基于ARMA、ARCH模型的百度股票日收益率分析

賈甜甜

【摘 要】 如果能在一定程度上對(duì)百度股票的日對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行預(yù)測(cè)，那么這將為投資決策提供很大幫助。根據(jù)先前研究人員的結(jié)論可知 ARMA模型適合預(yù)測(cè)平穩(wěn)時(shí)間序列，而GARCH模型適合預(yù)測(cè)易變性的數(shù)據(jù)，適合對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行分析。而滬深300 指數(shù)形成的序列不是單一線性或非線性，所以本文將ARMA模型與GARCH模型相結(jié)合，對(duì)百度股票的日對(duì)數(shù)收益率建立ARMA-GARCH綜合模型來(lái)預(yù)測(cè)其波動(dòng)率。

【關(guān)鍵詞】 百度股票日收益率 ARMA ARCH模型

1. ARMA模型

ARMA模型是用來(lái)分析時(shí)間序列數(shù)據(jù)的常用模型，由自回歸模型和移動(dòng)平均模型構(gòu)成。ARMA（p，q）模型中包含了p 個(gè)自回歸項(xiàng)和q 個(gè)移動(dòng)平均項(xiàng)，ARMA（ p，q） 模型可以表示為：

1.1數(shù)據(jù)選取。本文選取了2007.04.01-2019.05.10期間的百度公司股票的對(duì)數(shù)日收益率作為研究對(duì)象。

1.2平穩(wěn)性檢驗(yàn)。為了檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，先繪制數(shù)據(jù)的時(shí)序圖并進(jìn)行ADF檢驗(yàn)然后分析。由時(shí)序圖可知百度股票的額日對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)平穩(wěn)。ADF檢驗(yàn)的p值為0.0001，表明這一時(shí)間序列數(shù)據(jù)已經(jīng)平穩(wěn)，因此，接下來(lái)，可以針對(duì)這一序列做進(jìn)一步的建模擬合。

1.3模型定階。為了確定模型的合適階數(shù)，做出該序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖進(jìn)行分析，根據(jù)自相關(guān)圖和片自相關(guān)圖并不能馬上定階。因此針對(duì)序列嘗試集中不同模型的擬合。比如ARMA（1，3），ARMA（3，3），ARMA（3，1），ARMA（3，3）等。

根據(jù)各種模型的參數(shù)顯著性t檢驗(yàn)的結(jié)果（p值）可知，各模型的參數(shù)顯著性檢驗(yàn)中，只有ARMA（3，3）的所有參數(shù)都顯著。同時(shí)比較各個(gè)模型的信息準(zhǔn)則，ARMA（3，3）的AIC和SC值最小。因此最終選擇了ARMA（3，3）模型。

1.4模型的估計(jì)結(jié)果。在確定為ARMA（3，3）模型后，對(duì)其進(jìn)行估計(jì)， 由模型的t統(tǒng)計(jì)量和p值可知，模型所有解釋變量的參數(shù)估計(jì)值在0.1的水平下均顯著。因此，模型的擬合效果很好。

1.5模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)后，應(yīng)對(duì)擬合模型的適應(yīng)性進(jìn)行檢驗(yàn)。實(shí)質(zhì)是對(duì)模型的殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)。若殘差序列不是白噪聲，說(shuō)明還有一些重要信息沒(méi)有被提取，應(yīng)重新設(shè)定模型。因此本文對(duì)殘差進(jìn)行隨機(jī)性檢驗(yàn)。通過(guò)觀察相關(guān)函數(shù)值，Q統(tǒng)計(jì)量和p值，可以看到殘差序列不存在自先關(guān)，為白噪聲，說(shuō)明模型的有用信息已經(jīng)被充分提取了，因此，該模型是合適的模型。

2 ARCH模型

完成了ARMA模型的構(gòu)建之后，接著要分析百度股票日對(duì)數(shù)收益率序列的波動(dòng)率。基于國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究，可知對(duì)股市波動(dòng)率的分析選擇GARCH模型比較合適。GARCH模型的基本形式如下所示：

其中，包含了ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)，為波動(dòng)率。系數(shù)應(yīng)該滿足的條件為：

2.1均值方程估計(jì)。由于股票價(jià)格常表現(xiàn)出特殊的單位根過(guò)程——隨機(jī)游走過(guò)程，首先利用普通最小二乘回歸對(duì)其均值方程進(jìn)行回歸分析，由于方程的統(tǒng)計(jì)量在0.1的水平下顯著?？蛇M(jìn)一步進(jìn)行條件異方差檢驗(yàn)，驗(yàn)證其殘差序列是否存在ARCH效應(yīng)。

2.2 方程殘差分析。接下來(lái)要考慮數(shù)據(jù)的殘差是否具有ARCH效應(yīng)才能決定能不能建立ARCH-GARCH模型。

由于該波動(dòng)存在一些“集群”現(xiàn)象：波動(dòng)在一些較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)較大，在一些較長(zhǎng)時(shí)間被比較小。這說(shuō)明殘差序列存在ARCH或者GARCH效應(yīng)的可能性較大。

2.3條件異方差檢驗(yàn)。為了進(jìn)一步驗(yàn)證是否存在繼續(xù)ARCH效應(yīng)，繼續(xù)進(jìn)行條件異方差檢驗(yàn)。由檢驗(yàn)結(jié)果可知：p值均顯著為0，可以拒絕原假設(shè)，說(shuō)明殘差序列存在ARCH效應(yīng)。因此可進(jìn)行模型定階。

2.4 模型定階與參數(shù)估計(jì)。接下來(lái)要確定ARCH模型的階數(shù)，常用的ARCH模型為ARCH（1，1）ARCH（1，0）等，經(jīng)過(guò)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，ARCH（1，1）模型合理。因此用此模型來(lái)對(duì)百度股票的日對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。利用GARCH方程重新估計(jì)的模型，方程中的GARCH和ARCH的統(tǒng)計(jì)量都顯著，并且AIC和SC的值都變小了，說(shuō)明這個(gè)方程能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。

2.5 ARCH-LM檢驗(yàn)。再對(duì)這個(gè)方程的條件異方差進(jìn)行檢驗(yàn)，以驗(yàn)證是否消除了異方差效應(yīng)。由結(jié)果可知，相伴概率為P=0.8765，說(shuō)明利用GRACH模型消除了原殘差序列的異方差效應(yīng)。另外，ARCH和GRACH的系數(shù)之和等于0.994，小于1，滿足參數(shù)約束條件。由于系數(shù)之和非常接近于1，表明一個(gè)條件方差所受沖擊是持久的，即它對(duì)所有的未來(lái)預(yù)測(cè)都有重要作用。

3.綜合模型

使用上文建立好的ARMA（3，3）和GRACH（1，1）模型，得出綜合方程如下：

結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)百度股票的日對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，證明了ARMA-GARCH模型能一定程度預(yù)測(cè)其未來(lái)短期波動(dòng)率。但是若使用該模型對(duì)長(zhǎng)期趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)效果則會(huì)大幅下降。這是由于對(duì)長(zhǎng)期趨勢(shì)而言，會(huì)受到多種因素的復(fù)合影響，如行業(yè)變化、企業(yè)有關(guān)信息以及政策等的影響，這些因素可能會(huì)對(duì)基于原有時(shí)間序列模型的遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)產(chǎn)生較大的干擾。而在短期預(yù)測(cè)中，這些因素的變化不大，所以短期預(yù)測(cè)效果要優(yōu)于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。

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