概率與統計易錯題歸類剖析

編者的話：同學們在學習的過程中，難免會出現錯解的現象。本期“易錯題歸類剖析”欄目推出的文章，注重剖析錯解原因，注重補充知識缺陷，注重題目引申變換，希望同學們認真領會，學以致用，不再發生類似的錯解。本期特約河南省項城市第一高級中學的于建偉、尚曉琳兩位老師為同學們解讀相關知識。愿同學們通過閱讀，能從中感悟知識的結構與拓展，把握第19題、第20題的命題特點與趨勢。

概率統計板塊題型繁多，方法豐富，稍不注意，就會出錯，本文選取了部分同學易出錯的地方進行辨析，以饗讀者。

一、運用兩個基本原理時分步分類不全出錯

例1 已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7），映射f：A→B滿足f（1）

A.C1A3

B.C7

C.77

D.C47 3

錯解：因為廠（1）

錯因分析：C4中的任何一種方法都沒有完成組成映射這件事情，因為只找到1，2，3，4的象，而5，6，7的象還沒有確定。

解答提示：由映射的定義知f（1），f（2），f（3），f（4）的值應為{1，2，3，4，5，6，7）中的某4個，又，（1）

例2 現有8人進行乒乓球單打比賽，水平高的總能勝水平低的，欲選出水平最高的兩人，則至少需要比賽的場數為______。（用數字作答）

錯解：每兩人之間比賽一場，需要比賽C8=28（場），填28場。或第一輪分成4對進行比賽，負者被淘汰，勝者進入第二輪，需4場比賽;第二輪分成2對進行比賽，勝者為水平最高的兩人，需2場比賽。所以至少需要比賽6場，填6場。

錯因分析：前一種解法的錯誤是沒有看清題意，對“至少”一詞沒有理解好;后一種解法的錯誤是沒有選出水平最高的兩人，錯誤地認為這種淘汰賽最后的兩人就是水平最高的兩人，實際上第二名有可能在第一輪或第二輪就被第一名淘汰了。

解答提示：先將8人分成4對進行比賽，勝者進入第二輪，需要4場比賽，將進入第二輪的4人分成2對進行比賽，勝者進入第三輪，需要2場比賽，進入第三輪的2人進行比賽，勝者為第一名，需1場比賽;將第一輪、第二輪、第三輪被第一名淘汰的選手共3人決m第一名，需2場比賽。所以至少需要4+2+1+2=9（場）比賽。

復習建議：兩個基本原理是學習排列、組合的重要基礎，解決兩個原理的應用問題，首先要明確所完成的事情是什么，然后再分析每一種做法事情是否完成，從而區分分類計數原理和分步計數原理。運用分類計數原理時，要恰當分類，做到既不重復，又不遺漏;運用分步計數原理時，關鍵是分好步，需要分析要分幾步才能完成。一個比較復雜的問題一般遵循先分類后分步的解題步驟，平時應注意養成一題從多角度來解的習慣。

二、計數時不能準確把握題意出錯

例3 用0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的五位數，其中恰有一個偶數數字夾在兩個奇數數字之間的五位數的個數是——。

錯解：將兩個奇數數字排好有A2種方法，有三個空當，由于O不能在首位，所以偶數數字的排法有2A2種，所以不同的五位數有2A2.A2 =8（個）。

錯因分析：對相鄰問題的一般解法不熟悉，錯解中的8個是符合題意的，但只是其中一種情況，遺漏了其他情況。

解答提示：分兩種情況：（l）若O夾在兩個奇數之間，將這三個數字看成一個整體與剩下的兩個偶數一起排列有A2種，考慮到1與3可以互換位置所以這種情況有A2.A2 =12（個）;（2）若2，4中一個夾在兩個奇數數字之間，同上面的想法，共有Cl.Cl.A2· A2=16（個）。所以滿足條件的五位數的個數是12+16=28（個）。

三、二項式定理公式的運用出錯

復習建議：二項式定理的核心是通項公式，求二項式展開式中的特定項或特定項的系數通常從通項公式人手，所以對通項的理解、記憶和應用是重點。二項式定理是一個恒等式，對待恒等式通常有兩種思路：一是利用恒等的多項式對應的系數相等;二是賦值。事實上，二項式定理結合“恒等”與“賦值”兩條思路可以使很多求二項式展開式的系數的問題迎刃而解，近幾年高考對二項式定理的考查一般為選擇、填空題，我們在復習時應有主動應用二項式定理解題的意識。

四、古典概型基本事件的理解出錯

例5某人有5把鑰匙，其中有l把可以打開房門，但忘記了開門的是哪一把，于是他逐把不重復地試開，那么恰好第3次打開房門的概率是

五、獨立事件概念的理解出錯

例6 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題，規定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格。

（1）分別求甲、乙兩人考試合格的概率;

（2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。

錯因分析：相互獨立事件的概念理解錯誤，只有當事件A發生與否對事件B沒有任何影響時，才能說A與B相互獨立。而錯解中，“答對第一題”這個事件發生與不發生對“答對第二題”這個事件有影響。所以它們之間不獨立。

解答提示：（l）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，那么對于A：基本事件總數為C10，而考試合格的可能有：①答對2題，共C6C4;②答對3題，共C3。

復習建議：對于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考慮了順序，則分子也應考慮順序;將一個較復雜的事件進行分解時，一定要注意各事件之間是否互斥，還要注意有無考慮全面;有時正面情況較多，應考慮利用公式P （A）=1 -P（A）;對于A、B是否獨立，應充分利用相互獨立的定義，只有A、B相互獨立，才能利用公式P（A · B）=P（A） · P（B）。還應注意獨立與互斥的區別，不要把兩者弄混淆。

六、在幾何概型中“測度”確定不準出錯

例7 如圖1所示，在等腰Rt△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部任意作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

七、隨機變量取值出錯

例8 盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個。第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同）。記第一次與第二次取出的球的標號之和為亭。

（1）求隨機變量ξ的分布列;

（2）求隨機變量ξ的數學期望。

錯解：（l）依題意，ξ的取值是3，6，7，它們所對應的概率分別為0. 24，0.18，0.24，故隨機變量ξ的分布列如表l：

錯因分析：隨機變量ξ的取值不正確，當然伴隨著概率之和也不等于1，由于兩次可能取到相同標號的球，所以隨機變量ξ的取值應為2，3，4，6，7，10。

解答提示：（1）由題意可得，隨機變量ξ的取值是2，3，4，6，7，lO。因為P（ξ=2）一0.3×0.3=0. 09，P（ξ=3）=2×0.3×0.4=0. 24，P （ξ=4）=0.4×0.4=0.16，P （ξ=6）=2×0.3×0.3-0.18，P（ξ=7）=2×0.4×0. 3=0. 24，P（ξ=10）=0.3×0.3=0.09。故隨機變量ξ的分布列如表2：

（2）隨機變量ξ的數學期望E（ξ）=2×0. 09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2。

復習建議：離散型隨機變量的分布列、數學期望與方差是概率統計的重點內容。求離散型隨機變量的分布列的步驟是：（1）根據問題實際找出隨機變量ξ的所有可能值x_i;（2）求出各個取值的概率P（ξ=x_i）=P_i;（3）畫出表格，填人相應數字。其中隨機變量ξ的取值很容易出現錯誤，解題時應認真推敲，對于概率通常利用所有概率之和是否等于1來進行檢驗。期望與方差的計算公式，尤其是方差的計算公式較為復雜，要在理解的基礎上進行記憶。

八、統計圖表識圖出錯

例9 圖3所示的是某公司（共有員工300人）2012年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此可知，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的大約有

人。

錯解：由頻率分布直方圖知，員工中年薪在1.4萬元-1.6萬元之間的頻率為1（0.02+0. 08+0. 10+0. 10+0.08） =0.62.

所以估計年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的員工約有300×0. 62 =186（人）。

錯因分析：本題主要混淆頻率分布直方圖與條形圖縱軸的意義，頻率分布直方圖中，縱軸（矩形高）表示“頻率/組距”，每個小矩形的面積才表示落在該區間上的頻率，由于概念不清，識圖不準，導致計算錯誤。

解答提示：由所給圖形可知，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的頻率為1（0. 02+0.08+0.08+0.10+0.10）×2 =0. 24。所以員工中年薪在1.4萬元-1.6萬元之間的共有300×0. 24=72（人）。

九、統計抽樣概念理解出錯

例10 樣本總體中有100個個體，隨機編號為0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10，現用系統抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規定：如果在第1組抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數字與m+k的個位數字相同。若m=6，則在第7組中抽取的號碼是__________。

錯解：由于m=6，k=7，因為m+k=13，它的個位數字是3，所以在第7組中抽取的號碼是73。或這樣解答：由于第1組抽取的為6號，則第2組抽取的為16號，…，第7組抽取的為66號。

錯因分析：答案為73的錯因是：第7組中個體的號碼錯誤，第7組應為61，62，…，69。答案為66的錯因是：死套課本上介紹的方法，不管問題實際。

解答提示：因為m=6，k=7，所以m+k=13，它的個位為3，依題意第7組的號碼為61，62，…，69。所以第7組抽取的號碼應為63。

復習建議：對于抽樣方法及統計案例，近幾年高考都有考查，平時學習應以基礎知識為主。抽樣方法主要是概念的理解，總體分布的估計重點是理解統計圖表的含義，統計案例重在理解統計解決問題的思想方法。

（責任編輯 王福華）