紙飛機的飛行原理數學建模

董曉紅 康平

摘 要：本文首先研究紙飛機的飛行原理，結合伯努利定律進行受力分析，用AutoCAD軟件繪制受力分析圖，建立數學模型，從而得出紙飛機的最佳出手角度。采用控制變量法進行實驗，并得出數據，繪制表格，進行記錄，結合matlab軟件，繪制飛行軌跡曲線，得出使飛行距離盡可能遠的最佳方案，設計出手角度。

關鍵詞：紙飛機;飛行原理;數學建模

紙飛機自身沒有動力，拋出瞬間獲得一定初速度，機翼使空氣分流，形成上下壓力差，產生機翼的升力，升力與阻力合成為空氣動力，維持紙飛機的飛行。機翼與機身的比例要恰當，合理調整紙飛機的重心、選擇最佳出手角度等因素是紙飛機飛的高，飛得遠的關鍵。

1 問題重述

紙飛機有許多種折法，世界上有若干具有一定影響力的紙飛機比賽，通常的參賽規則是使用一張特定規格的紙，例如A4大小的紙張，折成一架紙飛機。折好后在無風的室內環境投擲，并測量其留空時間和飛行距離等成績。我們假定紙飛機（以Suzanne為例）的翼面是精確的平面，需要建立合理的數學模型，計算出使飛行距離盡可能遠，投擲出手的最佳角度。

2 問題分析

通過對紙飛機受力分析，研究紙飛機的拋出角度

紙飛機屬于無動力滑行的飛行方式，因此問題一需要根據伯努利定律，對紙飛機進行受力分析，研究紙飛機的受力情況，討論氣流遇到紙飛機時，如何被機翼分成上下兩股氣流，形成壓力差從而產生升力。

3 問題的求解

3.1 伯努利定律在紙飛機上的應用

在空氣動力學中伯努利定律最為重要，就是說空氣流速越快，壓強越小;反之空氣流速越慢，壓強越大。當空氣遇到物體時會發生偏移，例如：紙飛機的機翼。當空氣遇到機翼時，就會被分割成兩部分，一部分從機翼的上表面流走，一部分從機翼的下部分流走。由于機翼的上表面比下表面凸出，所以上表面的氣體流速比下表面的流速快，機翼的上表面壓力比機翼的下表面壓力小，產生壓力差。兩邊相互較力，產生向上的推力，推動紙飛機向上。在這個流動過程中會產生復雜的速度和壓力變化。要產生升力，上下表面的平均壓力必須有差異。這個原理簡單的數字表達式就是伯努利定律，以下式表示，其中p表示壓力。

P+12ρv2=常數

3.2 氣流對機翼的作用

氣流遇到紙飛機時，被分為兩股氣流，流過機翼的上下表面，在飛機尾部匯聚成一股氣流。根據伯努利定理，由于機翼上表面氣流流速比機翼下表面流速小，造成機翼上表面的壓力比下表面的壓力小，造成壓力差從而產生升力使飛機克服地球引力，達到飛行的目的。

3.3 紙飛機受力原理

（1）動力來源：紙飛機屬于無動力滑行的飛行方式，它只能依靠被拋出時所受的瞬間推力，上升到一定高度時依靠自身重力向前滑行。（2）阻力原理：阻力來源于空氣對機身的摩擦力，為增進飛行效率，紙飛機在設計應盡量接近流線型，以減少阻力。（3）升力原理：升力來源于紙飛機的機翼與空氣接觸。其中影響升力的因素：空氣浮力：流體對物體的浮力是由上下壓力差而產生，相對于紙飛機來說，壓力差不大（紙飛機機翼很薄，機翼的上、下面與空氣的接觸面幾乎在同一高度），因此假設可忽略不計。（4）牛頓第三定律（作用力與反作用力定律）：對紙飛機的機翼做受力分析：拋出紙飛機時，一般都會與水平面成一定的夾角，斜向上投擲。此時機身與水平線的水平線的夾角稱為攻角。空氣會給紙飛機一個垂直于機翼的的力量，相對的機翼也會給空氣一個反作用力，這個力量的垂直分力即為飛機的升力，水平分力成為阻力的一部分。

3.4 紙飛機的受力分析

結論：當拋出角度為45度時，紙飛機的升力達到最大值，所以，拋出角為45度時，飛行距離會提高。

4 總結

紙飛機的投擲方法：最佳投出角度約45°左右，選擇最佳的紙飛機結構以及合適的投擲角度是紙飛機飛的高，飛得遠的關鍵因素。

參考文獻：

[1]賈躍華.紙飛機的原理.百度文庫，2019-4-19.

[2]李煒璇.紙飛機.校園文范，2003.

作者簡介：董曉紅（1983-），女，內蒙古包頭人，理學碩士，講師，主要從事高等數學的教學與研究工作。