化歸思想在高中數學函數教學中的運用探討

陳苗苗

（浙江省永嘉縣羅浮中學）

化歸思想在高中數學函數教學中的運用探討

陳苗苗

（浙江省永嘉縣羅浮中學）

數學是我國高中教學體系中十分重要的一環，是一項基礎性的學科，圍繞化歸思想的概念展開討論，論述化歸思想在高中數學教學中的意義，探究化歸思想在高中數學函數教學中的運用。

高中數學；函數；化歸思想；運用

一、化歸思想

所謂化歸思想，不僅是一種解題的思路，也是一種在生活中常用的基本思維策略，在數學中的運用十分廣泛。其策略的運用指的是通過某種手段或者方法，將所要解答、研究的問題進行轉化，從而便于解答。一般來說，化歸思想是將復雜的問題簡單化，將未知的數值用已知的數值表示，又或者是將未解決的問題轉化為已知的題目，通過這種簡單化、直觀化的轉變幫助學生更好地解決部分具有一定難度的問題。化歸思想的具體方法主要有待定系數法、配方法、元素代入法、抽象問題具體化等，其在數學教學中的運用包括數值之間的轉化、圖形之間的轉化、數值和圖形之間的轉化、數學模型和具體問題的轉化等。數學教學質量的高低在一定程度上影響學生的全面發展，而函數是數學教學中重要的一部分。化歸思想作為一種解答技巧，在數學中的運用十分廣泛，如果能夠掌握并且靈活運用解題策略，對學生的數學學習有極大的幫助。

二、化歸思想的運用在高中數學教學中的意義

1.加深學生對數學學習的理解

數學是一門很抽象的學科，它既不像語文、英語那樣通過大量的知識記憶就可以掌握基本的知識，也不像生物、地理那樣是實物化的知識。而是需要學生通過大腦思維的構建來理解、吸收，因此大部分學生在數學的學習上有一定的困難。化歸思想是將復雜問題簡單化、抽象問題具體化，這樣一來就從根本上促使學生加深對數學的理解，并且通過思想經驗的不斷積累，幫助學生將知識點連接起來，從而幫助學生認識到數學的精髓所在。

2.幫助學生拓展數學思維

學習數學的關鍵點在于學習解決數學問題的思維策略，而策略的關鍵在于是否將所學知識靈活運用，因此需要學生積累一定的解題方法。在傳統的數學教學中，學生學習到的解題方法大都由教師教授，很少自己探索。通過化歸思想的培養，學生在解題中學會自己將問題簡單化，通過知識的運用和轉化，不僅加深了對知識的理解，提高了學生學習的自主性，還鍛煉了學生的數學思維，拓寬了解題的思路。

3.提高學生分析題目的能力

化歸思想的另一種運用，就是將新學的知識和過去熟悉的舊知識相互轉化。培養學生靈活運用化歸思想，使學生在面對陌生的知識時，能夠通過轉化得到自己熟悉的知識，幫助學生提高分析題目的能力。

三、化歸思想在高中數學函數教學中的運用

1.換元法

所謂換元法，就是運用化歸思想，將原本復雜陌生且不規范的方程或者式子轉換成為熟悉、簡單的式子，這種簡單的換元在數學中十分常見，是一種相對比較容易掌握的解題思路，換元法要求學生能夠將反復出現的未知參數或者已知條件看作一個整體，從而應用熟悉的知識進行轉化，將復雜的題目簡單化，分析出題目的真實用意。

這道題目的解答可以借助化歸思想利用換元法來解答，首先可以假設cos x=a，2sin x=b，通過對已知條件進行分析可得a+2b=，接下來聯系課本所學的三角函數的基本知識可知cos x的平方加上sin x的平方之和等于1，也就是說a的平方加上b的平方等于1，通過將復雜的式子簡單化，便可以清晰得出兩個簡單易懂的方程，接下來通過聯立方程，可以直接得出a和b之間的關系，即2a=b，因此可以得出答案tan x=2。

2.數字與圖形之間的轉化

數字與圖形之間的轉化相對于換元法來說會更加復雜一些，在數學題目中，有些函數方程本身就與圖形有對等的聯系，譬如圓柱的面積為2πr*h+πr2，圓的面積為πr2等等，另外還有一些曲線，例如，拋物線、雙曲線等都與數值直接相關，而將圖形與數字進行相互轉化，就是將抽象的數字用圖形的形式表示出來，通過圖形的展示，讓學生能夠直觀感受、理解題目的原意。特別是高中數學的函數部分，學生可以靈活運用課本所學圖形與數值之間的聯系，借助化歸思想，將抽象的題目簡單化，從而方便學生解答題目。接下來借助一個例子來解釋一下：

例如：已知函數f（x）=2-|x|，x≤2，且f（x）=（x-2）2，x＞2，另一個函數g（x）=b-f（2-x），其中b屬于全體實數，如果函數y=f（x）-g（x），恰有四個零點，則b的取值范圍是（）

由題目可知，y=f（x）-g（x）=f（x）+f（2-x）-b，所以y=f（x）-g（x）恰有4個零點等價于方程f（x）+f（2-x）-b=0有4個不同的解，即函數y=b與函數y=f（x）+f（2-x）的圖象有4個公共點，接下來通過函數的式子畫出與之對應的圖形，如下圖所示：

通常情況下，如果在題目中求解方程解的個數或者提到函數零點的問題時，其題目的真正用意不是讓做題者將方程解答出來，必定是通過特殊的途徑繞過解方程的繁雜步驟而直接得到答案，通過借助化歸思想，將抽象的問題具體化，幫助做題者能夠一目了然地得出正確答案。

3.將未知的參數已知化

在函數解題的過程中，常常會遇到一些陌生的式子，需要做題者對公式進行證明或者求最值，面對這樣一道陌生的題目，如果不運用化歸思想，將未知的題目轉化成已經學過的知識點的話，學生在解答題目時會感到困難，而在函數題目的解答中，有許多未知的式子都是通過基本的定理轉變過來的，所以化歸思想的掌握對于高中生來說是十分有必要的。所謂將未知的參數已知化，指的是將題目給出的式子與基本的知識點結合起來，構建一座聯系的橋梁，從而將復雜陌生的知識逐漸還原成熟悉的式子，從而推導出解決問題的基本途徑，使解答過程簡單化。接下來舉一個例子進行說明：

例如：求函數y=cos x+sin x+sin x cos x的最值。

這道題乍一看是找不到思路的，很多學生不知道該如何下手，但是通過對式子的觀察，我們可以很快發現題目的式子與三角函數之間的關系，那么就可以運用化歸的思想，將原式與三角函數的相關知識點建立聯系。首先可以運用換元法假設n=cos x+ sin x，sin x cos x=（n2-1）/2，因此可得y=（n2-1）/2+n，進一步換算可得y=n2/2+n-1/2。由三角函數的性質可得，n∈［-，］，因此通過計算可得y的取值范圍是［-1，+1/2］，所以，求y的最大值時，n取，得最大值為+1/2，求y最小值時，n取-，得最小值為-1。

數學的學習需要學生擁有縝密的邏輯思維，并學會靈活運用所學的知識。但由于數學中許多定理概念過于抽象化，導致學生難以理解，無法深入學習知識。因此對于教育工作者來說，最重要的是引導學生逐漸掌握函數知識，化歸思想在數學解題中的運用十分廣泛，通過培養學生的思維邏輯，幫助學生加深對概念的理解，并通過練習達到鍛煉學生思維能力的目的。

［1］董朝芳.高中數學函數教學對數學思想方法的滲透［J］.教育教學論壇，2014（21）：32.

［2］任瀟.高中數學函數教學中滲透數學思想方法的應用分析［J］.現代婦女（下旬），2014（4）：65.

［3］蔣塘涵.化歸思想在高中數學函數學習中的運用［J］.求知導刊，2015，12（6）：116.

·編輯張慧