關于《實變函數》課程教學的幾點思考

韓明華　尚海濤

【摘 要】實變函數是數學與應用數學專業的一門核心課程，掌握好本課程對于后續相關課程的學習至關重要。本文從注意引導、重視基礎概念及加強對比三個方面介紹了如何有效地開展實變函數課程教學。

【關鍵詞】實變函數;Riemann積分;Lebesgue積分

中圖分類號： O172.2文獻標識碼： A文章編號： 2095-2457（2019）33-0136-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.33.067

Some Thoughts on the Teaching of Real Variable Function

HAN Ming-hua1 SHANG Hai-tao2

（1.College of science， kaili university， Kaili Guizhou 556000， China;

2.School of science and technology， east China jiaotong university， Nanchang Jiangxi 330100， China）

【Abstract】Functions of Real Variable is a core course for mathematics and applied mathematics major. It is very important to master this course for the following related courses. This paper introduces how to teach function of real variable effectively from three aspects： paying attention to guidance， paying attention to foundational concept and strengthening contrast.

【Key words】Fuction of real variable; Riemann integral; Lebesgue integral

0 引言

《實變函數》是數學與應用數學專業的一門重要的專業核心課程，該課程是在學生學習了一些基礎的分析課程后進行開設。在學習的過程中，由于教學內容的高度抽象化，概念過于隱晦難懂，教學課時量有限，學生普遍感覺該門課程比較困難，難以理解課程內蘊的本質和思想，不能較好地運用其中的方法，學完一段時間以后就容易遺忘，大家經常戲稱實變函數要學十遍才能掌握精髓。本文結合作者多年來的教學實踐經驗，就如何有效開展《實變函數》課程教學提出一些見解。

1 注意引導，激發學生學習積極性和主動性

部分學生剛剛接觸《實變函數》課程，會對該課程產生一定的誤解和偏見，從而影響學習積極性和主動性。學生的第一感覺是該課程復雜難懂，第二感覺是該課程并不實用。由于大部分數學類師范專業學生畢業后從事中小學數學教育工作，他們片面認為該門課程內容與中小學數學教學工作并不相關，無法在日后的教學中發揮作用。另外一部分同學有繼續深造的愿望，但是考研的科目通常也不包含實變函數課程，因此，他們或多或少地認為實變函數課程的實用性不大，僅僅為了應付期末考試通過而消極被動學習，在學習過程中遇見困難就會產生抵觸情緒，并不能發揮主觀能動性去解決困難。為了消除學生的偏見和誤解，教師在課程教學內容正式開始前，有必要介紹這門課程的來龍去脈，思想方法及在整個數學專業中的地位。它是數學分析的延續和擴展，它的思想和方法貫穿在泛函分析、微分方程及概率論與數理統計等后續課程的學習中，也是傳統的代數、幾何進入現代數學前沿的必要橋梁之一。同時通過該課程的學習，可以培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力及分析解決問題的能力，這些能力的提高將對學生終身受益。通過理清實變函數課程的作用地位，有助于學生深刻認識到課程的重要性及實用性，通過積極引導，提高學生學習的自信心和積極主動性，這些對于學生學好實變函數是必不可少的。

2 重視基礎，理解概念、定理的內涵

《實變函數》課程包含大量抽象難懂的概念、定義、定理，許多教材為了簡潔需要，基本都是直接給出概念的定義，然后在此基礎上給出定理并給予證明。學生在學習的過程中，難以把握概念的實質，不知概念產生的前因后果，也不清楚概念在課程中的作用和地位。因此在教學過程中，可以介紹該概念的作用，引導學生思考為什么要這樣來定義，用這種方式定義的作用和好處是什么，它能夠解決哪些問題，而不是僅僅簡單地告訴學生前人就是這樣定義的。經過這樣教學處理能夠起到一些較好的效果，第一、降低了教學難度，將看上去冰冷的概念注入了背景，學生也明白了并不是無緣無故這樣去定義的，它是有現實背景的，這樣能夠讓抽象的數學生動化，從而激發學生學習的興趣;第二、可以引導學生自主思考，讓學生遵循前人的思想脈絡去思考問題，經過多次這樣的練習，能夠培養學生研究問題的能力。

例如，在講授完備集合的概念時，書上一般就是直接給出，若E=E'，則E就被稱為完備集合。從該定義出發，我們并不知道究竟什么樣的集合才是完備集合，為什么要這樣定義完備集合，許多學生也是直接記住該定義，經過一段時間后就很容易跟其他的概念產生混淆。在具體教學時，先給出一個不是完備集合的例子，討論這種情況對所研究問題造成的影響，引導學生思考如何彌補這樣的缺陷，從而一步步引出完備集的準確定義，這樣學生就會對該概念有個比較清晰的認識。再給學生列舉一些常見的完備集合和非完備集合，使得學生對于完備集合有個更加直觀的了解。最后再以著名的Cantor三分集為例，打破他們對于該概念淺顯簡單的認識，直擊完備集合的本質。經過這樣的過程，學生對于該概念有個較好的認識，充分理解完備集合的作用，真正掌握該概念的本質。有的同學甚至還會進一步探究，當一個集合不是完備集的時候該如何處理，其實這就是完備化的范圍，這樣就能激發引導學生自主學習。

3 加強對比，實現從Riemann積分到Lebesgue積分的遷移學習

實變函數課程的一個重要內容是討論一類新的積分的性質和運用。隨著微積分的發展，人們越來越感覺到Riemann積分的一些缺陷，例如，一些看上去性質非常簡單的函數并不可積，要想逐項積分，或者交換兩個無窮積分的順序，通常需要附加很強的條件，但在日常所遇見的問題中，這些苛刻的條件可能無法滿足，這樣就限制了Riemann積分的使用，因此有了發展新的積分的動力，而Lebesgue積分就是在這樣的背景下應運而生。

在給出Lebesgue積分的定義時，許多教材采用了和Riemann積分確界式定義類似的定義方式，從此定義出發得到了大量與Riemann積分相同的性質。學生們通過學習前期的《數學分析》課程，已經對Riemann積分的性質有了比較好的掌握，這兩種積分性質的共同點有利于學生掌握新的Lebesgue積分的性質，并且讓學生在心理上容易接受新的事物。兩種積分既有聯系也有區別，除了對比它們之間的共同之處，更為重要的是要對比兩者之間的不同之處。有的性質從形式上來看是一致的，但內涵的思想和本質可能有大的區別，而有的性質是Lebesgue積分所獨有的，要給學生仔細分析這些獨特性質產生的根源，這些性質對于Lebesgue積分的運用起到了哪些作用。正是通過這些對比，幫助學生掌握兩者之間的異同，真正理解Lebesgue積分的思想，知道Lebesgue積分如何發揮其獨有的作用。

例如，為了介紹Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，通常列舉一些不Riemann可積但是Lebesgue可積的函數，這就從一個方面說明了Lebesgue積分的適用范圍要更加廣泛，能夠處理一些Riemann積分無法處理的問題。教材一般都是給出定義在[0，1]上的Dirichlet函數，該函數是Lebesgue可積但并不Riemann可積的典型例子。通過仔細分析該函數，讓學生明白函數f（x）在區間[a，b]上Riemann可積的本質就是其在[a，b]上的不連續點構成的集合是一個零測度集，從而掌握兩種積分之間的本質區別。進一步鼓勵學生思考還有什么常見的函數符合這樣的情形，或者讓學生自己嘗試構造符合該條件的函數，在此過程中逐漸培養學生自主思考問題、研究問題和解決問題的思維和能力。

4 總結

針對實變函數課程的特點，利用先進的教學理念，不斷摸索探究符合實際的教學方法，努力提高學生的數學專業水平和使用數學解決問題的能力，培養合格的數學專業人才是個值得永遠思考的課題。

【參考文獻】

[1]江澤堅，吳智泉，紀友清.實變函數論.第3版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]周民強.實變函數-第3版[M].北京：北京大學出版社， 2008.

[3]吳奎霖.實變函數教學中一些探討[J].讀與寫（教育教學刊），2017（01）：4+28.

[4]范洪福，范子杰.實變函數反例研究（Ⅰ）[J].大學數學， 2018，34（06）：56-59.