概率統計創新題型解析

編者的話：“創新題追根溯源”欄目里的例、習題都非常新穎，有的是原創題，有的是改編題，每一道題都非常注重多解多變。當然，在注重數學閱讀的高考大背景下，同學們還要把握核心考點，擴大知識視野，用扎實的基本功應對數學試題的萬千變化。本期特約河南省項城市第一高級中學的胡德軍、王璞兩位老師為同學們解讀相關知識。愿同學們通過閱讀，能從中感悟知識的結構與拓展，把握第19題、第20題的命題特點與趨勢。

概率統計是實施新課標之后高考變化較大的一個模塊，經過對近幾年高考試題的觀察分析，不難發現概率統計試題一般在新穎化、生活化的情境中，結合數學文化、社會熱點，選取一些貼近生活的素材，考查學生提取信息、分析數據、解決問題的能力，以體現概率統計的應用價值。下面選取近年來各類數學考試中與概率統計相關的創新試題進行分析。

一、概率與數學文化結合

例l 古希臘數學家阿基米德用窮竭法建立了這樣的結論：“任何由直線和拋物線所包圍的弓形，其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。”如圖1，已知直線x=2交拋物線y²=4x于A，B兩點，點A，B在y軸上的射影分別為D，C。從長方形ABCD中任取一點，根據阿基米德這一理論，則該點位于陰影部分的概率為（ ）。

A.1/2 B.1/3 C.2/3 D.2/5

點評：以數學文化為問題背景，考查幾何概型是本題的一大亮點，整道題目打破以往常見的幾何概型模式思維，借助于古代數學知識直接解題，顯得新穎別致。

二、概率與社會熱點交叉

例2 PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物。根據現行國家標準GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下，空氣質量為一級;在35微克/立方米～75微克/立方米之間，空氣質量為二級;在75微克/立方米以上，空氣質量為超標。從某自然保護區2017年全年每天的PM2.5監測數據中隨機地抽取10天的數據作為樣本，監測值頻數如表1所示：

（l）從這10天的PM2.5日均值監測數據中，隨機抽出3天，求恰有1天空氣質量達到一級的概率;

（2）從這10天的數據中任取3天數據，記ξ表示抽到PM2.5監測數據超標的天數，求ξ的分布列;

（3）以這10天的PM2.5日均值來估計一年的空氣質量情況，求一年（按365天計算）中平均有多少天的空氣質量達到一級或二級（精確到整數）。

點評：本題把隨機變量的分布列與統計結合在一起進行考查，注重社會現實，體現時代精神，試題選擇體現社會熱點，主要考查了離散型隨機變量的分布列、數學期望的求解，解題的關鍵是準確判斷概率模型，求解相應的概率。

例3隨著節能減排意識深入人心，以及共享單車的大范圍推廣，越來越多的市民在出行時喜歡選擇騎行共享單車。為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況，某公司在我市隨機抽取了100名用戶進行調查，得到表3中的數據：

（1）如果認為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎行共享單車”，請完成2×2列聯表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0. 05的前提下，認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關。

（2）每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達人”，視頻率為概率，在我市所有“騎行達人”中，隨機抽取4名用戶。

①求抽取的4名用戶中，既有男“騎行達人”，又有女“騎行達人”的概率;

②為了鼓勵女性用戶使用共享單車，對抽出的女“騎行達人”每人獎勵500元，記獎勵總金額為X，求X的分布列及數學期望。

點評：二項分布是一種常見的離散型隨機變量的分布模型，利用二項分布可以快速地求出隨機變量的分布列，從而簡化了求解過程。而利用二項分布解決問題的關鍵是建立二項分布模型，也是看它是否滿足n次獨立重復試驗，隨機變量是否為這個n次獨立重復試驗中某事件發生的次數。

三、概率與生產生活牽手

例4 菜農定期使用低害殺蟲農藥對蔬菜進行噴灑，以防止害蟲的危害，但采集上市時蔬菜上仍有少量的殘留農藥，食用時需要用清水清洗干凈，表8是用清水x（單位：千克）清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農藥y（單位：微克）的統計表。

點評：本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題。解決此類問題的關鍵是根據所給數據畫出散點圖，根據散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系，必要的時候還需要先進行變換，把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題進行分析，這種題型在前幾年高考中有所涉及。

（責任編輯 王福華）