1種軟軸推拉鋼索運動關系的建模分析方法

鄭偉連，張讓威

（中國航發沈陽發動機研究所，沈陽110015）

0 引言

在航空發動機結構設計中，運動關系的傳遞除齒輪傳動、連桿傳動和鏈條傳動等結構形式外，軟軸推拉鋼索結構也得到了廣泛應用。馮春玲等對軟軸鋼索的研制過程和關鍵技術開展了研究[1-3]。石曉龍對復材飛機操縱鋼索的設計和應用進行了論述，總結性的提出了軟式鋼索操縱的設計步驟[4]。楊春寧等在利用等效動態模型法建立某型飛機機械式操縱系統完整的數學模型時，采用硬式傳動機構的建模處理方法對軟式鋼索進行等效處理[5]。金忠慶[6-9]等開展了對鋼絲繩傳動機構的分析與實驗研究。但是，目前對軟軸推拉鋼索運動傳遞關系尚未建立有效的數學模型，基于軟軸推拉鋼索的運動關系傳遞函數的設計還停留在試驗仿真模擬階段。

本文通過對軟軸推拉鋼索結構的簡化，建立軟軸推拉鋼索運動關系傳遞模型。基于該模型對發動機中采用軟軸推拉鋼索實現運動關系傳遞的主燃油泵調節器和高壓壓氣機靜子可調葉片角度反饋機構進行了建模，得到運動關系傳遞函數并進行了優化設計，驗證了本文方法的有效性。

1 軟軸推拉鋼索的建模

軟軸推拉鋼索結構由內心鋼絲繩、復合外套、導向桿、螺母等組成，具體結構如圖1所示。內芯鋼絲繩在復合套管中的推拉運動傳遞運動關系，通過螺母將軟軸推拉鋼索兩端固定在發動機外廓機匣上，導向桿可以繞螺母存在16°的偏轉角。

圖1 軟軸推拉鋼索結構

軟軸推拉鋼索在航空發動機運動關系的傳遞中具有以下優勢：

（1）可靠性較高。軟軸推拉鋼索結構相對簡單，能夠滿足航空發動機高可靠性的要求；

（2）體積小、質量輕。1根長度1700 mm的軟軸推拉鋼索質量不大于0.5 kg；

（3）能夠適應發動機的復雜外廓。軟軸推拉鋼索柔性，能夠滿足發動機曲面弧形外廓的特點，占用空間小。

簡化后的軟軸推拉鋼索如圖2所示。軟軸推拉鋼索由狀態1變成狀態2，內芯鋼絲繩在套管中相對兩側固定點運動。由于內芯鋼絲繩和套管之間存在間隙，在往復拖動鋼索時，拖動初期存在響應遲滯現象，即存在“空行程”ξ1。同時考慮內芯鋼絲繩拉伸彈性，在拖動力的作用下彈性變形量為ξ2。將鋼索的“空行程”和彈性變形引起的位移行程偏差統一定義為“空行程”:ξ=ξ1+ξ2。則內芯鋼絲繩右端串動量L1和左端串動量L2滿足：L1=L2+ξ。同時導向桿能夠繞鋼索固定點擺動，保證軟軸推拉鋼索能夠傳遞角度運動關系。因此軟軸推拉鋼索運動傳遞關系模型為

圖2 軟軸推拉鋼索運動模型

式中：△L1和△L2均為鋼索的位移絕對值。

2 軟軸推拉鋼索建模應用

在某型航空發動機中，主燃油泵調節器（以下簡稱主泵）將高壓壓氣機靜子可調葉片角度α2作為發動機控制的輸入參數之一[10-12]。通過軟軸推拉鋼索及連桿機構實現主泵搖臂旋轉角度和α2作動筒搖臂旋轉角度關系的傳遞，將α2反饋給主泵。結構形式如圖3、4所示，簡化后的反饋調節機構如圖5所示。

圖3 主燃油泵控制器搖臂結構

圖4 α2作動筒搖臂結構

圖5 簡化后的a2角位移反饋機構

在圖 5 中：L11=40 mm，L12=210 mm，a1的初始角度為 60°（可調），轉動角度范圍為 30°；L22=190 mm，a2的初始角度為50°，轉動角度范圍為45°。在反饋機構安裝過程中，通過調節L21的長度保證a1和a2的角度范圍關系相互協調，即當 a1=60°時，a2=50°；當 a1轉動30°后，a1=60°-30°=30°時，a2=50°+45°=95°。

設主泵搖臂擺動角度為 y，0＜y＜30°，則搖臂擺動過程中L13的伸長量為

△L13隨主泵搖臂轉動的變化曲線如圖6所示。

從圖中可見，△L13單調增加，求出最大的△L13Max=16.64 mm。依據軟軸推拉鋼索運動關系的傳遞特點：△L13=△L23+ξ，求出此時L23的長度

該型軟軸推拉鋼索的產品說明書中描述其“空行程”不大于1 mm，本文取“空行程”ξ=1mm 。求得 L21＝20.87 mm。

為了使L11的轉動范圍（0～30°）和L21的轉動范圍（0～45°）一致，主泵搖臂初始角度α1和α2作動機構搖臂長度L21之間的關系曲線如圖7所示，并應滿足

圖6 △L13隨主泵搖臂轉動的變化曲線

圖7 a1和L21約束關系曲線

從圖中曲線可以得出：在滿足搖臂擺動角度行程協調的情況下，α2作動筒搖臂的長度存在1個極大值。

主泵搖臂和α2作動筒搖臂角度關系的傳遞通過軟軸推拉鋼索實現。基于第1章的建模，得到鋼索兩端的移動量分別為

當正向拖動鋼索時（正行程），滿足

當反向拖動鋼索時（反行程），滿足

當忽略鋼索空行程時，滿足

主泵搖臂角度α1和α2作動筒搖臂角度α2運動關系曲線如圖8所示。

由于“空行程”的存在，導致“理論曲線”發生平行偏移，即主泵搖臂角度α1和α2作動筒搖臂角度α2對應關系點在2條“曲線帶”內。

將發動機理論計算得到的α1和α2關系曲線和發動機實際裝配過程中排除“空行程”后測得的a1和a2關系數據點進行對比，結果見表1，并如圖9所示。從圖中可見，理論計算關系曲線和實際測量結果接近，偏差小于3%，證明了建模方法的合理性和建模結果的有效性。

圖8 a1和a2理論關系曲線

圖9 a1和a2理論關系曲線和實測值對比

表1 a1和a2關系實測數據 （°）

3 關系曲線的優化設計

第2章中得到的a1的a2理論關系曲線為1個非線性的函數關系。在工程實際中，為了對發動機的控制規律進行現場掌握和調節，需要根據主泵搖臂角度a1的讀數計算a2角度。由于a1的a2理論關系曲線的非線性給計算帶來了困難，發動機試車人員通過現場作圖描點的方法確定a1的a2對應關系，存在準確性差、效率低的問題。

為了降低發動機試車現場試車人員的工作難度，有必要對a1和a2的理論關系曲線進行優化，得到近似線性形式的關系曲線函數。

定義理想的1階線性函數為

式中：a、b為線性函數系數。

由于a1和a2角度關系分別滿足其角度行程范圍，即當 a1=60°時，a2=50°；當 a1=30°時，a2=95°。即理想線性函數通過點（50，60）和點（95，30）。因此得到理想線性函數

通過對a1初始角度和L21進行優化，得到最優的a1和L21組合，使得a1和a2的關系曲線近似于式（11）的直線形式。

同時還必須保證a1和a2的轉動范圍協調一致，即需要滿足式（4）規定的a1和L21約束關系。

理論關系曲線的隱函數表達式為

式中：a0為a1的初始角度。

a0和L21為優化變量。由于“空行程”僅會引起a1和a2關系曲線平移，不影響其線型，此處未考慮“空行程”對關系曲線的影響。

定義優化目標函數為

式中：y1為a1和a2理論關系曲線隱函數（式（12））；y2為理想線性函數（式（11））。

為使得優化曲線y1和理想線性曲線y2更加“貼合”，定義優化目標為陰影部分的面積最小，如圖10所示。即求出最優的主泵搖臂的初始角度a0和a2作動筒搖臂長度L21使得a1和a2理論關系趨近如式（11）所示的直線形式。

同時優化變量a0和L21還必須滿足如下約束關系

以上優化問題為1個包含約束的非線性優化問題。

共軛梯度法是介于最速下降法與牛頓法之間的1個方法，克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣并求逆的缺點，是解決非線性最優化問題最有效的算法之一[13-15]。采用共軛梯度法對以上問題進行優化計算，得出優化結果為：a0=62.3°，L21=22.88 mm。a1和 a2理論關系曲線優化前、后的結果對比如圖11所示。在發動機總裝安裝推拉反饋鋼索時，保證主泵搖臂初始角a0=62.3°，α2作動筒搖臂長度L21=22.88 mm，測量a1和a2關系數據實測值。將實際測量結果和式（11）的理想線性函數進行對比，如圖12所示。實際測量結果和理想線性函數的誤差小于1%，達到了優化的目標。

圖11 優化后的a1和a2理論關系曲線

圖12 優化后關系曲線和實測結果對比

4 結論

本文對軟軸推拉鋼索運動的傳遞關系建立了模型，并通過航空發動機上的應用實例對建模進行了驗證，得出結論如下：

（1）基于軟軸推拉鋼索位移絕對值構建的運動關系傳遞模型能夠準確地描述軟軸推拉鋼索的運動關系；

（2）通過對航空發動機α2反饋調節機構模型的構建和運動關系的優化設計，表明本方法切實可行；

（3）通過對發動機主泵搖臂初始角度和α2作動機構搖臂長度的調節可以將α2關系曲線變成直線。