非線性中立型多變時滯積分微分方程解的存在性及漸近穩定性

黃明輝，劉 君

(廣州城建職業學院 數學教研室， 廣東 廣州 510925)

Lyapunov方法是研究微分方程穩定性常用的方法。然而，在研究具有時滯的微分方程零解穩定性時，Lyapunov方法就會遇到很多困難，比如要求時滯有界等。為了克服Lyapunov方法的局限性，Ardjouni[1-5]、Jin[6-7]等學者利用不動點理論研究了時滯微分方程零解的漸近穩定性，并取得了一系列的研究成果[1-13]。文獻[1]利用不動點理論，研究了線性中立型多變時滯微分方程

(1)

零解的漸近穩定性。文獻[2]利用不動點理論，研究了非線性中立型變時滯積分微分方程

(2)

零解的漸近穩定性。然而，上述結果的條件非常嚴格，要求c可微且τ二次可微，τ′(t)≠1，t∈[0，+∞)。受此啟發，本文考慮以下非線性中立型多變時滯積分微分方程

(3)

零解的漸近穩定性及初始條件x(t)=Ψ(t)∈C([m(t0)，t0]，R)，對任意t0≥0，有

mj(t0)=inf{t-τj(t)，t0≥0}，

m(t0)=min{mj(t0)，1≤j≤N}。

為了給出本文結果，對方程(3)作出以下假設：

(H1)aj∈C(R+×[m(t0)，+∞)，R)，bj∈C(R+，R)，τj∈C(R+，R+)且可微，當t→+∞時，t-τj(t)→+∞，其中j=1，2，…，N。

(H2)Q(t，x1，…，xN)對x1，…，xN是全局Lipschitz連續函數，即存在正數K1，…，KN，使

又g是局部的Lipschitz連續函數，即存在正數L，對l>0，若|x|、|y|

|g(x)-g(y)|≤L|x-y|， |g(0)|=0。

(H3)存在連續函數hj：[m(t0)，+∞)→R，j=1，2，…，N和常數α∈(0，1)，對t≥0，有

1 主要結果

對上式進行分部積分并整理，得

(4)

定義映射P：Sψ→Sψ：

(5)

其中

I1=[ψ(t0)-Q(t0,ψ(t0-τ1(t0)),…,ψ(t0-τN(t0)))-

I2=Q(t,x(t-τ1(t)),…,x(t-τN(t)))，

顯然，(Px)∈C([m(t0)，+∞)，R)。現在證明當t→+∞時，(Px)(t)→0。由于t→+∞時，x(t)→0和t-τj(t)→+∞。因此，對任意ε>0，存在T1>t0，使得當s≥T1時，有|x(s-τj(s))|<ε，j=1，2，…，N。因此，當t≥T1時，式(5)中的最后一項I6滿足

此外，存在T2≥T1，使得當t≥T2時，

由(H3)知，|I6|<ε+αε<2ε。因此，當t→+∞時，I6→0。同樣地，可以證明當t→+∞時，式(5)中其他項Ii也趨向于零，i=1，2，3，4，5。因此，當t→+∞時，(Px)(t)→0，故Px∈Sψ。

設任意φ、ψ∈Sψ，當t≥t0時，

由條件(H3)可得，P是一個壓縮系數為α的壓縮映射。所以，由壓縮映射原理得，P在空間Sψ上存在唯一不動點x(t)，它是方程(3)的解。且x(t)滿足當t∈[m(t0)，t0]，x(t)=ψ(t)，當t→+∞時，x(t，t0，ψ)→0。

顯然，當s∈[m(t0)，t0]，有|x(s)|<ε。如果存在t*≥t0，使得x(t*)=ε，且當m(t0)≤s

這與t*的定義相矛盾。這說明，方程(3)的零解漸近穩定。

2 應用舉例

例考慮以下非線性中立型多變時滯積分微分方程

(6)

則定理中的α=0.2+0.083 4+0.083 4+0.631 94=0.998 74<1。因此，由定理可得方程(6)的零解是漸近穩定的。

3 結 論