“勾股定理”錯題筆記

龔輝

勾股定理的重要性不言而喻，同學們在應用它解題時，常常會出現一些錯誤，我們要及時整理、歸納，認真做好錯題筆記。龔老師整理了一些經典案例，希望同學們以此為戒，在錯題本上進行完善和補充，并在復習和練習時避免犯類似的錯誤。

一、忽略勾股定理的前提

例1 如圖1，四邊形ABCD中，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，∠A=90°，求四邊形ABCD的面積。

圖1

【錯解】連接BD。

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=5。

∴S△BCD=[12]×5×12=30。

∴S四邊形ABCD=30+6=36。

【剖析】沒有說明△BCD是直角三角形，不能直接運用面積公式。本題要運用勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形。這道題告訴我們，在解決問題時要有嚴密的思維和嚴謹的態度。

【正解】連接BD。

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=5。

∵BD2+CD2=25+144=169=BC2，

∴△BCD是以BC為斜邊的直角三角形。

∴S△BCD=[12]×5×12=30。

∴S四邊形ABCD=30+6=36。

二、生搬硬套，思維定式

例2 在Rt△ABC中，a=6，b=8，若∠B=90°，求第三邊c的長。

【錯解】由勾股定理，得c2=a2+b2=36+64=100，∴c=10。

【剖析】我們在記憶勾股定理的公式時通常記作a2+b2=c2，很容易先入為主地默認為∠C=90°，因此犯了上述錯誤。同學們一定要認真審題，分清直角、斜邊。

【正解】∵∠B=90°，∴b2=a2+c2。

∴c2=b2-a2=64-36=28，∴c=[27]。

三、已知條件指代不清要分類討論

例3 已知Rt△ABC的兩條邊長為3和4，求第三條邊長。

【錯解】在Rt△ABC中，由勾股定理得：第三邊c=5。

【剖析】本題的錯誤由兩個原因導致。一是思維定式，由“勾三股四弦五”直接想到答案為5;二是題中的條件是兩邊為3和4，并未指明是哪兩條邊，有可能出現兩種情況：兩條邊都是直角邊，一條斜邊一條直角邊。因此，本題需要分兩種情況進行分類討論。

【正解】①若3和4都是直角邊，由勾股定理得：c=[32+42]=5;

②若3是直角邊，4是斜邊，則c=[42-32]=[7]。

綜上所述，第三條邊長為5或[7]。

四、設錯未知數誤入死胡同

例4 如圖2，已知△ABC中，AD⊥BC，AB=4，BC=8，AC=6，求AD的長。

圖2

【錯解】設AD=x。

在Rt△ABD和Rt△ACD中，分別由勾股定理得：

BD=[16-x2]，CD=[36-x2]。

∵BC=8，∴[16-x2]+[36-x2]=8。

部分同學感到困惑：根式方程無法解決……

【剖析】利用勾股定理列方程解決問題時，由于勾股定理的特點，邊長通常會帶根號，因此要避免出現帶根式的方程。本題可以通過設間接未知數BD=x或CD=x解決。

【正解】設BD=x，則CD=8-x。

在Rt△ABD和Rt△ACD中，分別由勾股定理得：AD2=16-x2，AD2=36-（8-x）2。

∴16-x2=36-（8-x）2。解之得：x=[114]。

在Rt△ABD中，由勾股定理得AD的長為[3154]。

同學們在運用勾股定理解決問題時容易犯的錯誤不僅僅是上述這些，大家一定要仔細審題，明確題目條件的特點，深入挖掘隱含條件，力求簡便、巧妙地解答。同時，我們要關注和整理解題中常見的錯誤，包括自己的或同學的錯誤，對典型的錯誤進行分類歸納。我們要透過錯誤發現問題，并利用錯誤資源，認真反思、制訂策略并積極地開展有針對性的訓練，從錯題中積累經驗、完善思維、提高能力。

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪第一中學）