雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集研究

劉仲琳 ，冷永剛，劉進軍，范勝波

(天津大學 機械工程學院,天津 300350)

近年來，無限傳感器網絡、微電子技術的飛速發展，使得電子設備及其電路系統越來越微型化和低功耗化[1-2]。由于很多微型電子設備的能源動力主要是依靠電池方式供電，而電池存在自身電容量有限需要定期更換或充電等不利條件，因此電池成為微電子設備持續供能的主要缺陷。為了實現微電子設備長時間不間斷的供電，采用能夠吸收周圍環境能量的自供電裝置來取代傳統電池的方法受到廣泛的關注，并成為研究熱點，這種收集環境能量的系統就是能量采集系統或能量采集器[3-5]。

振動能是環境中普遍存在且獲取方便的一種能源，因為環境中的振動現象處處可見，所以振動能量采集方法成為自供能式電源研究的主要內容之一。振動能量采集方式主要分為電容式、壓電式和電磁式。電容式能量采集因為結構工藝復雜且能量采集效果低沒有被廣泛采用，而壓電式和電磁式的能量采集研究相對較多。壓電式能量采集器的結構簡單，設計制造也方便，但其材料電阻高，輸出電流很小[6]。電磁式振動能量采集器相比前兩者所具有的優勢是，質量輕、體積小、感測頻率高、內阻比壓電式的小、適用于各種惡劣的工作環境[7]。本文主要研究電磁式振動能量采集方式。

電磁式振動能量采集系統的工作機制是，利用環境中的振動使磁鐵和線圈發生相對運動，引起線圈磁通量變化而產生感應電動勢，實現機電能量轉換，其通常的結構是采用線圈和永磁體單向運動形式來改變磁通量并產生感應電動勢。Sato等[8]采用耦合分析法，研究了具有線性諧振特性的電磁式振動能量采集系統，該能量采集器只能在諧波共振激勵條件下達到較大的能量轉換。為了克服線性能量采集器只在諧振頻率有較好的能量采集效果的缺陷，非線性電磁式振動能量采集器的研究越來越受到關注。Mann等[9]研究的磁懸浮式振動能量采集器，是在一個特氟龍管子的上下兩端各固定一個永磁體，特氟龍管子內有一個懸浮永磁體，在特氟龍管子外側繞制有上部銅線圈和底部銅線圈，中間永磁體的上下運動在銅線圈內產生感應電動勢。這種振動能量采集器具有弱非線性單穩特性，雖然能使懸浮永磁體在一個較寬的頻帶范圍內進行較大幅度的振蕩響應，但其機械阻尼的存在在一定程度上降低了能量采集效果。Sari等[10-11]把幾個懸臂梁串聯成懸臂梁陣列進行“離散式”寬頻帶振動能量采集，通過MEMS工藝加工出幾個長度不同的Parylene懸臂梁，線圈置于每個懸臂梁之上，永磁體正對懸臂梁陣列放置，在設定條件下獲得0.4 μW的輸出功率和10 mV的輸出電壓。Karami等[12]研究了一種雙穩壓電—電磁感應混合式振動能量采集器，這種能量采集器盡管可同時通過懸臂梁的雙穩振蕩實現壓電效應和電磁感應的機電能量轉換，但是這種混合能量采集方式存在結構優化與最大機電轉換輸出間的折中選擇問題，因為壓電片會使結構剛度增大而降低懸臂梁振動響應幅度，除非增大結構尺寸。即便混合轉換能量總輸出大于單項壓電或電磁感應的轉換輸出，其后續電路的分攤損耗未必優于單項壓電或電磁感應的電路損耗。Deng等[13]單獨研究了雙穩懸臂梁式電磁式振動能量采集方式，其外部兩個磁鐵的設置使系統顯得有些冗余，對于變化的環境激勵，兩個外部磁鐵間距以及懸臂梁磁鐵與外部磁鐵間距的優化調節可能是一個比較棘手的問題。

上述非線性電磁式振動能量采集，特別是雙穩能量采集主要研究了諧波振動激勵的機電能量轉換規律，而實際環境振動通常是具有寬頻帶特征的隨機振動。在寬帶隨機激勵下電磁式振動能量采集系統具有何種響應特性，其機電能量轉換效果如何是一個值得探索的問題。本文以雙磁鐵非線性雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集系統為研究對象，采用磁化電流法分析非線性磁力，探索隨機激勵下雙穩振動的磁場變化對感應電動勢的影響規律，為非線性電磁式振動能量采集的實際應用提供可行的研究方案和技術基礎。

1 雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集系統

1.1 雙穩懸臂梁振動系統

雙穩懸臂梁振動系統的基本結構和受力分析如圖1所示，系統包括基座G、懸臂梁C、懸臂梁末端磁鐵A和基座上固定的外部磁鐵B，兩磁鐵A和B完全相同，其中心距離為d且相互排斥。當外部激勵P(t)引起基座振動時，由于非線性磁力的存在，懸臂梁C末端磁鐵A的振動可呈現雙穩態振動特征[14]。圖1的雙穩懸臂梁系統可簡化成典型的質量彈簧阻尼模型，如圖2所示的等效模型。

1.2 雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集系統

以上述雙穩懸臂梁振動系統為基礎，在系統中加入一線圈繞組，構成雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集系統(簡稱雙穩梁電磁系統)，如圖3所示。線圈繞組由支撐板E固定在基座G上，外接負載R。線圈繞組空間中心O與磁鐵A中心距離為L。線圈繞組截面與兩磁鐵水平軸線正交垂直。這樣擺放線圈繞組位置，可使線圈截面相對磁鐵A產生最大的切割磁感線效果。其工作原理是：外界激勵P(t)通過基座G使懸臂梁C及其末端磁鐵A產生振動，末端磁鐵A與線圈產生相對運動，線圈截面內的磁通量發生變化，由此產生感應電動勢，從而完成振動能量的采集與轉化。

圖1 雙穩懸臂梁結構及受力分析圖

圖2 雙穩懸臂梁系統等效模型

圖3 雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集系統

2 系統結構動力學分析

2.1 雙穩懸臂梁動力學建模

根據圖2的等效模型，由牛頓第二定律，可得到雙穩梁電磁系統的雙穩懸臂梁結構的動力學方程為：

(1)

式中:Meq、ηeq、Keq分別為雙穩懸臂梁結構的等效質量、等效阻尼、等效剛度。X(t)為懸臂梁和末端磁鐵等效質量的振動響應位移，P(t)前面的系數k為集總參數模型的幅值修正因子，Fx為兩磁鐵A和B之間排斥磁力F在豎直方向上的分力。

Meq、ηeq、Keq可通過以下方程式(2)～(4)計算給出[15-17]：

Meq=M+33m/140

(2)

(3)

ηeq=2Meqξrωr

(4)

(5)

2.2 非線性磁力計算

采用磁化電流法[18]計算雙穩梁電磁系統的兩磁鐵間非線性排斥力。根據磁化電流理論，處于磁場中的磁介質，其材料的內部和外部表面均會有宏觀的磁化電流產生。由于被均勻磁化的永磁體為線性各向同性介質，因此其內部磁化電流消失，于是磁場作用力只考慮表面磁化電流。

一般情況下，各向同性的磁介質中的磁感應強度可表示為：

B=μH

(6)

式中:H為磁場強度，μ為磁導率，是真空磁導率μ0與空氣的相對磁導率μr的乘積，即μ=μ0μr。這里空氣的相對磁導率μr取值為1，則磁感應強度：

B=μ0H

(7)

雙穩懸臂梁的振動響應主要由其豎直方向上受到的磁力Fx決定，而根據向量乘法可知，磁力Fx與y軸方向的磁場強度有關，如圖4是兩磁鐵在水平位置的坐標關系，e為兩磁鐵水平位置表面間距，lb是懸臂梁長度，lA、wA、hA是末端磁鐵A的長、寬、高。以磁鐵B的中心為坐標原點，則末端磁鐵A受到磁鐵B在x軸方向上的磁力為其上下表面受到的磁力之和[18]：

Fx=μ0MAS(Hy2-Hy1)

(8)

式中:S為磁鐵A上(下)表面的面積，Hy1和Hy2分別表示磁鐵B在磁鐵A上下兩表面中心位置沿y軸方向上產生的磁場強度大小。

假設磁鐵B的磁化強度大小為MB，方向沿y軸正方向，則在空間坐標一點(x,y,z)，磁鐵B在該點處產生的沿y軸正向的磁場強度表示為[19]：

(9)

圖4 兩磁鐵在水平位置時的尺寸結構示意圖

考慮到雙穩懸臂梁的振動會引起末端磁鐵A發生繞z軸轉動，可得更精確的磁力計算式：

(10)

式中：φ是考慮雙穩懸臂梁振動產生彎曲時，磁鐵A的磁化強度MA方向與水平方向的夾角。

3.3 系統勢能函數

不考慮重力影響，系統的勢能包括懸臂梁的彈性勢能和磁力豎直分力Fx對磁鐵做的功，由此可得雙穩梁電磁系統振動響應在X=X0時刻位置的勢(能)函數為：

(11)

對式(11)進行積分計算，可給出勢函數V(X)隨磁鐵間距d的變化趨勢，如圖5所示，其中積分計算的參數選取自表1和表2。可以看出，當磁鐵間距d很大時，磁鐵力的影響可忽略，系統實際為線性系統，其勢函數為單穩，表現為只在原點處出現一個穩定的平衡位置；隨著間距d的減小，系統由線性系統變成非線性系統，其勢函數由單穩變為雙穩，即在兩個勢阱處出現兩個穩定的平衡位置，而在原點處出現一個非穩定平衡位置，且磁鐵間距d越小，勢阱越深。

圖5 勢函數V(X)隨磁鐵間距d和振動響應X的變化

3 系統電磁感應電動勢分析

3.1 電磁感應電動勢定義

根據法拉第電磁感應定律可知，線圈截面的磁感應通量(簡稱磁通量)發生變化即可產生感應電動勢。而磁通量Φ表示磁感應強度B對線圈截面的面積分，即磁場通過線圈截面的某個面積元ds的磁通量dΦ為

dΦ=Bcosθds

(12)

式中：θ是面積元ds的法線方向與磁場磁感應強度B方向的夾角，那么對于通過任意曲面S的磁通量即為：

Φ=?(s)B·ds

(13)

于是根據磁通量的變化率可得感應電動勢表達式為[20]：

(14)

式(14)中的負號表示感應電動勢方向。

3.2 感應電動勢的分析與計算

當雙穩梁電磁系統工作時，懸臂梁末端磁鐵A的運動引起線圈繞組中磁通量的變化，使得線圈繞組產生感應電動勢。由于懸臂梁任意時刻的振動位置都與其水平位置存在不同的轉角，導致其末端磁鐵A隨振動時刻發生轉角和位置的變化，因此線圈繞組中磁通量的變化隨磁鐵A的不同轉角和位置而不同，所產生的感應電動勢也隨不同振動時刻而變化。

為了確定不同振動時刻線圈繞組因磁鐵A振動而引起磁通量和感應電動勢的變化，參考圖4坐標系，這里以磁鐵A的中心為絕對坐標原點，建立磁鐵A與線圈繞組間的坐標關系。當末端磁鐵A振動時，磁鐵A在線圈繞組某一點處所產生的三坐標磁感應強度Bx、By、Bz分量中，因z軸方向上的磁感應強度方向始終平行于線圈截面，故Bz對線圈中磁通量的變化沒有影響，所以只有x、y坐標方向上的磁感應強度才會對線圈繞組作用而產生電動勢。由式(14)可得該電動勢表達式為：

(15)

式中：φ是磁鐵A的磁化強度MA方向與水平方向的夾角。

根據式(7)并考慮線圈匝數N可得到感應電動勢和磁場強度之間的關系：

(16)

由式(16)可知，感應電動勢的大小與線圈垂直面的磁場強度變化的快慢成正比，而磁場強度變化的快慢又與懸臂梁的振動速度成比例，因此感應電動勢與末端磁鐵A隨懸臂梁的振動速度成正比。

因以磁鐵A為中心的坐標系隨磁鐵A的振動不斷發生變化，故線圈繞組相對磁鐵A也不斷發生位置移動，式(16)磁場強度可由式(9)得[19]：

(17)

(18)

3.3 線圈絕對坐標計算

為了準確獲得運動坐標系中線圈任意一點的絕對坐標值，以懸臂梁從水平位置向上沿x軸方向振動至某一位置進行分析。因磁鐵的振動限制在x-y平面內，故不考慮z坐標值的變化。隨磁鐵A運動的坐標系是一個相對坐標系，其運動可看成平移和旋轉兩部分運動的合成。

當懸臂梁帶動末端磁鐵A向上平移運動時，如圖6簡化示意圖，其末端磁鐵A中心點由原來水平位置平移至A′，原線圈中任意一點(x,y,z)的坐標變為(x′,y′,z)或(x-x(i),y-y(i),z)，其中x(i)是末端磁鐵中心點在x軸方向的響應位移，考慮懸臂梁形狀修正函數，由x(i)可算得末端磁鐵A中心點在y軸方向的位移[21]：

(19)

圖6 運動坐標系平移變換示意圖

將A′點坐標系旋轉φ角度到實際振動角度位置，如圖7所示，則線圈中任意一點坐標(x′,y′,z)變為(x″,y″,z)或：

(x′cosφ+y′sinφ,y′cosφ-x′sinφ,z)

(20)

圖7 運動坐標系旋轉變換示意圖

已知雙穩懸臂梁振動產生彎曲時，磁鐵A的磁化強度MA方向與水平方向的夾角可由下式計算[21]：

(21)

根據位移響應x(i)，聯立求解式(19)、(20)、(21)，可得原線圈中任意一點坐標(x,y,z)相對于運動坐標系的絕對坐標(x″,y″,z)的值。

4 數值模擬

選取表1的一組材料及其屬性參數和表2的幾何結構參數進行模擬計算分析，計算分析中需要的其他參數是：機械阻尼比ξr=0.017 8。依照這些參數，研究寬帶隨機激勵下雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集系統的特性。

表1 懸臂梁和磁鐵主要材料參數

表2 懸臂梁和磁鐵的主要幾何參數

4.1 雙穩懸臂梁振動響應特性

雙穩梁電磁系統產生的感應電動勢與懸臂梁的振動狀態密切相關，懸臂梁是否處于雙穩躍遷的響應狀態，將直接影響感應電動勢的輸出效果。在不考慮線圈繞組阻抗的前提下，取激勵強度D=0.05和帶寬0～120 Hz的高斯白噪聲激勵P(t)，采用四階龍格庫塔法(Runge-Kutta)對方程(1)進行數值計算，對于不同磁鐵間距d，得到圖8磁鐵A位移響應x(t)的時間波形及其相圖。

從圖8可知，存在一個合適的磁鐵間距d0=28 mm，可使磁鐵A的振動幅度達到雙穩躍遷的大幅度響應，而磁鐵間距小于d0(如d=18 mm)或大于d0(如d=50 mm)時，系統響應將處于小幅振動響應。不難理解，對一定強度帶寬的隨機激勵，合適的磁鐵間距可使雙穩振動的電磁系統產生較大的感應電動勢。

圖8 系統振動響應時域圖(左列)及其相圖(右列)

4.2 雙穩響應的電磁感應電動勢仿真計算

本文線圈繞組的截面形狀為正方形，其邊長為15 mm，線圈匝數N=40匝。將正方形線圈截面均分為10 000個微元(正方形)面積。

根據上節較優磁鐵間距d0=28 mm處雙穩振動位移響應時間波形，并以其采樣間隔Δt=1 ms確定磁鐵A的不同時刻的振動位置，于是10 s的響應解一共可確定10 000個磁鐵A的不同振動位置i，每一個位置對應一個響應x(i)。針對每個磁鐵A的振動位置，計算N匝線圈每個截面的10 000個微元面中心絕對坐標值(x″,y″,z)處的磁場強度(Hx,Hy)，將這10 000N個磁場強度相加，便可得到線圈繞組在磁鐵A第i個振動位置響應解x(i)的總的磁場強度。

將相鄰間隔Δt的兩磁場強度相減并除采樣間隔Δt，可近似得到磁鐵A的兩個相鄰振動位置x(i)和x(i+1)在整個線圈繞組中產生的磁場強度H的變化率：

(22)

10 000個x(i)響應位置共可以求得9 999個相鄰的連續磁場變化率，于是可根據式(16)求得此雙磁鐵非線性雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集器產生的感應電動勢。為驗證感應電動勢計算方法的正確性，根據磁場變化率與磁鐵A振動速度的正相關性，可將磁鐵A的位移響應進行一次差分得到其振動速度，然后與感應電動勢進行對比考察。圖9(a)是磁鐵間距d0=28 mm時磁鐵A的位移響應，圖9(b)是其速度波形(位移的一次差分求得)，圖9(c)是感應電動勢的時間波形。可知，圖9(c)線圈感應電動勢與圖9(b)磁鐵A的速度的變化趨勢保持一致，說明感應電動勢計算方法的正確性。

(a) 位移

(b) 速度

(c) 感應電動勢

5 實驗驗證分析

5.1 實驗平臺

為了驗證理論分析和仿真結果，參照圖3設計制作了雙磁鐵非線性雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集系統實驗方案，其實驗結構如圖10(a)所示。激振器振動方向始終與重力方向垂直(或與地面平行)，這樣可忽略實驗過程中懸臂梁與末端磁鐵的重力對實驗結果的影響。為了測量末端磁鐵A的位移響應，系統中加入了激光位移傳感器如圖10(b)所示。實驗分析時，懸臂梁和磁鐵主要材料參數與表1一致，懸臂梁和磁鐵的主要幾何參數選自表2。整個實驗系統的設備主要由雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集器、信號發生器、功率放大器、激振器、加速度傳感器、數據采集器、激光位移傳感器系統和計算機組成，其實驗測試系統框架如圖11所示。加速度傳感器是用來測量激振器的振動強度，以保證多次試驗的振動強度一致。而激光位移傳感器主要用來測定末端磁鐵A的位移響應。此外，感應電動勢由NI PXI-1033數據采集儀中的電壓采集模塊測量。

(a) 雙穩懸臂梁電磁式能量采集系統實驗結構

(b) 附加激光位移傳感器

圖10

Fig.10 Electromagnetic vibration energy Harvester based on Bi-stable cantilever beam the experimental structure; laser displacement sensor

實驗中，首先在計算機中生成帶寬為0～120 Hz的隨機激勵數字信號，如圖12，然后通過USB接口輸入給信號發生器，再由信號發生器輸出，經過功率放大器和激振器作用于電磁能量采集器上。激振器產生的激勵強度(加速度)、電磁能量采集器(負載)產生的感應電動勢、懸臂梁的位移由多通道數據采集器進行采集，并在計算機中進行分析。采樣頻率為1 000 Hz。線圈繞組匝數為40匝。激振器激振強度的加速度有效值保持在0.48 g左右。

(b) 頻域圖

5.2 實驗結果分析

當實驗磁鐵間距d0=28 mm時，末端磁鐵A的位移響應近似雙穩狀態，如圖13所示。圖14(a) 、(b)是末端磁鐵A的位移響應波形及其速度波形，該速度波形由位移波形數據的一次差分得到。實驗采集的線圈感應電動勢如圖14(c)。由圖14(b)和(c) 可知，線圈感應電動勢的大小與磁鐵A在x軸方向上的速度的變化趨勢保持一致，也表明與線圈垂直面的磁場強度變化的快慢成正比，這種結果與圖9的模擬結果一致。在表2幾何尺寸結構下，僅40匝線圈繞組產生系統感應電動勢的有效值即可達到1.1 mV，當負載R為200 Ω時，其功率為6.05×10-6mW。

圖13 末端磁鐵A的相圖

(a) 位移

(b) 速度

(c) 線圈感應電動勢

Fig.14 The experimental data of the center point of magnet A inxdirection, displacement，velocity and induced voltage

將實驗位移響應數據代入式(16)進行模擬計算，得到線圈實際振動響應數據的感應電動勢模擬曲線，如圖15所示。比較圖14(c)和圖15可知，實驗與模擬得到的兩感應電動勢曲線的變化趨勢完全一致，仿真感應電動勢有效值為1.05 mV，與實際測得感應電動勢相符，表明上述非線性磁力和磁場的分析以及懸臂梁動態響應和感應電動勢的計算是合理正確的，這種研究方法可有效預測評估雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集器的感應電動勢。

圖15 實驗數據的模擬感應電動勢

6 結 論

本文設計了一種雙磁鐵非線性雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集器，通過數值模擬和實驗驗證得出的結論是：

(1) 將懸臂梁形狀修正函數、磁化電流理論引入動力學方程計算，得到了更精確的雙穩響應位移和感應電動勢的模擬結果。

(2) 為了計算固定線圈繞組相對運動磁鐵坐標系的坐標，以運動的懸臂梁末端磁鐵中心為原點建立相對坐標系，采用坐標平移和旋轉方法，得到了線圈繞組的絕對坐標值。

(3) 線圈感應電動勢的變化趨勢與懸臂梁末端磁鐵速度的變化趨勢保持一致，表明線圈感應電動勢與線圈垂直面的磁場強度變化率成正比。

(4) 以實驗數據為基準的感應電動勢模擬計算結果，證明了本文非線性磁力和磁場的分析以及懸臂梁動態響應和感應電動勢的計算是合理正確的，為雙穩懸臂梁電磁式振動能量采集器的感應電動勢的有效預測評估提供了可行的研究方法。