看我“七十二變”
——勾股定理面積問題

文 張曉東

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪實驗中學(xué)）

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿了魅力。千百年來，各行各業(yè)的愛好者們對它的研究從未間斷，有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通老百姓，甚至有國家元首。勾股定理反映的是直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系，可以用于解決直角三角形邊長問題。在古今中外對勾股定理的證明方法研究中，常見的是拼圖法，即采用圖形的面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系，通過相互轉(zhuǎn)化來證明。所以在勾股定理問題中，有很多是和圖形面積相關(guān)的問題。下面就幾個面積問題和同學(xué)們進行“頭腦風(fēng)暴”。

例1 4個全等的直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c。現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖1所示的圖形，利用這個圖形可以驗證勾股定理。你能說明其中的道理嗎？請試一試。

圖1

【分析】對整個圖形的面積可以用兩種方法進行計算：大正方形AHEM的面積加上兩個直角三角形ABH、HDE的面積；兩個正方形ABCG、CDEF的面積加上兩個直角三角形AGM、MFE的面積。然后列成等式進行整理即可得證。

解：圖形的總面積可以表示為c2+2×ab=c2+ab；也可以表示為a2+b2+2×ab=a2+b2+ab，所以，c2+ab=a2+b2+ab，所以a2+b2=c2。

例2 如圖2，字母B所代表的正方形的面積是多少？

圖2

【分析】由題可知，在直角三角形中，斜邊的平方為169，一直角邊的平方為25，根據(jù)勾股定理知另一直角邊的平方=169-25=144，即為B所代表的正方形的面積。

解：B的面積=169-25=144。

【拓展變化】解決本題的知識點是勾股定理，著重考查了同學(xué)們應(yīng)對知識遷移的能力。本題可拓展變化成下列兩個問題：

變式一：圖3是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，求最大正方形E的面積。

圖3

【分析】根據(jù)勾股定理知識很容易得到正方形E的面積等于A、B、C、D四塊正方形面積之和47。

變式二：已知，如圖4，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形。若斜邊AB=3，求圖中陰影部分的面積。

圖4

【分析】先用直角三角形的邊長表示出陰影部分面積S陰影=S△AHC+S△BFC+S△AEB

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的平方關(guān)系。而對于一些與面積有關(guān)的問題，運用勾股定理尋找到它們之間的關(guān)系，求解會更加方便、快捷。