循序漸進(jìn) 由簡到繁

文江美紅

（作者單位：江蘇省太倉市實驗中學(xué)）

勾股定理神秘而美妙，證法繁多，其中以“面積法”證明居多。國內(nèi)外數(shù)學(xué)家們?yōu)榱俗C明定理創(chuàng)造了很多幾何圖形，比較著名的圖形有趙爽弦圖、畢達(dá)哥拉斯圖、劉徽證法圖等。近幾年的中考中也出現(xiàn)了對這類圖形的考查，本文圍繞幾個基本圖形選取一些中考題作簡要講解，希望對同學(xué)們能有所幫助。

一、趙爽弦圖

例1 （2019·邵陽）公元3世紀(jì)初，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”。如圖1，設(shè)勾a=6，弦c=10，則小正方形ABCD的面積是_______。

【解析】題中由勾a=6，弦c=10，利用勾股定理可得股為，因此小正方形的邊長為8-6=2，小正方形的面積為22=4，故答案是4。

【點評】本題主要考查了勾股定理，全等三角形、正方形的性質(zhì)，弄清組成“趙爽弦圖”各個圖形之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。

圖1

例2 （2019·大慶）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖2所示）。如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊長分別為 a、b，那么（a-b）2的值是______。

圖2

【解析】由勾股定理得，a2+b2=13，直角三角形面積為（13-1）÷4=3，即，得ab=6，所以（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1。

【點評】本題主要考查勾股定理、完全平方公式。由題意得到關(guān)于a、b的二元二次方程組，在此不必解出a、b的值，利用整體思想求出（a-b）2即可。這里我們可以體會到整體思想的優(yōu)越性。

二、畢達(dá)哥拉斯圖

例3 （2019·寧波）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載。如圖3，以直角三角形的各邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖4的方式放置在最大正方形內(nèi)。若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（ ）。

A.直角三角形的面積

B.最大正方形的面積

C.較小兩個正方形重疊部分的面積

D.最大正方形與直角三角形的面積和

圖3

圖4

【解析】由勾股定理可知，圖3中兩個小正方形面積和等于大正方形面積。設(shè)圖中三個正方形邊長從小到大依次為a、b、c，如圖5，則S陰影=c2-a2-b2+S重疊，由勾股定理可知，c2=a2+b2，所以S陰影=S重疊，故選C。

【點評】本題利用勾股定理知識解決陰影部分的面積問題，因疊合過程中出現(xiàn)重疊部分，所以本題的難點是用三個正方形邊長表示出圖中陰影部分的面積。

三、劉徽圖

例4 （2018·溫州）我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式。后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理。如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（ ）。

圖5

圖6

圖7

【解析】本題欲求矩形的面積，只需求出小正方形的邊長即可。如圖7，設(shè)小正方形的邊長為x，則AC=3+x，BC=4+x。在Rt△ABC中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程（3+x）2+（4+x）2=72，整理得：x2+7x-12=0，而長方形的面積為x2+7x+12=12+12=24，∴該矩形的面積為24，故選B。

【點評】本題考查勾股定理的證明及應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用。在融合數(shù)學(xué)文化的同時，注重整體思想和數(shù)形結(jié)合等思想方法。

以上問題的出現(xiàn)，是近幾年中考數(shù)學(xué)卷的一大特色。它們依托數(shù)學(xué)文化，關(guān)注核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價值。在學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們要提升在新技術(shù)情境下理解知識并將這些知識遷移到不同情境中的能力。