淺談不等式的證明方法

申月

摘 要： 不等式是數(shù)學中廣泛應用的技巧性工具，而不等式的證明則是不等式知識的重要組成內(nèi)容.本文主要分三大部分闡述不等式的證明方法.在初等數(shù)學中，常見證明方法有比較法、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學歸納法、放縮法等等.此外，還可利用函數(shù)的極值、單調(diào)性等來證明不等式.特別的，在高等數(shù)學中，證明不等式常用到泰勒公式、中值定理、拉格朗日函數(shù)以及一些重要不等式來證明.

關鍵詞：不等式;綜合法;函數(shù);中值定理

不等式是數(shù)學領域的重要課題，也是分析和解決其他問題的基礎和工具.而不等式證明是不等式內(nèi)容的基石，此類題的題型比較多，證明方法也比較靈活，不拘一格.所以此內(nèi)容不僅是數(shù)學學習中的一個重點，也是一個難點.本論文主要討論用各種方法證明不等式，通過這些方法的學習，我們可以很好的接觸一些常見的數(shù)學思想方法，開拓我們的數(shù)學思維，使我們對不等式的證明有更深入的了解，有利于我們站在更高的角度研究數(shù)學不等式.

一 常見方法

（一）比較法

比較法是證明不等式最基本的方法，常見有作差比較法和作商比較法兩種.

1、 作差比較：

比較兩個實數(shù) 與 的大小時，可通過判斷 的符號來確定.步驟基本為：作差——變形（因式分解、配方、通分、應用已知定理、公式及題設條件等）——判斷符號（將結果與零作比較）.

2、作商比較：

一般在 與 均是正數(shù)時，可通過 或 來判斷大小，步驟基本為：作商——變形（積冪運算等）——判斷（將結果與1比較）.

注意：在作差過程中，若將兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差比較大小.總之，可根據(jù)具體題目做分析.

（二）分析法

分析法由結果出發(fā)，逐步推導使得上一步成立的充分條件，最后與已知、定理、恒成立的結果統(tǒng)一，但要使得每一步的推導過程都必須可逆.

例3 求證： .

證明：要證 ，即證 ，即 ， ，由此逆

推即得 .

注意：分析法是數(shù)學中基本的方法，基本思想是“由果索因”，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件.在證明對于條件簡單而結論復雜的題目時，特別是某些含有根式的不等式時往往更是行之有效的，彌補了其他方法的不足.但在使用這些技巧證明時，要注意遵循不等式性質(zhì).另外也要適當掌握指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運用.

（三）綜合法

從已知條件、定理、定義和已將證明的重要不等式出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)，逐步推導，最終推出要證的不等式，這就是綜合法.即“由因導果”，由已知出發(fā)，推得要證不等式.

例4已知： ，求證： .

證明：由 ，知 ，即 ，則 .

在用綜合法證明不等式時，要注意運用常見的基本不等式.常見基本不等式有：

⑴ .⑵ 當且僅當 時取等號）.⑶ （ ，當且僅當 時取等號）.

（四）反證法

反證法是證明不等式的一種間接證法.其基本步驟就是：先否定結論，再進行合理的邏輯推理演算，而引出矛盾，進而得證.

假設 ，則 ， ， ，因為 ， 都是正數(shù)，所以 ，與 矛盾.

所以有

（五） 放縮法

通過觀察不等式的結構形式，相應的把不等式一邊擴大或縮小，再利用不等式的性質(zhì)證明不等式，使得證明過程清晰自然.

在證明過程中，常采用的放縮方法有：⑴添加或舍棄一些正項或負項.⑵先放縮在求和.（先求和在放縮）.⑶先裂項，后放縮.（先放縮，后裂項）.⑷放大或縮小因式.⑸逐項放大或縮小.⑹固定一部分的項，放縮另一部分項.

在使用放縮方法時，首先要確定放縮目標，抓住題目特點，采用適合的放縮方法才能把問題解決.

（六）數(shù)學歸納法

如果不等式與自然數(shù) 有關，我們不可能就所有自然數(shù)加以論證.對于這類不等式，通常采用數(shù)學歸納法來解決.這種方法是證明不等式與 有關的有效方法.基本步驟：當 取第一個值時使得不等式成立，若假設使不等式在 時成立，還能證明不等式在 時也成立，那么肯定這個不等式對 取第一個值以后的所有自然數(shù)都能成立.

因此，所要證明的不等式對任何整數(shù) 都成立.

要注意數(shù)學歸納法有多種形式，也常與其他方法綜合運用.它的優(yōu)點是克服了完全歸納法的繁雜和不可行，又克服了不完全歸納法的不可靠的不足.使我們認識到事物的由繁到簡，由特殊到一般，由有限到無窮，可以說是一種科學的方法.但并不是所有含 的不等式都能用數(shù)學歸納法.在遇到具體問題時，要多方考慮.

（七） 換元法

換元法就是根據(jù)不等式的結構特點，選用適當?shù)淖兞刻鎿Q，這樣即找到了證明不等式的思路，更加達到了化繁為簡，化難為易，而完成某種轉換，達到證明的目的.

另外，一些看似復雜無從下手的不等式，可采用三角代換的方法，三角函數(shù)含有豐富的性質(zhì)和公式，巧妙的運用公式，可使不等式變得簡單明了.例如三角函數(shù)中的三個平方關系： ， ， .可充分利用這三個式子，對形如 這樣的式子進行三角代換，進而將一般的代數(shù)問題轉換為三角問題，順利解決證明.

（八）判別式法

在不等式中字母指明為實數(shù)時，且字母的最高次數(shù)為二次或二次以上，可設法構造一個一元二次方程，利用關于某一變元的二次三項式，使不等式中字母作為方程的各項系數(shù)（或常數(shù)項），有實根時判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式.

例9 設 ，證明 .

證明：設 ，得關于 的二次三項式 ，

因判別式

，

且二次項系數(shù)為正.

故 ，即 .

（九）構造法

所謂構造法，就是通過聯(lián)想，把問題中要解決的難點構造新的數(shù)學形式，使所求的問題發(fā)生形式上的轉化，再利用已知的數(shù)學知識，合理、直觀地解決問題.構造法證明不等式其實質(zhì)是將不等式進行等價轉化，它以構造方程、數(shù)列、向量、幾何圖形等作為主要手段.其中在借助幾何圖形證明不等式時，在圖形的啟發(fā)下，往往可以收到簡捷直觀的效果，從中得到不等式的證明.

所以 .

因此構造以 、 為根的一元二次方程

解得

二 利用函數(shù)證明不等式

（一）函數(shù)極值法

通過變換，把一些問題轉換為求函數(shù)的極值，從而達到證明不等式的目的.

（二）單調(diào)函數(shù)法

利用函數(shù)的導數(shù)證明，關鍵在于如何構造函數(shù)，然后在相應區(qū)間上用導數(shù)的相關知識判斷其單調(diào)性，再根據(jù)相關知識即可得到證明.

（三）中值定理法

利用中值定理： 是在區(qū)間 上有定義的連續(xù)函數(shù)且可導，則存在 ， ，滿足 來證明某些不等式.

證明：設 = ，則有 在[0， ]上連續(xù)，在 內(nèi)可導，滿足中值定理條件

因此，在該區(qū)間 內(nèi)至少存在一點 ，使得

（四） 利用泰勒公式證明

如果題中不等式是一個復雜函數(shù)與多項式的大小關系，可以將這個復雜函數(shù)用泰勒公式表示，來比較其大小.

三 利用著名不等式

（一）利用柯西不等式

設有兩組實數(shù) 和 ，則有

上式就是著名的柯西不等式（又叫柯西---布尼雅科夫斯基不等式），其應用很廣泛，尤其對多元不等式的證明，求多元函數(shù)的最值等.

證明：由柯西不等式

兩邊除以 即得證.

（二）利用詹森不等式

例16證明不等式

（三）貝努利不等式

（1）設 實數(shù) 且同號，則

特別地，當 ，且 ， 成立.

貝努利不等式在證明重要極限和數(shù)列極限時有廣泛應用.

綜上所述，證明不等式的方法有很多，遇見問題，要細心觀察，結合不等式本身的特點，從中發(fā)現(xiàn)與已掌握的知識的內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)姆椒?，順利找到解決問題的切入點.

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