濾波算法的比較及仿真

岳海燕，姚 紅，周遵四

（中國兵器裝備集團（成都）火控技術中心 ，四川 成都 611731）

濾波算法的比較及仿真

岳海燕，姚 紅，周遵四

（中國兵器裝備集團（成都）火控技術中心 ，四川 成都 611731）

文章對雷達系統中常用的卡爾曼濾波、最小二乘濾波算法進行了簡單介紹和比較。分別應用算法進行預測，并使用MATLAB對預測得到的數據進行仿真。

卡爾曼濾波；最小二乘濾波；預測

1 雷達數據處理概述

雷達數據處理包括雷達測量數據的濾波、平滑、預測等，這些處理可以有效地抑制測量過程中引入的隨機誤差，精確估計目標位置和有關的運動參數，預測目標下一時刻的位置，實現對目標的高精度實時跟蹤。最早的雷達數據處理方法是在19世紀初葉，高斯提出的最小二乘法。1975年，高斯首次運用最小二乘法預測神谷星軌道，開創了用數學方法處理觀測和實驗數據的科學領域。20世紀60年代以后，隨著數字技術和估計理論的發展，卡爾曼等人將狀態變量分析方法引入濾波理論中，得到了最小均方誤差估計問題的時域解。卡爾曼濾波理論可用于非平穩和多變量的場合，而且卡爾曼濾波具有遞推結構，因此特別適合于計算機解算。由于這些原因，卡爾曼濾波已經成為數據處理的主要技術。本文重點介紹卡爾曼濾波和最小二乘濾波對線性系統下的基本濾波方法，同時完成數據的仿真、預測。

2 卡爾曼濾波及仿真

本文所采用的數據，其先驗統計特性一無所知，數據機動性較強，無規律。卡爾曼濾波是一種遞推式的濾波器，由維納濾波演變而來。它不僅適用于實時的預測與濾波，而且特別適合于在數字計算機上實現，計算量小，實時性強。同時可用于線性時變系統，其統計模型是狀態方程和觀測方程。

（1）狀態方程。

式中：W(K)表示白噪聲矢量，T表示數據間隔周期。（2）觀測方程。

（c）濾波方程組。

式中：Q(K)表示系統噪聲協方差矩陣；R(K)表示觀測協方差矩陣；起始條件：X0(0)=X0。

3 最小二乘濾波及仿真

本文分別采用三階多項式和二階多項式對上述數據進行濾波，并將其結果進行比較。綜合比較結果，發現二階多項式濾波效果較好。最小二乘濾波算法如下：

其中D是俯仰角，q是方位角。

先求俯仰角，先給出n對已知測量值(Di，ti)，要求確定參數D0，a，b的值，用最小二乘法，使

解此線性方程，即可求的D0，a，b，從而得到俯仰角的方程。同樣的方法可求得方位角的方程。在算法中，采用初始點多點的滑窗處理方式計算二階多項式參數。根據所求多項式系數進行預測。其中，初始點為5個點的滑窗處理方式，效果最好。

4 濾波方法比較

卡爾曼濾波為線性時變系統的一種線性無偏最小均方誤差估計，它具有時變結構，因此適用于非平穩過程。當先驗統計特性一無所知時或在對數據處理精度要求不高或者數據處理量較大的情況下，一般采用最小二乘濾波，最小二乘濾波的優點是運算量小，容易實現。而若知道了動態噪聲和觀測誤差的統計特性則可采用估計精度較高的卡爾曼濾波。卡爾曼濾波具有較強的適應能力，又適于實時處理。因此它優于其他濾波方法。

卡爾曼預測結果如圖1所示，最小二乘預測結果如圖2所示。

圖1 卡爾曼預測結果

其中，卡爾曼預測值與真實值差值的平均值：0.076 493；預測值與真實值差值的最大值：0.874 447；預測值與真實值差值的均方差：0.250 849；而最小二乘法預測值與真實值差值的平均值：0.001 157；預測值與真實值差值的最大值：0.433 086；預測值與真實值差值的均方差：0.016 943。

盡管卡爾曼濾波在理論上是比較完善的，從仿真結果來看將它應用于實際數據的預測，還有很多問題要解決，其中主要是濾波的數學模型、實時能力和數值發散問題。卡爾曼濾波只有在其數學模型確知的條件下才是最佳的。但是在實際預測問題中，要精確建立濾波模型是相當困難的。在濾波模型與實際過程的模型不匹配時，會使濾波精度下降，在本文卡爾曼濾波應用過程中，就誤差而言，最小二乘較好。

圖2 最小二乘預測結果

5 結語

當仿真數據的一些先驗統計特性一無所知時采用滑窗處理方式的最小二乘濾波，預測效果較好。而卡爾曼濾波平滑性較好。在進行預測時，上述卡爾曼濾波數學模型還需要進一步改善，首先要根據數據的特性來確定初始狀態估計、初始協方差、確定過程噪聲和觀測噪聲的統計特性，這樣才能提高卡爾曼濾波的精度。

[1]苗興國.現代雷達系統的數據處理[J].現代雷達，1980（3）：32-47，58.

[2]孫仲康.雷達數據數字處理[M].北京：國防工業出版社，1983.

[3]法里納，施圖德.雷達數據處理[M].匡永勝，譯.北京：國防工業出版社，1988.

[4]何友，修建娟，張晶煒，等.雷達數據處理及應用[M].北京：電子工業出版社，2006.

Comparison and simulation of fi ltering algorithm

Yue Haiyan, Yao Hong, Zhou Zunsi
（China Ordnance Equipment Group (Chengdu) Fire Control Technology Center, Chengdu 611731, China）

This paper briefly introduces and compares Kalman fi ltering and the least-square fi ltering algorithm.Two algorithms are used to predict separately, and MATLAB is used to simulate the predicted data.

Kalman fi ltering; least-square fi ltering; predict

岳海燕（1984— ），女，河南濮陽，碩士，工程師；研究方向：軟件設計。