壓電微動平臺的極點配置PID控制

周鵬飛，崔玉國，惠相君，汪家樂，孫靖康

(寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波 315211)

0 引言

微動平臺是一種能夠實現亞毫米級運動行程、納米級分辨率的微位移機構。在精密與超精密測量中，它可用于對傳感器進行精密位置調節[1-2]；在微機電系統(MEMS)裝配中，它可實現微零件的裝配[3-4]。壓電微動平臺通過壓電執行器驅動其彈性機構來產生微位移及傳遞力，其具有體積小，輸出力大和定位精度高等優點，比采用其他驅動形式的微動平臺更具優勢。

由于壓電微動平臺系統具有遲滯非線性，需要對其進行控制以提高位移輸出精度，目前常用的控制方法有前饋控制，比例、積分、微分(PID)控制，魯棒控制，自適應控制及復合控制等。Ming等[5]采用基于改進Bouc-Wen模型的前饋控制，對壓電微動平臺進行正弦波軌跡跟蹤，跟蹤誤差達到0.68%。Lee等[6]采用PID對壓電微動平臺進行控制，在跟蹤幅值為10 μm的正弦軌跡時，跟蹤誤差為50 nm。Edardar[7]采用模型參考自適應控制對壓電微動平臺進行軌跡跟蹤，使平臺在跟蹤幅值為25 μm的三角波時，最大跟蹤誤差為0.55 μm。張棟等[8]采用基于自適應神經網絡的PID控制，使平臺在跟蹤幅值為25 μm的正弦波時，平均誤差為0.80 μm。周淼磊等[9]采用神經網絡控制與專家模糊控制的復合控制方法，在對平臺進行任意輸入跟蹤時，最大跟蹤誤差達到0.26%。于志亮等[10]采用PI模型與增量式PID控制算法結合的復合控制，使壓電微動平臺跟蹤在 100 Hz正弦曲線時，跟蹤誤差≤0.59%。

在上述控制方法中，作為開環控制的前饋控制算法簡單，成本低，但其控制效果過于依賴模型精度；作為閉環控制的PID控制、最優控制、魯棒控制、自適應控制可使壓電微動平臺的遲滯誤差接近于0，但需要精密的傳感器。復合控制是結合前饋控制和閉環控制的控制方法，可進一步提高平臺的定位控制精度，但比單一的控制算法復雜。其中，PID控制在工程實際中工作可靠，便于調整，且不依賴被控對象精確的數學模型，但現有的PID參數整定方法都是基于經驗或試湊設計，這些設計方法參數選擇耗時且較粗略。

基于極點配置的PID控制器參數整定方法，可使PID參數與系統性能指標相聯系，具有快捷、準確的優點。本文采用該方法設計壓電微動平臺的PID控制器，對平臺進行控制，以提高其定位精度。

1 平臺系統動力學建模

平臺系統包括壓電執行器和微動平臺。首先通過對壓電執行器建立并辨識其數學模型，進而在對平臺進行受力分析、運動分析的基礎上，建立并辨識平臺系統的動力學模型。

1.1 壓電執行器建模

壓電執行器主要在靜態或低頻情況下工作，在電學上可以等效為電容和絕緣電阻的并聯。圖1為壓電執行器的等效電路。在考慮驅動電源內阻Ro遠小于壓電執行器內阻Rp的情況下，可得

(1)

式中：τ=RoCp為時間常數；U(s)、Uo(s)分別為電源控制電壓u(t)、驅動電壓uo(t)的拉式變換；a為驅動電源放大倍數。

圖1 壓電執行器的等效電路

在uo(t)作用下，當壓電執行器兩端被完全固定時，其輸出位移將全部轉化為壓電執行器輸出力fp(t)，故可得

(2)

式中：n為壓電執行器層數；d33為壓電應變常數；kp為壓電執行器的剛度；Fp(s)為fp(t)的拉式變換。

由式(1)、(2)可得壓電執行器的傳遞函數為

(3)

給空載壓電執行器施加階躍電壓，便可辨識出nd33a及τ。已知式(3)中kp=60 N/μm，故u(t)到fp(t)的傳遞函數為

(4)

1.2 平臺建模

壓電執行器對平臺的作用力f(t)與壓電執行器的空載位移δ0(t)、壓電執行器驅動平臺時的輸出位移δ(t)之間的關系為

f(t)=kp[δ0(t)-δ(t)]=fp(t)-kpδ(t)

(5)

根據式(5)，同時考慮壓電執行器的阻尼，可得平臺沿x(或y)方向的質量-彈簧-阻尼模型(見圖2)。

圖2 平臺的等效模型

根據圖2可得δ(t)與fp(t)之間的傳遞函數為

(6)

其中

(7)

(8)

式中：Δ(s)為δ(t)的拉式變換；ωn,ξ分別為平臺的固有頻率、阻尼比;mb、cb、kb分別為平臺的運動質量、阻尼、剛度;mp、cp、kp分別為壓電執行器的質量、阻尼、剛度。

在通過給平臺施加力測得其kb，通過脈沖響應法測得平臺的ωn，通過半功率法測得ξ的情況下，可得微動平臺的作用力與輸出位移之間的傳遞函數為

(9)

1.3 平臺系統動力學模型

由式(4)、(9)可得平臺系統的傳遞函數為

(10)

2 平臺PID反饋控制

2.1 PID控制原理

PID控制通過對偏差的PID的線性組合實現對被控對象的控制。離散PID控制律為

(11)

式中：KP為比例增益；TI為積分時間常數；TD為微分時間常數；k、k-1分別為采樣時刻kT、(k-1)T的簡寫；T為采樣周期；u(k)為k時刻PID控制器的輸出；e(k)、e(k-1)分別為k、k-1時刻的偏差。

為使PID控制過程占用內存小，耗時短，將式(11)中的k換成k-1，然后再同式(11)相減，可得具有遞推關系的PID表達式為

u(k)=u(k-1)+g0e(k)+g1e(k-1)+

g2e(k-2)

(12)

其中

g0=KP(1+T/TI+TD/T)

(13)

g1=-KP(1+2TD/T)

(14)

g2=KPTD/T

(15)

對式(12)進行z變換，得到有遞推關系的PID控制器的z傳遞函數為

(16)

2.2 平臺PID控制器設計

由式(10)可求得平臺模型的3個開環極點，如圖3所示。圖中，P01為壓電執行器模型的實數極點，P02、P03為平臺模型的兩個共軛極點。這3個極點都處于虛軸左側，由此可知系統穩定。平臺為二階振蕩環節，其模型的兩個共軛極點離虛軸較近，使得系統的開環阻尼效應較弱，導致可動部分振動持續時間較長。由此可見，需對平臺模型的兩個共軛極點進行重新配置。

圖3 平臺模型的極點分布圖

式(10)可進一步可表示為

A(z-1)δ(k)=z-2B(z-1)u(k)

(17)

其中

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2

(18)

B(z-1)=b0

(19)

a1=2ξωn-2

(20)

(21)

(22)

式(16)可進一步表示為

P(z-1)u(k)=G(z-1)δr(k)-G(z-1)δ(k)

(23)

其中

P(z-1)=1-z-1

(24)

G(z-1)=g0+g1z-1+g2z-2

(25)

式(23)是極點配置控制器方程，其結構框圖如圖4所示。

圖4 平臺控制系統的構成框圖

將式(23)代入式(17)，可得：

[A(z-1)P(z-1)+z-2B(z-1)G(z-1)]δ(k)=

z-2B(z-1)G(z-1)δr(k)

(26)

設閉環特征多項式為Q(z-1)，Q(z-1)的零點就是理想的閉環極點，于是：

A(z-1)P(z-1)+z-2B(z-1)G(z-1)=Q(z-1)

(27)

根據極點的配置原理，式(27)中的P(z-1)必須滿足P(1)=0，G(z-1)必須是z-1的二次多項式。因此，G(z-1)可由式(25)確定，而P(z-1)為

P(z-1)=(1-z-1)(1+p1z-1)

(28)

式中：(1+p1z-1)可看作是濾波器；p1為待定濾波器系數。

將式(18)、(19)、(25)、(28)代入式(27)，可得：

(1+a1z-1+a2z-2)(1-z-1)(1+p1z-1)+

z-2b0(g0+g1z-1+g2z-2)=

q0+q1z-1+…+qnz-n

(29)

因為平臺為二階振蕩環節，故本文選擇n=2。式(29)中，q0=1，通過極點配置可確定q1、q2。如圖5所示，如果保持平臺極點的虛部不變，將其實部沿著實軸方向平移，就能將所期望的閉環系統極點以最短的距離最大程度地遠離虛軸。本文將系統閉環阻尼比取為1，根據圖5所示的極點配置法，平臺的閉環極點如表1所示。

圖5 復平面內的極點配置

表1 平臺極點配置表

當平臺的閉環極點確定后，式(29)中的q1、q2可由下式求得：

q1=-2eRpdTcos(IpdT)

(30)

q2=e2RpdT

(31)

式中Rpd,Ipd分別為閉環極點的實部、虛部。

求得q1、q2后，由式(28)可求解出p1、g0、g1、g2，進而將式(25)、(28)代入式(23)可得：

u(k)=(1-p1)u(k-1)+p1u(k-2)+

(g0+g1z-1+g2z-2)e(k)

(32)

3 實驗驗證

3.1 平臺位移測試系統

圖6為壓電微動平臺位移測試實驗系統。它由計算機、數據采集卡、驅動電源、壓電執行器、微動平臺及電渦流位移傳感器構成。

圖6 平臺位移測試實驗系統

3.2 控制實驗結果

3.2.1 階躍輸入

圖7為平臺在所設計的PID控制器作用下對階躍輸入的響應。由圖可知，平臺的響應時間為0.23 s，響應無振蕩，若忽略位移傳感器噪聲，平臺實際位移相對于參考位移的穩態誤差幾乎為0。

圖7 PID控制作用下的階躍響應

3.2.2 三角波輸入

圖8為平臺在所設計的PID控制器作用下對變幅值三角波輸入的響應。由圖可知，即使在變幅值三角波輸入下，若忽略位移傳感器噪聲，平臺實際位移與參考位移的誤差也幾乎為0。

圖8 PID控制作用下的三角波響應

4 結束語

基于所建立的壓電微動平臺系統的動力學模型，采用極點配置法對平臺的PID反饋控制器進行設計，使PID參數與系統性能指標相聯系，實現了控制器參數的有效整定，避免了基于經驗法或試湊法的PID參數整定耗時的缺點。

控制實驗結果表明，所設計的平臺PID控制器能使平臺具有較快的響應速度，且能完全消除平臺的定位誤差。壓電微動平臺在跟蹤幅值為5 μm的階躍位移時，平臺的響應時間為0.23 s；在跟蹤最大幅值為15 μm的變幅值三角波時，跟蹤誤差幾乎為0。