探究高考題中離心率背后昀“秘密”

韓維崢

離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，是描述圓錐曲線形狀的重要參數(shù)。圓錐曲線離心率的確定與應(yīng)用是高考的高頻考點(diǎn)。“求圓錐曲線的離心率的值或取值范圍”是常見題型，認(rèn)真研究可以發(fā)現(xiàn)，單獨(dú)考查離心率求法的題目很少，多數(shù)情況下是以離心率為背景，考查平面幾何、平面向量、直線方程、解三角形等知識的綜合運(yùn)用，體現(xiàn)了知識的綜合性和交匯性，這是高考命題的熱點(diǎn)和方向。如何應(yīng)對這種復(fù)雜的變化呢？筆者覺得，還是“萬變不離其宗”，這里的“宗”就是建立恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系或不等關(guān)系，以得到含有離心率e的等式或不等式，使問題得到解決。

一、方法突破

點(diǎn)評：本題考查橢圓離心率的求值，在求解的過程中，一定要注意條件“一個焦點(diǎn)為（2，0）”的隱含之意是“焦點(diǎn)在x軸上”，牢記離心率公式，結(jié)合橢圓中a，b，c的關(guān)系求得結(jié)果，此題較易。

點(diǎn)評：本題以考查橢圓的離心率的求值為背景，綜合運(yùn)用平面幾何知識、直線斜率的幾何意義、橢圓的幾何性質(zhì)，建立關(guān)于a，c的等量關(guān)系，使問題得以解決，屬于中檔題。

分析：由直線與圓的位置關(guān)系知，圓心到直線的距離等于半徑，從而得到n，6的關(guān)系，消去6可得離心率。

點(diǎn)評：本題以考查橢圓的離心率為背景，綜合運(yùn)用直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的性質(zhì)c2 =a2-b2，建立關(guān)于a，c的等量關(guān)系，使問題得以解決，屬于中檔題。

分析：本題以橢圓內(nèi)點(diǎn)線的交錯關(guān)系為條件，而目標(biāo)是求橢圓的離心率，所以思考方向自然是要得到a，b，c滿足的等量關(guān)系，那么方向不外乎兩個：利用坐標(biāo)關(guān)系或幾何關(guān)系，抓住條件“直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)”作為突破口，適當(dāng)轉(zhuǎn)化，獲得所需等式。

點(diǎn)評：本題以考查橢圓的離心率為背景，綜合運(yùn)用平面幾何知識、三點(diǎn)共線、直線方程和橢圓的性質(zhì)進(jìn)行多角度突破，體現(xiàn)了高考的立意和命題思想。離心率問題主要有三種常用思路：（1）直接求得a，c的值，進(jìn)而求得。的值;（2）建立a，b，c的齊次等式，求得b/a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的等式求解;（3）通過特殊值或特殊位置，求出e。本題給出了四種方法，其中解法一、解法二運(yùn)用代數(shù)法建立a，c的關(guān)系，運(yùn)算量比較大，加大了算錯的概率，而解法三、解法四運(yùn)用了幾何法，利用數(shù)形結(jié)合建立a，c的關(guān)系，減少了運(yùn)算量，所以在解決橢圓的離心率求值問題時，要充分考慮幾何性質(zhì)，優(yōu)化解題思路。

點(diǎn)評：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判斷平面內(nèi)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為橢圓;二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積，以及橢圓的弦長和離心率等問題。“焦點(diǎn)三角形”是橢圓問題中的常考知識點(diǎn)，在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理、余弦定理及橢圓的定義。

分析：利用弦長和點(diǎn)到直線的距離公式可以得到b，c滿足的方程，再消去b得a，c滿足的方程，從而求得離心率。

點(diǎn)評：本題以考查雙曲線的離心率為背景，綜合運(yùn)用圓的弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式，所以本題要充分利用好圓的半徑、弦長的一半、圓心到弦的距離，三者之間滿足勾股定理，可得b，c滿足的齊次式，再結(jié)合b2=c2-a2，消去b得a，c滿足的齊次式，然后等式兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，解方程即可得e。

點(diǎn)評：本題考查的是雙曲線離心率的取值范圍，解題關(guān)鍵是建立e，a的關(guān)系，即用a去表示e，再運(yùn)用函數(shù)值域的求法求得結(jié)果，難度一般。

高考題千變?nèi)f化、常出常新，命題人更是人才濟(jì)濟(jì)、別出心裁，對我們學(xué)生來說，能夠立足根本、以不變應(yīng)萬變才是正確的備考之路。

（責(zé)任編輯 王福華）