問題引領 拓展變式

張麗

勾股定理可以解決“已知直角三角形的兩條邊長，求第三邊”問題。除此之外，在求解折疊問題時，也常會出現直角三角形及其邊長的數量關系，此時可結合題意，借助相關概念及圖形性質，找到或者構造出各邊之間存在著某些數量關系的直角三角形，從而利用勾股定理列出方程求解。下面對這類問題進行歸類整理。

一、利用折疊建立數量關系

這類問題關鍵是要結合已知條件，利用折疊等性質，找到或構造直角三角形，將三邊用含同一個字母的代數式表示，然后利用勾股定理列出方程求解。

例1 如圖1，將一個三角形紙片沿著DE折疊，使點B落在點A處，請分析圖形特征，說出相關線段的數量和位置關系。

圖1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

【解析】這是一個開放性問題，主要考查同學們對折疊性質的掌握情況，線段AD=BD，AE=BE，AB⊥DE。

變式 如圖2，直角三角形紙片的兩直角邊的長分別為AC=6cm，BC=8cm。現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長。

【解析】由翻折得AC=AE=6，設CD=x=DE，BE=4，BD=8-x，由勾股定理知x2+16=（8-x）2，解得x=3。

【點評】通過勾股定理建立方程是數學中常用的思想方法。先設未知數把未知的量與已知的量集中到一個直角三角形中，再通過勾股定理建立方程，然后解方程求出CD的長。

例2已知如圖3，將一個長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，AB=10cm，AD=8cm，求AF的長。（同學們可自己提出問題再解決）

圖3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖4

【解析】這是一個開放性問題，由翻折得AB=AE=10，EC=8，設CF=x，AF=x，EF=10-x，由勾股定理知，（10-x）2+64=x2，x=8.2。當然也可以求EF等線段。

變式 在長方形紙片ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，按圖4方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求DE的長。（同學們可自己提出問題再解決）

【點評】通過勾股定理建立方程是數學中常用的思想方法。所謂方程思想，就是通過觀察、分析、判斷，從已知量和未知量之間的位置關系或數量關系入手，找出等量關系，運用數學符號語言將相等關系轉化為方程，再通過解方程來解決問題。運用勾股定理構建方程，建立已知量與未知量之間的關系是解題的關鍵，同時體現了運用方程思想解題的簡便快捷。

二、利用全等的性質或者等腰三角形性質建立數量關系

例3 如圖5，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，且OE=OD，則AP的長為? ? ? ? ? ? 。

圖5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖6

【解析】根據OE=OD，可以證明△OPD≌△OGE，從而得到EG=PD，EP=DG。若設AP=x，則CG、BG可以用含x的代數式表示。在Rt△BCG中，BC的長已知，利用勾股定理列出方程求解即可。

設AP=EP=DG=x，則GE=PD=6-x，CG=8-x，BG=2+x。在Rt△BCG中，BC2+CG2=BG2，即62+（8-x）2=（x+2）2，解得x=4.8，∴AP的長為4.8。

變式 如圖6，在矩形ABCD中，M為BC邊上一點，連接AM，過點D作DE⊥AM，垂足E。若DE=CD=1，AE=2EM，則BM的長為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解：連接DM，在Rt△DEM和Rt△DCM中，

[DE=DC，DM=DM，]

∴Rt△DEM≌Rt△DCM，

∴∠AMD=∠CMD。

∵AD∥BC，

∴∠DMC=∠ADM，

∴∠AMD=∠ADM，

∴AD=AM。

設EM=CM=x，則AD=AM=BC=3x，

∴BM=2x。

在Rt△ABM中，AB2+BM2=AM2，

即12+（2x）2=（3x）2，

解得x=[55]。∴BM的長為[255]。

【點評】解決這類問題的關鍵是首先要找到或構造出這樣的一個直角三角形，利用全等、等腰三角形等性質確定其中兩邊的數量關系。那么，這兩條邊都可以用含同一個字母的代數式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可。

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學）