考慮滑動軸承時變動力學參數的齒輪系統建模及分析

魏 維，郭文勇，吳新躍，吳啟豪

(海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033)

齒輪-軸承傳動系統廣泛應用于汽車、航空、航天以及船舶等領域，其運行狀態對所在系統有重要的影響。在高速重載的工況下，齒輪-滑動軸承系統相較于齒輪-滾動軸承系統具有較高的穩定性，且由于滑動軸承具有較大的剛度和阻尼，有利于減小振動和噪聲等級[1]，因此隨著對系統性能要求的不斷提高，齒輪-滑動軸承系統的動態特性研究也受到越來越多的重視。

在理論研究方面，目前已建立了眾多的齒輪模型。這些模型從單自由度到多自由度，考慮了內、外部激勵以及多種非線性因素，例如時變嚙合力、偏心、制造誤差、齒側間隙等。Kahraman等[2-4]研究了單對直齒輪的非線性特性，同時建立了多自由度系統動力學模型，并考慮了齒側間隙對模型的作用，探究了不同參數對系統的非線性振動影響。Velex等[5-6]探究了嚙合齒輪中摩擦力的作用，解析了摩擦和瞬態沖擊與齒輪參數的相關聯系，提出用攝動法描述包含時變齒輪嚙合、彎曲-扭轉-橫向振動的三維齒輪嚙合動力學模型。王慶等[7]利用集中參數法建立了斜齒輪傳動系統的模型，考慮了傳動誤差、齒側間隙和時變嚙合剛度的影響，分析了系統的動力響應特性。隨著齒輪系統動力學研究的深入，考慮滑動軸承特性對系統的影響顯得越來越有必要。Baguet等[8]考慮了軸承間隙，建立了齒輪-軸-軸承系統的模型，分析了耦合系統的動態響應和振動特性。張將等[9]建立了考慮軸承間隙的齒輪系統模型，綜合分析了軸承間隙對系統動力學特性的影響。Liu等[10]研究了直齒輪系統中齒側間隙與軸承間隙相互作用的非線性特性，分析結果表明軸承間隙使得系統具有了自適應特性。總體而言，對齒輪系統的研究已較為全面，綜合考慮了多種因素對系統的影響。

Sternlicht[11]提出將軸承的剛度和阻尼作為軸承的動力學參數。在以往的研究中通常將滑動軸承的動力學參數視為定值，但在實際的齒輪-滑動軸承系統中軸承支撐力、軸承阻尼和剛度是時變的，都會隨著軸心位置、軸承間隙以及齒輪轉速的變化而變化[12-13]，且這種變化會對系統產生怎樣的影響以往的文獻也少涉及。

為了分析時變軸承動力學參數對齒輪系統的影響，本文建立了齒輪-滑動軸承耦合動力學模型，提出了考慮滑動軸承動力學參數的齒輪動態特性計算方法，綜合考慮時變嚙合剛度、時變齒側間隙等因素，分析了軸承間隙、齒側間隙、齒輪轉速對系統動力學的影響規律，為實際中分析齒輪-軸承系統提供重要的理論依據。

1 分析模型

1.1 齒輪-滑動軸承耦合模型

圖1為考慮滑動軸承動態特性的齒輪-軸承系統耦合動力學模型。假設：齒輪軸為短剛性軸，不考慮其彎曲和扭轉；齒輪軸兩端的軸承具有相同的參數和動力學特性；軸承為剛性支撐。本模型中不考慮齒面摩擦以及偏心對系統的影響。

圖1 齒輪系統動力學模型

設圖1中齒輪的齒數分別為z1和z2，基圓半徑為rb1和rb2，Ob1和Ob2分別為主動輪和被動輪軸承的軸心，O1和O2是兩齒輪軸的形心和質心，齒輪中心與軸承中心的偏心距分別為eb1和eb2。由假設條件可以得出系統具有6個自由度，設廣義位移為{x1,y1,θ1,x2,y2,θ2}，其中x1、x2為兩齒輪的橫向位移，y1、y2為兩齒輪的縱向位移，θ1和θ2為齒輪1、2的扭轉位移。kbx1、kby1、kbx2、kby2分別是主動輪和被動輪軸承的支撐剛度，cbx1、cby1、cbx2、cby2是軸承的支撐阻尼，Fbx1、Fby1、Fbx2、Fby2是軸承的支撐力，上述參數為軸承的動態特性參數，與齒輪嚙合運動有關，需要對軸承動態特性進行求解。

1.2 滑動軸承油膜力及動態參數計算

圖2中動壓滑動軸承示意圖，圖中Ob為軸承中心，Oj(x,y)為軸頸中心。R為軸瓦半徑，r為軸頸半徑，e為偏心距，h為計算點A的油膜厚度。根據幾何關系推導，可得油膜厚度h的表達式為

h=C+xcosθ+ysinθ

(1)

式中：C=R-r為軸承間隙。

圖2 動壓滑動軸承示意圖

采用文獻[14]中軸承潤滑模型，不可壓縮(ρ不變)、層流狀態下(不考慮湍流影響)、黏度不隨壓力變化的非定常Reynolds方程為

(2)

式中:θ為圓周角坐標,z為軸向坐標，ω0為軸的轉速，η為潤滑油黏度。同時有

(3)

采用有限差分法對雷諾方程進行求解可得軸承油膜壓力分布。通過對所得油膜壓力積分可求得油膜合力，軸承的油膜合力即為軸承對齒輪系統的支撐力，是軸承承載能力的體現。對油膜壓力沿x和y方向積分可得油膜分力Fx、Fy：

(4)

(5)

當軸心在平衡位置作微小振動時，可將軸承的油膜簡化為彈簧和阻尼的組合，根據文獻[15]采用壓力擾動法，得到平衡位置處軸承剛度和阻尼的計算公式為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

將式(10)中所得的擾動壓力值代入式(6)～(9)中，經積分可得到軸承的剛度和阻尼值。通過以上計算過程可知，軸承的剛度以及阻尼與軸承的軸心位置有關，當軸承位置隨時間變化時軸承的剛度與阻尼也隨之發生變化。

1.3 動態齒側間隙及動態嚙合力

隨著齒輪的轉動以及軸承間隙的變化，齒輪的中心坐標隨著時間發生變化進而引起嚙合中心距以及嚙合角的變化，進而使得齒側間隙也處于動態變化中，動態齒側間隙可表示為

b(t)=2b0+2a0cosα0(invα′(t)-invα0)

(11)

式(11)中b0為初始齒側間隙，α=tanα-α，α′(t)=arccos(a0cosα0/a′(t))，a0、α0為初始安裝中心距和壓力角，a′、α′為齒輪運行過程中的中心距和壓力角。其中動態中心距可表示為

(12)

根據齒側間隙的分段特性，動態間隙的非線性函數可用以下公式表示

f(x,t)=

(13)

齒輪系統受到激勵力的作用，在平衡位置做微小振動，將振動狀態的x方向的相對位移以及y方向的相對位移轉換到嚙合線上，如圖3所示。

圖3 齒輪嚙合線相對位移

圖3中x方向到嚙合線的轉換關系為(x1-x2)sinα，用線段ab表示，y方向到嚙合線的轉換關系為(y1-y2)cosα，用線段cd表示。綜合考慮齒輪扭轉方向轉換到嚙合線上的線位移，以及齒輪的靜態傳動誤差e(t)，由動態激勵引起的齒輪動態傳動誤差可表示為：

δ(t)=rb1θ1-rb2θ2+(x1-x2)sinα+

(y1-y2)cosα-e(t)

(14)

通常靜態傳動誤差隨齒輪轉動而呈現周期變化規律，可認為其是含有周期項的平穩隨機信號，為了便于分析，用傅里葉級數對e(t)進行標示：

(15)

式中:em為傳動誤差均值，ei為諧波項的幅值，ωh為嚙合頻率，φe=φi+π為ei對應的相位角。考慮到計算的簡便性，通常只考慮靜態傳遞誤差的一次諧波。

直齒輪的嚙合剛度隨著嚙合位置和嚙合輪齒對數的變化而變化，呈現周期性變化的特點，本文利用傅里葉級數表示齒輪的時變嚙合剛度，其基頻為嚙合頻率

(16)

式中:k0=εks，ε為齒輪嚙合重合度，且有m<ε

(17)

式中:ζ為嚙合相對阻尼比。綜合上述分析可以得到齒輪嚙合線上的動態嚙合力為

(18)

1.4 系統微分方程

根據圖1的模型，對齒輪系統應用拉格朗日方程，得到考慮動態齒側間隙的單級圓柱直齒輪系統運動微分方程：

(19)

(20)

式中:I1、I2為齒輪的轉動慣量，T1為輸入力矩，T2為負載力矩。

2 齒輪-軸承系統耦合求解方法

滑動軸承與齒輪間存在著相互耦合的作用。一方面，齒輪的動態響應是軸承的外部激勵，齒輪軸心的動態變化影響著軸承油膜力、剛度和阻尼的大小；另一方面，軸承油膜力、剛度以及阻尼又影響著齒輪系統動態嚙合力的變化。由于考慮了軸承與齒輪之間的耦合作用，傳統的計算方法已無法滿足求解的需要，為此本文提出了一種適應于求解齒輪-滑動軸承耦合系統求解的計算方法。

耦合系統求解流程如圖4所示。首先設定系統的初始參數，假設在初始齒輪軸心坐標(x1(0),y1(0))和(x2(0),y2(0))處軸承處于靜平衡狀態，考慮載荷平衡條件對軸承的雷諾方程進行求解，進而根據式(4)～(10)求得軸承的剛度(kbx1(0)、kby1(0)、kbx2(0)、kby2(0))、阻尼(cbx1(0)、cby1(0)、cbx2(0)、cby2(0))以及油膜力(Fbx1(0)、Fby1(0)、Fbx2(0)、Fby2(0))。然后根據初始坐標求解齒側間隙b(0)以及初始動態嚙合力Fm(0)，將以上計算結果代入齒輪運動微分方程中進行求解，得到下一時刻的齒輪軸心坐標(x1(1),y1(1))和(x2(1),y2(1))。重復上述步驟直到數值仿真計算時間ts結束。

圖4 齒輪-軸承耦合系統求解流程圖

3 數值仿真

齒輪-滑動軸承系統在船舶動力傳動中有著重要的應用，其性能的好壞直接決定了船舶動力系統的工作性能，因此文本在齒輪-滑動軸承數學模型的基礎上對其進行數值仿真，以研究軸承間隙、齒側間隙、轉速對系統振動特性的影響。本文采用5階定步長Runge-Kutta算法對系統微分方程進行求解。

為了確保建模與計算方法的通用性，取文獻[10]中的齒輪、軸承參數如表1，表2所示。

表1 齒輪結構參數

表2 滑動軸承結構參數

3.1 軸承間隙對系統振動特性的影響

研究軸承間隙大小對系統振動響應的影響規律。取初始齒側間隙b0=10 μm，主動輪轉頻為60 Hz(3 600 r/min)，分別計算當承間隙為Cr=39 μm、49 μm和59 μm時系統的振動響應特性，數值仿真結果如圖5所示。

主動輪y向振動加速度曲線如圖5(a)所示，由圖中可以看出，隨著齒側間隙的增加，齒輪振動加速幅值明顯減小，且當軸承間隙為59 μm時振動加速度變化更加平穩，無沖擊出現，說明增加齒輪軸承的間隙能夠起到降低振動加速度的作用，增加系統運行的平穩性。

(a) 主動輪y向振動加速度

(b) 時變嚙合力

(c) 軸承y向時變剛度

(d) 軸承y向油膜力

圖5(b)中顯示了不同軸承間隙下嚙合力的變化情況，由圖可以看出在滑動軸承支撐的情況下齒輪嚙合平穩，并且隨著軸承間隙的變化嚙合力的變化不大，同時嚙合力隨時間正負交替變化，說明齒輪嚙合時出現了雙邊接觸。圖5(c)和圖5(d)顯示了軸承剛度以及油膜力的變化情況，由圖中曲線可知軸承的剛度和油膜力在系統運行時不是固定不變的，而是隨著齒輪的轉動呈現周期變化的規律，且軸承剛度和軸承油膜力均隨著軸承間隙的增加而減小。

3.2 齒側間隙對系統振動特性的影響

(a) 主動輪y向振動加速度

(b) 時變嚙合力

(c) 軸承y向時變剛度

(d) 軸承y向油膜力

3.3 轉頻對系統振動特性的影響

研究齒輪轉速對系統振動響應的影響規律。取初始齒側間隙b0=10 μm，軸承間隙為Cr=39 μm，分別計算當轉動頻率為40 Hz(2 400 r/min)、70 Hz(4 200 r/min)和100 Hz(6 000 r/min)時系統的振動響應特性，數值仿真結果如圖7所示。

4 總 結

本文建立了齒輪-滑動軸承耦合動力學模型，提出了考慮滑動軸承動力學參數的齒輪動態特性計算方法，綜合考慮時變嚙合剛度、時變齒側間隙等因素，分析了軸承間隙、齒側間隙、齒輪轉速對系統振動響應的影響規律。通過對數值仿真結果的分析可以得到以下結論：滑動軸承的動力學參數具有時變特性，且這種變化有助于改善齒輪系統的振動特性，使得齒輪嚙合得更加平穩；在一定范圍內增加軸承間隙以及齒側間隙能夠減小齒輪的徑向振動和嚙合力幅值；隨著轉頻的增加，系統的振動響應幅值減小，運行狀態趨于穩定。

(a) 主動輪y向振動加速度

(b) 時變嚙合力

(c) 軸承y向時變剛度

(d) 軸承y向油膜力