考慮駕駛儀動態特性的固定時間收斂制導律

張寬橋，楊鎖昌，李寶晨，劉暢

1.陸軍工程大學石家莊校區 導彈工程系，石家莊 050003 2.陸軍工程大學 科研學術處，南京 210000

為增加戰斗部的毀傷效能，有必要對導彈提出攻擊角度約束的要求。由于滑模控制在滑動模態對干擾具有不變性，被廣泛應用在制導律的設計中。通過選取包含彈目視線角速率和攻擊角度約束項的滑模面，結合趨近律可設計出攻擊角度約束的滑模制導律[1-2]。

傳統滑模制導律采用線性滑模面，彈目視線角速率和攻擊角度是漸進收斂的，收斂時間趨于無窮。但導彈攻擊目標的時間是有限的，這就對制導律的設計提出了有限時間收斂的要求，而終端滑模控制采用非線性滑模面能夠實現系統狀態的有限時間收斂[3]。文獻[4]設計了帶攻擊角度約束的終端滑模制導律。文獻[5-6]在終端滑模面中加入線性項，進一步加快了收斂速度。但終端滑模制導律中含狀態量的負指數項，會造成奇異問題。針對這個問題，目前主要有2種解決思路：積分滑模[7-8]和非奇異終端滑模[9-11]。積分滑模能保證系統狀態的有限時間收斂，但不能確定其具體的收斂時間表達式。非奇異終端滑模與終端滑模結構類似，能使系統有限時間收斂。但其收斂時間與系統的初始狀態相關，而系統初始狀態一般是未知的，且不同的初始狀態收斂時間也不同。為此，文獻[12]提出了固定時間穩定性理論，能使系統收斂時間的上界不依賴于系統初始狀態。文獻[13-14]基于固定時間穩定性理論設計了非奇異終端滑模面，提出了固定時間收斂的終端滑模控制方法，其收斂時間上界僅與控制參數有關。

針對目標機動和系統擾動等干擾問題，目前大多數文獻的處理方法為：利用滑模控制的魯棒性抵抗干擾[15]；設計自適應律估計干擾的上界[10]；設計干擾觀測器實時在線估計干擾[16]。前兩種方法需要引入符號函數項，會使控制量不連續，引起抖振現象。大多數文獻對符號項進行光滑處理來削弱抖振，但改變了滑模控制的固有結構，會降低控制精度。干擾觀測器可實時估計干擾量前饋至控制律中，進而實現對干擾的抑制，且不需要引入符號函數項。近年來許多學者對干擾觀測器進行了研究，以提高滑模控制的性能，如非線性干擾觀測器[17]、自適應干擾觀測器[18]、有限時間干擾觀測器[19]、擴張狀態觀測器[20]等。這些觀測器可以實現估計誤差的有限時間收斂或者漸進收斂，但收斂時間的上界依賴于估計誤差的初值。

在大氣層內作戰的導彈，由于受空氣動力作用，以及導彈本身硬件設備的延遲特性，導致自動駕駛儀存在動態延遲。這對制導精度有很大的影響，尤其打擊大機動目標時，會導致系統不穩定和較大脫靶量，因此在制導律的設計中需要加以考慮。目前，許多文獻已對考慮駕駛儀動態特性的制導律進行了研究，所用方法主要為反步(Backstepping)遞推設計或動態面控制[21]。文獻[22]考慮自動駕駛儀一階動態特性，采用終端滑模控制設計了有限時間收斂的制導律，但制導律中存在彈目視線角速率的高階導數。實際上，自動駕駛儀一般具有高階動態特性。若將其近似為高階系統，能夠很好地模擬駕駛儀的動態特性，但這會使制導律的形式過于復雜。將駕駛儀近似為二階系統比較合理，既可以貼近駕駛儀實際動態特性，又能降低制導律的復雜程度。文獻[23-24]基于動態面控制設計了考慮自動駕駛儀二階動態特性的制導律，但不能保證有限時間收斂。因此，文獻[25]采用滑模反步遞推設計方法，提出了一種攻擊角度約束的有限時間收斂制導律，但收斂時間的上界依賴于系統狀態初值。

在上述討論的啟發下，本文提出了一種同時考慮攻擊角度約束、自動駕駛動態特性和固定時間收斂的制導律。在三維空間內建立了考慮自動駕駛儀二階動態特性的制導系統狀態方程；針對目標機動等干擾問題，基于固定時間收斂和超螺旋算法，設計了一種滑模干擾觀測器用于估計干擾；構造了一種包含彈目視線角速率和角度約束項的固定時間收斂非奇異終端滑模面，能使系統狀態快速固定時間收斂；基于所提干擾觀測器和滑模面，采用反步遞推方法，對制導律進行設計。基于Lyapunov穩定性理論，證明了制導律的固定時間收斂特性，并給出了收斂時間的表達式；最后通過仿真分析，驗證了所提制導律的有效性和優越性。

1 問題描述

在三維慣性坐標系OXYZ上建立彈目相對運動關系如圖1所示。圖中，OXSYSZS為彈目視線坐標系，r為彈目相對距離，q和η分別為彈目視線傾角和偏角。vm和vt分別為導彈和目標的速度，假定為恒速。

圖1 彈目相對運動關系Fig.1 Relationship of missile-to-target motion

參考文獻[26],可得彈目相對運動的動力學方程為

(1)

式中：atr、atq、atη和amr、amq、amη分別為目標和導彈的加速度在視線坐標系上的分量。

針對導彈的自動駕駛儀存在動態延遲的問題，這里將自動駕駛儀近似為二階環節：

(2)

式中：ξ為阻尼比；ωn為自動駕駛儀的自振頻率；uq和uη為制導指令。

導彈攻擊角度為制導末端導彈和目標速度矢量間的夾角，帶攻擊角度約束的制導問題可轉化為終端視線角約束問題[1-4]，即

q(tf)=qd,η(tf)=ηd

(3)

式中：tf為制導終端時刻;qd和ηd分別為期望終端視線傾角和偏角。

根據式(1)和式(2)，在三維空間內建立考慮自動駕駛儀動態特性帶攻擊角度約束的制導系統方程為

(4)

式中：

(5)

2 固定時間收斂反步滑模制導律

2.1 相關定義和引理

在制導律設計之前，為理論推導和分析方便，給出如下相關的定義和引理。

定義1為后文書寫方便，作如下定義：

sgnα(y)=|y|αsgn(y)，|y|α=[|y1|α,|y2|α，…,|yn|α]T，其中，y=[y1,y2,…,yn]T，sgn(·)為符號函數，且sgn(0)=0。

針對如下非線性系統:

(6)

(7)

(8)

注1引理1和引理2為有限時間收斂特性分析中常用的兩種引理，由式(7)和式(8)可以看出，收斂時間上界與參數和系統的初始狀態有關，而系統的初始狀態往往是未知的，因此不能準確估算收斂時間上界。為解決這個問題，文獻[12]提出了固定時間穩定性的概念，相關定義及引理如下：

定義2對于系統(6)，若存在一個時刻Tmax>0，對任意x0∈R，t>Tmax，滿足x(t)=0，則系統是固定時間穩定的。

(9)

(10)

(11)

引理5[32]對于任意實數xi(i=1,2,…，n)，存在實數0<α<1，使得式(12)成立：

(12)

引理6[33]對于任意實數xi(i=1,2,…，n)，存在實數β>1，使得式(13)成立：

(13)

根據引理5和引理6，有式(14)成立：

(14)

2.2 固定時間收斂滑模干擾觀測器

在制導過程中，目標的加速度信息往往是無法進行測量的，因此在制導律設計前，需要對目標機動等干擾量進行估計。滑模干擾觀測器是經常采用的一種估計系統不確定性及外部擾動的方法。它可以實現估計誤差的漸進或有限時間收斂至零，但收斂時間取決于觀測器參數和初始誤差。若初始誤差較大，其收斂時間也會相應增加，并且傳統的滑模干擾觀測器還存在抖振問題。針對這兩個問題，借鑒固定有限時間收斂和超螺旋算法思想，設計了一種固定時間收斂的滑模干擾觀測器。

(15)

式中：

針對系統(15)設計滑模干擾觀測器為

(16)

(17)

將式(16)代入式(17)可得

(18)

式中：zi為一個輔助變量。

(19)

(20)

微分得

(21)

(22)

由式(18)可知，t′1i時刻時zi的值滿足:

(λ3i+Li)t′1i

(23)

(24)

(25)

注2由觀測器(16)的表達式可知，變結構項存在于積分項中，觀測器的估計值是連續的，有效削弱了傳統滑模干擾觀測器的抖振問題。

注3由觀測器的收斂時間表達式(19)可以看出，收斂時間的上界由觀測器的參數λ1i、λ2i、λ3i、γ1和γ2的取值決定，不依賴于系統的初始狀態，估計誤差是固定時間收斂的。

2.3 制導律設計

針對系統，為使導彈以期望攻擊角度精確打擊目標，本文基于滑模控制，結合反步設計方法，對制導律進行設計。為使系統狀態x1和x2固定時間收斂至零，基于引理3和分段滑模面思想，設計如下非奇異快速終端滑模面為

s1=x2+k1sgnα1(x1)+k2φ(x1)

(26)

式中：φ(x1)=[φ(x11),φ(x12)]T，且

(27)

其中：α1>1，0<α2=p1/p2<1，k1>0，k2>0，δ>0，p1、p2為正奇數。

對式(26)求一階導數可得

(28)

式中：

(29)

f(x1i)是關于x1i的函數，且滿足如下條件：

1)f(x1i)在x1i∈(-δ,δ)上是光滑函數，且與x1i同號。

2)f(δ)=φ(δ)=-f(-δ)。

3)f′(δ)=f′(-δ)=φ′(δ)，在x1i∈(-δ,δ)上，f′(x1i)>0。

注4條件1)能夠保證f′(x1i)為連續有界函數，消除奇異問題，且系統到達滑模面s1=0時，x1i與x2i始終是異號的，保證系統狀態是可收斂的；條件2)保證了滑模面函數s1是連續的；條件3)保證了f(x1i)在x1i∈(-δ,δ)是有界的，且保證了φ′(x1i)是一個連續函數，從而保證s1是光滑的。

根據選取條件，選取一種f(x1i)函數為

(30)

下面采用反步設計方法對制導律進行設計。

步驟1x3的虛擬控制律設計

定義滑模誤差面為

s2=s1=x2+k1sgnα1(x1)+k2φ(x1)

(31)

對式(31)微分并結合式(4)可得

f(x1,x2)+b1x3-b1d+(k1α1|x1|α1-1+

k2φ′(x1))x2

(32)

設計虛擬控制律為

k4sgnβ2(s2)+(k1α1|x1|α1-1+k2φ′(x1))x2]

(33)

為避免對虛擬控制量的多次求導產生“微分膨脹”問題，借鑒動態面設計方法，引入一個新的虛擬控制律x3d，它由x3c經一階低通濾波器得到。傳統動態面設計方法采用一階線性濾波器，不能保證系統有限/固定時間收斂。為保證固定時間收斂特性，基于引理3，設計一種一階非線性濾波器為

(34)

式中：τ>0。

步驟2x4的虛擬控制律設計

定義滑模誤差面為

s3=x3-x3d

(35)

對式(35)微分并結合式(14)得

(36)

設計虛擬控制律為

(37)

設計非線性濾波器為

(38)

步驟3實際制導律u的設計

定義滑模誤差面為

s4=x4-x4d

(39)

對式(39)微分并結合式(4)可得

(40)

設計實際制導律為

(41)

定理2針對系統(4)，在制導律(41)的作用下，系統狀態x1和x2能夠固定時間收斂至原點的一個較小鄰域內。

證 明

定義虛擬控制律誤差

yi=xid-xici=3,4

(42)

對式(42)求微分，并結合式(34)和式(38)可得

(43)

(44)

(45)

結合式(32)、式(35)和式(42)可得

k1α1|x1|α1-1x2+k2φ′(x1)x2=b1s3+b1y3-

(46)

結合式(36)、式(39)和式(42)可得

k5sgnβ1(s3)-k6sgnβ2(s3)

(47)

結合式(40)和式(41)可得

k8sgnβ2(s4)

(48)

構造Lyapunov函數為

(49)

微分可得

s3(s4+y4-b1s2-k5sgnβ1(s3)-k6sgnβ2(s3))+

b1s2y3+s3y4

(50)

(51)

考慮不等式：

p≤pm1+pm2

(52)

式中：p≥0，m1>1，0

-n1pm1-n2pm2+n3p≤-(n1-n3)pm1-(n2-

n3)pm2

(53)

式中：n1、n2、n3>0。

基于不等式(53)，式(51)可寫為

(54)

式中：

(55)

選取合適的制導參數使得M>0，N>0，根據引理5和引理6，可將式(54)重新整理為

(56)

由于(β1+1)/2>1，1/2<(β2+1)/2<1，根據引理3可知，系統可固定時間收斂至原點的一個較小鄰域

(57)

收斂時間滿足:

(58)

1) |x1i|≥δ，式(31)可寫為

(59)

|x2i|≤k1|x1i|α1+k2|x1i|α2+|μi|≤

k1(2?2i)α1+k2(2?2i)α2+εi

(60)

收斂時間滿足:

(61)

2) |x1i|<δ，由式(31)可得

|x2i|≤k1|x1i|α1+k2|f(x1i)|+|μi|<

k1δα1+k2δα2+εi

(62)

綜合分析上述兩種情況可得，x1i和x2i收斂至原點的鄰域

(63)

制導系統總收斂時間滿足T≤t1+t2+t3，即

(64)

注6本文基于反步設計方法和固定時間穩定理論，設計的制導律能夠實現系統的固定時間有界性，保證系統狀態有限時間收斂至原點的一個較小的鄰域內，且收斂時間的上界與系統的初始狀態無關。

注7根據系統收斂時間和收斂域的表達式，可以確定制導參數的調整規則。對于干擾觀測器而言，增大λ1、λ2、λ3、γ1，減小γ2可加快觀測器的收斂速度，減小收斂時間，但過大的λ1、λ2、λ3、γ1，過小的γ2會導致過大的超調。對于制導律，增大ki(i=1,2,…,8)、α1和β1，減小τ、α2和β2能夠有效加快收斂速度且提高控制精度，但較大ki(i=1,2…,8)、α1和β1，較小τ、α2和β2會產生較大的制導指令，需要導彈提供較大的過載，以滿足制導需求。而導彈的可用過載是有限的，因此在參數選取時要折中考慮。

注8為后文敘述方便，將本文所提考慮駕駛儀動態特性和攻擊角度約束的固定時間收斂反步滑模制導律(Fixed-Time Convergent Backstepping Sliding Mode Guidance law, FTCBSMG)。

3 仿真分析

本節基于彈道仿真對制導律性能進行仿真分析。設定導彈和目標的初始位置分別為(0 m, 0 m, 0 m)和(10 000 m, 5 000 m, 2 000 m)，導彈的速度為vm=500 m/s，目標運動速度為vt=250 m/s。重力加速度g=9.8 m/s2，導彈的最大可用過載為20g。自動駕駛儀動態特性參數設置為：ξ=0.8，ωn=8 rad/s。FTCBSMG的制導參數設置為：k1=1，k2=2，k3=0.1，k4=0.2，α1=5/3，α2=3/5，k5=k6=k7=k8=10，β1=0.5，β2=2，δ=0.001，τ=0.1，λ11=λ12=20，λ21=λ22=50，λ31=λ32=150，L1=L2=50，γ1=0.5，γ2=1.5。仿真步長5 ms，采用4階Runge-Kutta法對模型進行解算。根據式(64)可計算出制導系統的收斂時間上界為Tmax=13.76 s。

仿真中引入了文獻[16]提出的非奇異二階終端滑模制導律(SONTSMG)以及文獻[24]提出的考慮自動駕駛儀動態特性的滑模制導律(ADSMG)進行仿真。SONTSMG的表達式為

(65)

式中：z1為干擾觀測器對系統干擾的估計值。參數設置為：k1=1 000，k2=50，α=5/3。β=1，γ=2.1。ADSMG的表達式為

(66)

制導參數設置為：K1=1，K2=K3=K4=10，ε=50，ρ=20，δ=0.001，τ3=τ4=0.1。

場景1以不同導彈初始彈道傾角θm0和偏角ψvm0打擊機動目標。設定θm0和ψvm0分別為30°和-30°；60°和0°；90°和30°。期望終端視線角qd=30°，ηd=-20°。目標常值機動，加速度為aty2=atz2= 20 m/s2，其中aty2和atz2表示目標在彈道坐標系下的縱向和橫向加速度，目標初始航跡傾角和偏角分別為θt0= 180°，ψvt0= 10°。仿真結果如圖2所示。

圖2 場景1的仿真結果Fig.2 Simulation results of Situation 1

場景2不同的期望終端視線角約束下打擊機動目標。設定qd和ηd分別為10°和-10°，20°和-20°、40°和-30°；θm0= 60°，ψvm0= 0°，θt0= 180°，ψvt0= 0°；目標余弦機動，加速度為aty2=atz2= 50cos(πt/5) m/s2。仿真結果如圖3所示。

圖3 場景2的仿真結果Fig.3 Simulation results of Situation 2

場景3FTCBSMG和ADSMG、SONTS-MG的對比仿真。θm0= 45°，ψvm0= 0°，qd=40°，ηd=-20°，θt0= 150°，ψvt0= 10°。目標的機動考慮以下2種情況：

1)正弦機動：aty2=atz2= 50sin(πt/5) m/s2。

2)方波機動：aty2=atz2= 50sgn[sin(πt/5)] m/s2。

引入平均過載Nme(單位：g)來評估制導過程能量消耗，定義為

(67)

式中：K為總仿真步數。

圖4 目標正弦機動下的仿真結果Fig.4 Simulation results with target sinusoidal maneuver

圖5 目標方波機動下的仿真結果Fig.5 Simulation results with target square wave maneuver

圖6 干擾觀測器的估計結果Fig.6 Estimation results of disturbance observer

表1 不同制導律下的仿真結果
Table 1 Simulation results with different guidance laws

目標機動方式制導律攻擊時間/s脫靶量/m視線傾角誤差/(°)視線偏角誤差/(°)Nme/g正弦機動ADSMG21.901.060.260.158.6125SONTSMG20.992.517.944.719.4675FTCBSMG21.570.360.040.057.8734方波機動ADSMG21.931.510.220.4510.1614SONTSMG22.982.063.784.6412.5603FTCBSMG21.440.650.020.039.6465

圖6為本文所提固定時間收斂滑模干擾觀測器對干擾d的估計結果，由式(19)可計算出設定的收斂時間上界為0.48 s，從圖6(a)和圖6(b)可以看出，無論目標正弦機動還是方波機動，所提干擾觀測器的估計值都能在0.4 s左右快速收斂至d的真實值上，能夠有效補償干擾，保證制導系統整體的收斂性能。

表1為在3種制導律作用下的攻擊時間、脫靶量、終端視線角誤差和平均過載的仿真結果，可以看出，相比ADSMG和SONTSMG，FTCBSMG的攻擊時間、脫靶量、終端視線角誤差和平均過載最小，說明FTCBSMG能以更短的時間、更高的制導精度和角度約束精度以及更少的能量消耗有效打擊目標，驗證了本文所提導引律的有效性和優越性。

4 結 論

本文基于終端滑模控制、固定時間穩定性理論和反步遞推方法，設計了一種同時考慮攻擊角度約束、自動駕駛儀動態特性和固定時間收斂的制導律。本文所做主要工作與得到的結論如下：

1) 為抵消干擾，設計了一種固定時間收斂滑模干擾觀測器，能夠實現對目標機動等干擾信息的有效估計，收斂時間上界與初始誤差無關，只取決于觀測器參數。

2) 針對攻擊角度約束問題，設計了一種固定時間收斂的非奇異終端滑模面，能夠使系統狀態在固定時間內收斂至原點的一個較小鄰域內，且鄰域范圍可控。

3) 針對自動駕駛儀存在動態延遲問題，基于滑模控制和反步設計方法，提出了一種固定時間收斂的反步滑模制導律，能夠使彈目視線角和角速率固定時間快速收斂，且收斂時間的上界只取決于制導參數，與初始條件無關。

4) 仿真結果表明，針對不同的導彈初始航跡角和期望視線角，所提制導律都能使導彈以期望的彈目視線角精確打擊目標，并且相比現有的制導律，所提制導律具有更高的制導精度和角度約束精度，且收斂時間更短，能量消耗更少。