還將導致耦合粒子的形變, 正是這一形變成為誘導粗糙棘輪產生流反轉的重要因素.由于本文僅討論兩個耦合粒子的情況, 若增加粒子數計算結果將與文獻[32]類似, 也就是說耦合棘輪的定向輸運速度會隨粒子數的增加而減小.本文所得結論不僅可為生物實驗上利用合適的粗糙棘輪來加速蛋白質的折疊過程, 還可為納米量級粒子的整流與分離、分子機器的設計及醫學上藥物的定點投放提供實驗啟發.