基于引入多普勒速度的水下高速小目標快速跟蹤方法

張思宇,何心怡,陳 菁,祝 琳

(海軍研究院,北京 100161)

隨著技術的發展進步,世界海軍強國發展了數量眾多的新型航行器,給各國海上安全構成了嚴重威脅,水下監視能力成為世界主要海洋強國的發展重點,其核心在于能否有效地探測和跟蹤水下目標。由于部分水下航行器呈現體積小、航速高等特點,傳統基于目標距離和方向角的跟蹤濾波方法由于跟蹤遞推信息量不足,難以保證在水下環境對目標跟蹤高精度[1-2]。而水下目標高速運動使可利用的跟蹤濾波數據點較少,但也產生了較大的目標多普勒速度,即目標相對于聲吶系統的徑向速度,將其引入跟蹤濾波器的觀測方程可以有效增加跟蹤濾波的遞推計算信息量,提高了跟蹤濾波速度和精度。

基于目標距離和方向角的方程均為非線性方程,通常利用擴展卡爾曼濾波器(Extend Kalman Filter, EKF)或無跡卡爾曼濾波器(Unscented Kalman Filter, UKF)實現對目標跟蹤[3-4]。EKF基于Taylor級數展開并省略高階項的數學思想實現線性化近似,存在部分觀測方程雅克比矩陣求解困難或無法求解和強非線性方程的線性化近似誤差偏大的問題。而UKF通過目標距離和方向角的采樣點近似表示其概率分布，并通過無跡變換(Unscented Transform, UT)逼近目標狀態量的后驗概率分布,避免了雅克比(Jaccobian)矩陣的復雜計算和均值等量的非線性傳遞,保證了較高精度的跟蹤濾波。

目標多普勒速度可以認為是目標距離的一階導數,其雅克比矩陣求解困難,因基于UKF跟蹤濾波框架將目標多普勒速度引入觀測方程[5]。綜上,文中提出了一種基于UKF引入目標多普勒速度的水下快速跟蹤方法,實現在少數據點條件下水下近程高速小目標的快速跟蹤。

1 UKF原理及步驟

UKF是通過對目標運動狀態先驗概率密度分布取近似,通過采樣Sigma點逼近目標運動狀態后驗概率密度分布,利用UT變換解決目標運動狀態均值和協方差的非線性傳遞更新問題,避免了求解傳遞函數的雅克比矩陣,進而在卡爾曼濾波(Kalman Filter, KF)的框架下實現遞推計算。因為，UKF避免了對非線性目標運動狀態方程和觀測方程本身進行線性化近似,不存在高階項省略問題,保證了跟蹤濾波的精度和魯棒性[2]。

UT變換是根據目標運動狀態先驗概率密度分布在目標運動狀態均值和協方差的估計值附近采樣,使采樣點的概率密度分布服從于目標運動狀態概率密度分布,再將采樣點代入非線性狀態方程求取目標運動狀態后驗概率密度分布,并以采樣點UT變換后均值和協方差作為目標運動狀態的更新值,其原理如圖1所示。

圖1 跟蹤濾波更新原理圖

對于過程噪聲和量測噪聲服從高斯分布的非線性方程,通過UT變換后Sigma點的均值和協方差精度可達到3階Taylor級數展開精度,即使是非線性分布也可達到2階Taylor級數展開精度。

1)求取2n+1個采樣點UT變換后的Sigma點,得

(1)

2)求Sigma點對應的權值ω

(2)

式中,λ=α2(n+κ)-n表示權值縮短參數,α表示Sigma點分布狀態控制參數,κ和β表示待選參數。

假設k時刻的非線性目標運動狀態方程和觀測方程為

(3)

式中,W(k)和V(k)分別表示目標運動狀態過程噪聲向量和觀測噪聲向量,均服從高斯分布且互補相關。此時,UKF遞推過程如下。

1)選取一組Sigma點集并求其權值

(4)

2)求Sigma點集的目標運動狀態一步預測值為

X(j)(k+1|k)=f[k,X(j)(k|k)]

(j=1,…,2n+1)

(5)

3)通過求目標運動狀態向量一步預測值加權平均值,得到目標運動狀態一步預測估計值

(6)

(7)

4)基于式(6)和式(7)一步預測值代入UT變換,獲得更新Sigma點集

X(j)(k+1|k)=

(8)

5)將式(8)中新的Sigma點集代入式(3)的目標運動狀態觀測一步預測值

Y(j)(k+1|k)=h[X(j)(k+1|k)]

(9)

6)將式(9)求得的目標運動狀態觀測一步預測值,通過加權求和得觀測一步預測值的均值和協方差矩陣

(10)

7)求UKF增益

(11)

8)更新目標運動狀態和協方差矩陣

(12)

P(k+1|k+1)=P(k+1|k)-K(k+1)PYkYkKT(k+1)

(13)

通過UKF遞推過程可知,其采樣目標運動狀態估計值點,并進行UT變換獲得服從先驗概率分布的Sigma點,通過UKF遞推求得新的Sigma點均值和協方差矩陣,得到當前時刻目標運動狀態的概率分布函數的一種統計學近似[6]。

2 引入目標多普勒速度的觀測方程

傳統的水下目標跟蹤方法主要是基于目標距離和方向角構建的二維觀測方程可利用信息有限,目標跟蹤精度、收斂速度和魯棒性均較難進一步提高[7]。文中,以近程小目標高速接近聲吶系統場景進行研究,可將新型聲吶系統直接測得的目標多普勒速度引入UKF觀測方程,通過增加觀測方程的多普勒速度維度,增加跟蹤濾波的信息量,提高了跟蹤精度和濾波收斂速度及魯棒性。傳統的水下跟蹤濾波的目標運動方程和觀測方程可分別表示為

(14)

式中,Y(k)=[R(k),θ(k)]T,R(k),θ(k)分別表示目標距離和目標運動方向角,V(k)表示觀測噪聲服從高斯白噪聲。觀測函數可表示為

(15)

目標的多普勒速度是目標到傳感器連線的徑向速度[8],等價于目標距離一階導數可表示為

(16)

組成新的三維觀測方程可表示為

Y(k)=h[X(k)]+V(k)=

(17)

將改進的觀測方程代入第一節中的UKF基本框架進行步驟1)～步驟8)的遞推運算,即可得到基于引入目標多普勒速度的水下高精度目標跟蹤方法。

3 仿真實驗

和雷達跟蹤目標基于極坐標系不同,聲吶跟蹤目標一般基于直角坐標系。文中,以單基地主動聲吶跟蹤高速近程小目標為例,驗證該算法的可行性和有效性。

假設以發現目標的起始位置為坐標原點,聲吶中心處于(1000,1000)點處,聲吶信號發射周期T為1 s,目標沿著45°方位角以x軸25 m/s和y軸25 m/s向聲吶中心運動,目標運動的自身位置和速度均方根誤差分別為10 m和1 m/s,聲吶量測的目標距離、方向角和多普勒速度的均方根誤差分別為4 m,1°和1 m/s,UKF采用比例修正分布采樣Sigma點,其參數設置為α=0.1、κ=0和β=2,跟蹤持續時間為25 s,并進行了50次的蒙特卡洛試驗,得到仿真實驗結果如圖2所示。

圖2 目標跟蹤誤差圖

表1 不同方法跟蹤性能(50次)

由表1可知,引入了目標多普勒速度的水下目標跟蹤方法濾波后，目標位置均方根誤差和速度均方根誤差都明顯優于常規僅基于目標距離和方位角的水下跟蹤濾波方法。通過引入目標多普勒速度增加UKF的觀測方程維度,有效增加了跟蹤濾波的信息量,從而提高了跟蹤濾波的精度,保證在少數據點條件下有效跟蹤濾波;從圖2可知,引入目標多普勒速度水下目標跟蹤方法性能穩定,能夠25 s時長內保持較小的跟蹤誤差,沒有出現濾波發散的趨勢,具有較好的魯棒性,而常規僅基于目標距離和方位角的跟蹤濾波方法在跟蹤20 s后,由于跟蹤誤差積累有較明顯的濾波發散的趨勢,魯棒性較差。

4 結束語

本文提出了基于引入目標多普勒速度的水下高速小目標快速跟蹤方法,將聲吶測得目標高速運動產生較大的多普勒速度引入基于UKF框架的觀測方程,增加了跟蹤濾波遞推計算的信息量,實現了跟蹤濾波方法在較少的數據點條件下的快速收斂,且保證了跟蹤濾波有較高的精度,并通過仿真驗證了該方法達到了預期的效果。