參數異變性對沖擊式水電站系統軸系振動擺度影響

許貝貝，陳帝伊，李歡歡，閆懂林

(1.西北農林科技大學 水利水電科學研究院，西安 712100；2.西北農林科技大學 中國旱區節水農業研究院，西安 712100)

近年來，歐洲許多國家和俄羅斯等投入大量財力物力對服役多年水電站重建或改造以提高其服役年限和運行性能[1]。顯然，隨時間流失，水電站各獨立子系統必然出現設備老化、機組振動及噪聲變大、絕緣性變差等現象。從非線性動力學角度講，可認為由各獨立子系統結構參數、性能參數等異變性引起水電站軸系振動擺度惡化，即可等價于：水電站系統非線性動力演變已成為水電站軸系振動擺度惡化主要原因。

沖擊式水電站由壓力引水管道、水輪發電機組及其輔助設備構成的具有復雜水機電磁耦合關系的復雜非線性系統[2-6]，其建模理論與方法的發展經歷了從單一領域獨立分塊建模到多領域統一建模的發展階段：①各組成模塊動力穩定性研究迅速發展，形成較為成熟的單一領域分塊建模理論與方法[7-9]；在壓力引水管道方面，基于計算流體力學理論，重點研究引水管道內部在恒定流狀態→非恒定流狀態→恒定流狀態過渡過程下壓力交替升降過程，即水擊過程。解析法、圖解法和數值解法是探求該過渡過程下壓力變化特征主要求解方法。目前，數值解法作為主流計算水擊方法，已被廣泛驗證其正確性和實用性。在水輪發電機組方面，針對水輪機過渡過程動態特性，可分為外特性法和內特性法。外特性法，往往采用水力機組全特性曲線并聯立水輪發電機組運動方程式，通過推求過渡過程線求解水力機組各工況瞬變規律。內特性法，采用水輪機構造參數推求暫態過程下水輪機動態力矩和水頭非線性方程，求解水力機組暫態工況下動態力矩和水頭變化特征。針對水輪發電機組軸系，重點研究機組在水機電磁耦合作用下軸心軌跡等參數瞬態變化規律。目前，上述計算方法已被國內外大部分學者采用。在機組輔助設備方面，分為機械和和電氣兩種類型，其目的為有效提高電網安全可靠性，其模型結構可見參考文獻[6]。目前，兩種類型調速器成為國內外各類水電站重要組成部分。②國內外水力發電系統多領域統一建模理論與方法近年來有明顯進展[10-19]；水力發電系統受水力、機械和電磁耦合因素影響，其統一建模體現為多領域及各學科交叉融合趨勢。

20世紀70年代前，分數階微積分理論僅僅是一個數學領域純理論問題，其詳細發展歷史過程請參閱具體參考文獻[20-21]。1965年，美國耶魯大學Prof. Mandelbrot提出分形概念。自此以后，分數階微積分理論被廣泛應用于電氣工程、機械學、湍流、物理及控制理論、黏彈性動力學和轉子動力學等，尤其是分數階阻尼系統非線性動力學研究，因為分數階微積分強大記憶特性使得其描述復雜系統非線性動力演化過程更加真實、簡潔。Cao等[22]嘗試研究分數階阻尼碰摩轉子軸承系統的非線性動力學特征。Yan等[23]通過改進傳統整數階黏彈性模型，提出履帶式車輛分數階模型并從實驗上驗證其有效性。劉鋮等[24]針對雙饋風力發電系統設計分數階自抗擾廣域阻尼控制器用以增強互聯網電網阻尼控制能力并驗證方法的有效性。可見，考慮分數階阻尼是水電站系統非線性動力演化過程研究所必要的。

綜上所述，本文針對沖擊式水電站強非線性和多子系統耦合性，引入分數階阻尼項，在考慮壓力引水管道、水輪發電機組和調速設備基礎上，建立沖擊式水電站分數階動力學模型，研究分數階階次、勵磁電流、上導軸承剛度、下導軸承剛度、水導軸承剛度和機組轉速參數值變化對機組軸心偏移、旋轉速度、噴針行程、水輪機流量和水頭的影響規律。

1 考慮分數階阻尼沖擊式水電站模型

1.1 噴嘴流動模型

沖擊式水輪機是按動量定理工作的水力原動機，壓力鋼管內有壓流經噴嘴噴入大氣之中，形成射流，進而推動水輪機轉輪旋轉。本文通過對噴嘴模型進行簡化，獲得結構簡圖如圖1所示。

圖1 沖擊式水輪機噴嘴結構模型

噴嘴流動面積可寫為[8]

(1)

根據式(1)，沖擊式水輪機流量可表示為

(2)

式中：Q為噴嘴出射流量；V為射流速率；Sj為出射面積；κ為射流系數；Z為噴嘴數目；g為重力加速度；H為水輪機水頭。根據式(1)和(2)可得

(3)

式中：q為流量Q相對偏差值；h為水頭H相對偏差值。下角標a和b分別表示噴針位置a和位置b。式(3)兩邊同時對時間t求導可得

(4)

1.2 壓力引水管道模型

引水管道水力損失為[7]

hq=h0-h

(5)

式中：h0為靜水頭；h為水輪機水頭。根據孔口出流原理，壓力引水管道出口處流量可表示為

(6)

式中：xr為額定負荷下主接力器位移標幺值。

式(6)兩邊同時對時間t求導可得

(7)

根據式(5)和(6)，壓力引水管道模型可寫為

(8)

式中：Te為彈性時間常數；Zn為管道水力浪涌阻抗規格化值。

1.3 發電機負載與調速器模型

發電機負載動態特性可描述為[7]

(9)

式中:Ta為水輪機轉動部分慣性時間常數；Tb是負載轉動部分慣性時間常數，Tab=Ta+Tb；ω為機組轉動角速度；D為發電機阻尼系數。水輪機力矩mt采用IEEE Group提出的簡單非線性模型：mt=Ath(q-qnl)-Dtyω。

液壓隨動系統動態特性可表示為

(10)

式中:Ty為延遲時間常數;kp、ki和kd分別為比例、積分和微分調節增益;s為指令信號;y為導葉開度。

1.4 水輪發電機組軸系模型

通過考慮水力不平衡力重新構建水輪機動力矩與發電機角速度表達式，從而連接水輪機調節系統和水輪發電機組軸系統模型。發電機轉子在x方向和y方向受到分數階阻尼力可描述為

(11)

式中:c為阻尼系數;(x01,y01)為轉子軸心在x方向和y方向偏移量;α為分數階階次。

機組軸系拉格朗日函數可表示為

L=T-U

(12)

式中:T為軸系動能;U為軸系勢能。

根據公式(12)，系統方程可表示為

(13)

式中：MgB為發電機額定轉矩；Fx-ump和Fy-ump為x方向和y方向不平衡磁拉力；Fx和Fy為非線性油膜力；Fxf和Fyf為分數階阻尼力；Fx-rub和Fy-rub為x和y方向碰摩力。不平衡磁拉力和非線性油膜力解析表達式見參考文獻[11]，碰摩力見參考文獻[15]。根據式(13)，系統方程為

(14)

式中：變量x1、x2、x3和x4為中間變量參數，并無實際物理意義(詳見參考文獻[5, 25])；變量vx01和vy01分別為轉子軸心在x方向和y方向變化速率；變量m1和m2分別為發電機轉子和水輪機轉輪質量；e1和e2分別為發電機轉子和水輪機轉輪質量偏心距；r為發電機轉子和水輪機轉輪形心在水平方向距離；θ和φ分別為發電機轉子和水輪機轉輪轉角；變量k1、k2和k3分別為上導軸承剛度、下導軸承剛度和水導軸承剛度值。

論文中包含四個子系統：壓力引水管道子系統、水輪機力矩及發電機子系統、水輪發電機組軸系子系統和調速子系統。其中，壓力管道參數和噴嘴流量的耦合可用于水輪機入口處的流量q和水頭h，其詳細關系見公式(1)；壓力引水管道參數(公式(1))與軸系振動方程(公式(3))通過水輪機力矩及發電機參數(公式(2))建立耦合關系，耦聯參數包括流量q、水頭h、導葉開度y、力矩mt和角速度ω。調速子系統通過發電機角速度與壓力引水管道參數建立耦合關系。四個參數詳細耦合關系如圖2所示，四個子系統模型參數耦合見公式(1)～(4)。

圖2 引水管道子系統、水輪機力矩及發電機子系統、水輪發電機組軸系子系統和調速子系統耦合關系

Fig.2 Coupling relationship of pressure penstock, hydro-turbine torque, generator, shafting, and governor

2 非線性動力演化過程

分岔圖是系統狀態變量與異變參數構成二維空間極限集隨參數變化圖形，反應系統隨參數變化非線性動力演化情況，故可用來表征沖擊式水電站軸系振動擺度。本文采用冶勒水電站六噴嘴水輪發電機組參數：算例參數來自于冶勒水電站六噴嘴機組參數。其中，參數HB=580 m,Qb=23.5 m3/s,Z=6;κ=0.985;Zn=1.501 s;Te=0.515 5 s;g=9.81 m/s2;se=0.23 m;d1max=0.085 8 m來自于參考文獻[26]。參數m1=1.2×104kg;m2=2.1×105kg;e1=3×10-3m;Mgb=2.25×108N·m;J1=7.9×107;J2=3.5×107s;Tab=10 s來自于參考文獻[27]。根據參考文獻[28]，發電機阻尼系數D一般視為常數，取值在0～3范圍內比較合理，故本文中取值D=0.5；s為參考輸入值，s=0。發電機轉子和水輪機轉輪形心在水平方向距離為估算值，r=0.000 02 m。PID三參數kp=1 s;ki=10 s;kd=3.5 s;均為估算值。轉輪質量偏心也為估算值，e2=0.5×10-3m。變量k1、k2和k3分別為上導軸承剛度、下導軸承剛度和水導軸承剛度值。其值對軸系振動擺度值影響很大，故文獻中在模型耦合壓力引水管道參數后，著重研究其值對軸系振動擺度的影響規律。取值變化范圍(107，108)。在超過108值時，軸系振動擺度發散，系統已不可控。系統初值為[x1,x2,x3,x4,x,ω,h,q,x01,y01,vx,vy,φ]T=[0.001,0.001,0.001,0.000 4,0.004,-7×10-9,0.001 34,0.001 021,0.000 001,0.000 001,0,0,0]T。

2.1 勵磁電流影響

本節研究不同分數階階次下勵磁電流值異變對系統動力演化過程影響，如圖3所示。

圖3 不同分數階階次下勵磁電流值異變對軸系振動動力演化影響

Fig.3 The shaft vibration versus the excitation current with different level of fractional order

從圖3可總結以下四方面結果：①不同分數階階次下，系統動力失穩所對應的閾值不同，但最終都會經隨機振動態進入到不可控態；②分數階階次取值不影響系統動力演化方式，演化方式均是通過振動態→隨機振動態→不可控態；③勵磁電流對系統動態動力演化過程影響很大，但從電站運行角度，在勵磁電流異變值不超過閾值情況下，水電站軸系振動擺度均滿足電站運行要求；④隨勵磁電流逐漸增大，軸心偏移量增大，機組振動增強，且影響程度很大，極易引發碰摩事故。振動態進入隨機振動態閾值(定義閾值A)隨分數階階次變化情況如圖4(a)所示。隨機振動態進入不可調態閾值(定義閾值B)隨分數階階次變化情況如圖4(b)所示。

觀察圖4，分數階階次取值對閾值A影響不大，基本在740 A左右變化；分數階階次取值對閾值B影響很大，整個變化范圍可延展至(750，2 750)A，且具有先突然增大后逐漸減小變化規律。

2.2 上導軸承剛度影響

本節研究不同分數階階次下上導軸承剛度異變對軸系振動動力演化過程影響，如圖5所示。

觀察圖5，隨上導軸承剛度減小，機組振動在維持一段時間等幅振蕩后，最終通過隨機振動態進入不可控態。當α=1.00，閾值A所對應上導軸承剛度值最大；當分數階階次增加或減小，閾值A值均會減小。當α取值小于0.9或大于1.1，系統動力演化方式也發生了變化，出現由穩定直線過渡到連續波動狀態并逐漸進入隨機振動態趨勢。

(a) 周期振動進入點移動情況

(b) 隨機振動進入點移動情況

圖4 不同分數階階次下系統進入振動周期態和隨機振動態所對應勵磁電流值的移動情況

Fig.4 The bifurcation points versus the excitation current with different level of fractional order

圖5 不同分數階階次下上導軸承剛度異變對系統動力演化過程影響

Fig.5 The shaft vibration versus the stiffness of upper guide bearing with different level of fractional order

2.3 下導軸承剛度影響

本節研究不同分數階階次下，下導軸承剛度異變對系統動力演化過程影響，如圖6所示。

觀察圖6，隨下導軸承剛度增加，改變分數階階次對系統動力演化過程影響很大，但均以Hopf分岔形式失去穩定。具體來說，α分別取0.75、1.20和1.25時，系統失穩后均直接進入隨機振動態；α分別取0.80、0.85和1.15時，系統通過周期振蕩直接進入大幅度隨機振動態。當α分別取0.90、0.95、1.00、1.05和1.10時，系統通過周期振蕩先進入小幅度隨機振動狀態，而后進入大幅隨機振動態。

圖6 不同分數階階次下下導軸承剛度異變對系統動力演化過程影響

Fig.6 The shaft vibration versus the stiffness of lower guide bearing with different level of fractional order

2.4 水導軸承剛度影響

本節研究不同分數階階次下，水導軸承剛度異變對系統動力演化過程影響，如圖7所示。

圖7 不同分數階階次下水導軸承剛度異變對系統動力演化過程影響

Fig.7 The shaft vibration versus the stiffness of water guide bearing with different level of fractional order

水導軸承剛度變化和下導軸承剛度對系統軸系振動擺度影響相似，這里不進行詳細描述，主要介紹不同之處。在α=0.95時，隨水導軸承剛度增加，先出現Hopf分岔，接著進入穩定周期振蕩，進而進入一個小幅度隨機振動態；α分別取值0.95、1.00和1.05時，系統在小幅度隨機振蕩后并未直接過渡到大幅度隨機振蕩態，而是進入周期振蕩，最后由周期振蕩直接進入大幅度隨機振蕩態。

2.5 發電機角速度軸心動態演化過程

在機組發生故障后，很容易發生機組失速故障，機組轉速升高后會出現劇烈振動行為。機組軸心軌跡圖可用于分析機組失速后動力演化過程。圖8描述機組轉動角速度從0～850 rad/s變化軸心軌跡動力演化過程。

(a) 0<ω<200

(b) 200<ω<700

(c) 700<ω<850

圖8 機組轉動角速度從0～850 rad/s變化軸心軌跡動態演化過程

Fig.8 Dynamic evaluation of the center of the generator rotor when the generator speed changes in the interval (0, 850) rad/s

觀察圖8(a)，在0<ω<7 rad/s時，機組振動幅值基本為0 m；在7<ω<44 rad/s時，機組振動幅度隨轉速線性增加；在44<ω<55 rad/s時，振動幅度基本保持不變，且在ω=55 rad/s轉速發生了跳躍現象；在55<ω<189 rad/s時，振動幅度隨著轉速增加迅速增加，并在ω=189 rad/s達到該階段峰值；在189<ω<194 rad/s時，振動幅度迅速衰減，振動幅度減小，在194<ω<250 rad/s時，振動幅度基本不變。觀察圖8(b)，在250<ω<269 rad/s時，振動幅度基本不變；在269<ω<299 rad/s時，振動幅度略有增加，且在ω=299 rad/s時出現跳躍式下降；在299<ω<343 rad/s時，振動幅度先減小后趨于穩定，且在ω=343 rad/s跳躍式上升，之后隨轉速升高振動幅度先上升后下降；當401<ω<603 rad/s時，隨轉動角速度緩慢上升，振動幅度緩慢上升趨勢；在517<ω<530 rad/s，振動幅度先是跳躍式下降，緊接著出現跳躍式上升，且幅度大于之前幅度；在603<ω<700 rad/s時，振動幅度也隨轉速增加緩慢增大。觀察圖8(c)，當700<ω<850 rad/s時，機組振動幅度剛開始緩慢增加，最后振幅迅速升高并達到最大值。

3 結 論

本文采用非線性動力學方法探究水輪發電機組結構參數異變性對沖擊式水電站軸系振動擺度影響規律，得出如下結論：

(1) 分數階階次值通過阻尼力響應影響系統演化過程，對Hopf分岔影響不是很明顯，但對隨機振動幅值有明顯影響。

(2) 上導軸承、下導軸承和水導軸承剛度對系統穩定性有著明顯影響；不同分數階次下系統進入隨機振動方式也不相同：①從穩定周期振蕩直接進入隨機振蕩；②從Hopf分岔過渡至隨機振蕩；③系統先進入小幅度隨機振蕩，而后迅速過渡到大幅度隨機振蕩狀態。

(3) 通過對系統失速后振動幅度分析發現，系統振動幅度會隨轉速升高出現明顯跳躍現象。

(1)

(2)

(3)

(4)

聯立公式(1)～(4)，得

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

聯立公式(6)～(9)，可以得到

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

Mt-Me=(mt-me)MgB

(15)

聯立公式(5),(10)～(13)和(14)，得到

(16)

取

(17)

(18)

(19)

(20)

對公式(16)進行化簡，得到

(21)

化簡可得發電機角速度為

(22)