隱形圓中定角定高破解中考壓軸面積最值（探照燈模型）

楊格瑞

摘 要：在三角形中，如果這個三角形的一個角確定，由這個角的頂點向對邊引的垂線即高也確定，則此時這個三角形面積會存在最小值。如右圖1，直線BC外一點A，A到直線BC距離AD為定值（定高），∠BAC為定角。則BC有最小值。ΔABC的面積由BC決定，BC有最小值，所以ΔABC的面積有最小值。像探照燈一樣所以也叫探照燈模型。這就是“隱形圓”中重要的定角定高模型，定角定高模型主要解決面積最小問題。

關鍵詞：定角定角;隱形圓;面積最小;數學建模

定角定高問題是初中數學學習的重點和難點問題，也是中考考查的重點。所以近年來，各大名校的模考題中經常會出現“隱形圓”中“定角定高”求最值的問題。如2019年陜西省西安市西工大附中一模壓軸25題。此類問題綜合性強，常常會與三角形，四邊形進行結合起來，隱蔽性強，大多數學生不容易想到，加上部分題目的計算量大，就很容易造成學生的丟分。很多學生面對定角定高求最值問題時往往無從下手，其實是他們沒有掌握解決這一問題的方法和策略，也就是數學模型，基于此，在2018屆和2019屆初三復習課中，筆者對“隱形圓”中“定角定高”模型進行潛心研究，旨在探索出解決這類問題的有效措施，并且應用于課堂當中，使得學生在模型中掌握知識和技能，提高解決問題的能力，在中考中得到了很好的應用，學生反映良好。

一、模型建立

我們可以先猜想一下，AD過圓心的時候，這個外接圓是最小的，也就是，BC的長是最小的，從而三角形ABC的面積也是最小的。（定長可用圓處理，特別，定長作為高可用兩條平行線處理）

二、模型證明

四、模型總結

定角定高問題常應用于求此三角形底邊長的最小值，繼而求三角形面積的最小值，問題的關鍵就在作這個動三角形的外接圓，根據“半徑+弦心距定高”求出半徑的最小值，那底邊存在最小值，面積存在最小值。由于底邊的長在變化，此外接圓“隱形圓”的大小也會發生變化，但是在運動過程中于找到“隱形圓”半徑最小值，找到此處為突破口，建立數學模型，綜合性問題就迎刃而解?！岸ń嵌ǜ唠[形圓數學模型”在初三二輪復習時作為“隱形圓”非常重要的模型，他的價值在于積累聯想原型，啟迪解題方向，為隱形圓綜合性問題找到更快更準確的解決方法促進學生數學思維的發展和數學素養的提升。