掛鉤單一標的的自動敲入敲出期權結構的定價研究

潘琪

摘 要：研究雙障礙期權定價問題，主要是在雙常數敲出邊界的期權定價的基礎上，研究上敲出邊界是常數，下敲入邊界是一個偏微分方程形式的隨時間變化的不定邊界的奇異期權的定價問題，提出解決該種期權的定價模型。該種期權是當前利用期權規避風險的行之有效的方法，能夠有效的應對市場價格的波動。

關鍵詞：雙障礙期權;敲入敲出;偏微分方程;Black-Scholes模型

中圖分類號：F23 文獻標識碼：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.34.052

0 引言

全球金融市場快速發展，投資者對沖風險和套期保值的需求日益增長，各種金融衍生產品應運而生。期權作為金融衍生產品的一種，受到投資者的青睞。障礙期權是指在其生效過程中受到一定限制的期權，其目的是把投資者的收益或者損失控制在一定范圍之內。一般關于障礙期權的討論往往只涉及比較簡單的情況，即期權障礙是恒定不變的。但期權障礙是會隨時間而變化的，在此情況下的障礙期權的定價則是金融研究的關鍵問題。障礙期權一般分為兩類，即敲入期權和敲出期權。在市場利率波動的情況下，例如對于一個看漲的標的物，投資者購買現貨可能要承擔標的物價格下降的風險，為了規避這種風險，投資者更傾向于選擇支付手續費購買看漲期權產品。

1 模型定價

Black，Scholes[1]和Merton[2]創造性地提出了Black-Scholes 模型。該模型是期權定價理論的重要內容之一，是金融工程研究的基礎。他們在期權定價模型方面基礎性的工作促進了衍生產品的開發和研究，使金融工程得到飛躍的發展。

1.1 Black-Scholes期權定價公式

Black-Scholes的期權定價理論假設條件如下：（1）標的資產價格變動比例遵循一般化的維納過程，該假定等價于標的資產價格服從對數正態分布;（2）允許使用全部所得賣空衍生資產;（3）沒有交易費用和稅收;（4）不存在無風險套利機會;（5）無風險利率為常數且對所有到期日都相同。

St表示標的資產在時刻t的價格;K表示期權的敲定價格;T表示期權的到期日;t表示目前期權所處的時刻，τ=T-t表示期權的有效時間;B（τ）=Be-γT表示障礙水平，其中B，γ為常數，B（τ）隨τ的改變而呈指數改變。

其中，N（x）表示標準正態分布N（0，1）的概率值;假設股票的連續收益滿足布朗運動Wt（布朗運動：獨立平穩增量的隨機過程，每個區間上的增量滿足正態分布。即股票價格滿足幾何布朗運動。）但是Black-Scholes 模型在實際應用中存在著許多局限性，例如：利率和波動率都是不隨時間變化的常數，這和現實相差較大。

1.2 Black-Scholes微分方程

資產價格滿足如下隨機微分方程：

V代表期權的價格，S代表股票現價，Δ表示購買股票的份額，r表示無風險利率，Bt表示一維布朗運動，μ表示期望回報率，σ表示波動率，μ和σ是常數。在t時刻構造Π=V-ΔS的投資組合。

1.3 障礙期權定價

障礙期權分為如下八種情況：

期權價格滿足的偏微分方程其實是普通障礙期權的定價問題，可歸結為一個求解拋物型偏微分方程的問題。在定解范圍內，所有的障礙期權都滿足B-S方程：

（1）產品的期限為12個月：每個月的敲出觀察日，如果中證500指數價格高過敲出界限100%，產品提前結束，客戶收取票息（年化14%）。

（2）如果產品到期日還沒有敲出，現金流會是如下兩種情況：

①產品周期內沒有敲入（中證500指數沒有低過86%），客戶收取紅利票息14%。

②產品周期內發生敲入事件（中證500價格曾低過86%），客戶出現虧損：

（1-期末價格/期初價格）*本金

定價假設：中證500期初價格=4000;利率=0;分紅率=0;Flat vol surface=11%;中證500指數遵循指數正態過程。

將各指標代入上文的求解過程，用Python求解可得如圖1結果。

三維坐標分別表示該產品結構的定價、票息和時間。本文將該障礙期權看成下降敲入期權和上升敲出期權的組合，分開求解繪制成如上的價格過程。

產品化結構已經變得越來越流行，而這些產品可以分化成障礙期權的組合形式，其中心思想是小概率事件的應用，以保障金融市場中買賣雙方的利益，為風險厭惡者規避風險。

參考文獻

[1]Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，（81）：637-654.

[2]Merton R.The theory of rational option pricing[J].The Bell Journal of Economic Management Science，1973，（4）：141-183.

[3]Hull J，White A.The pricing of options on assets with stochastic volatilities[J].Journal of Finance，1987，（42）：281-300.

[4]劉國買，鄒捷中.雙邊敲出障礙期權的定價模型[J].經濟數學，2003，20（04）：31-37.