與圓有關的最值問題的求解策略

■何 芳

直線與圓的關系中存在一些最值問題,如距離的最值、面積的最值等。這類問題可利用數形結合法求解。 下面分類解析。

一、與距離有關的最值問題

例1直線y-3=k(x-1)被圓C:(x-2)2+(y-2)2=5所截得的最短弦長等于____。

解：易知直線過定點,且定點在圓內,當圓被直線截得的弦最短時,圓心到弦的距離最大,此時圓心與定點的連線垂直于弦。

由圓C:(x-2)2+(y-2)2=5,可知圓心C(2,2),半徑為5。直線y-3=k(x-1)恒過定點(1,3),當圓被直線截得的弦最短時,圓心C(2,2)與定點P(1,3)的連線垂直于弦,這時弦心距為。故所截得的最短弦長為

評析：本題主要考查直線與圓相交的性質。過圓內一點的最長弦為圓的直徑,最短弦是以該點為中點的弦。

二、圓的面積的最值問題

例2在平面直角坐標系xOy中,圓C與圓O:x2+y2=1 相外切,且與直線x-2y+5=0 相切,則圓C的面積的最小值為____。

解：畫出圖形,求出最小圓的半徑,即得圓的面積。如圖1,圓心O到直線的距離

圖1

由圖1可知,所求圓的半徑r。故圓C面積的最小值為

評析：本題考查直線與圓位置關系的應用,考查數形結合的解題思想方法。過兩定點的所有圓中,面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓的面積。

三、直線斜率的最值問題

例3若直線y=k(x-2)與曲線有公共點,則k的最小值為( )。

解：直線y=k(x-2)過定點(2,0),作出曲線y=(y≥0)與直線y=k(x-2)的圖像,如圖2所示。

圖2

由y=k(x-2),可得kx-y-2k=0。由直線與圓(半圓)相切可得,解得。所以當直線y=k(x-2)與曲線有公共點時,k的最小值為。應選C。

評析：本題考查直線與圓位置關系的應用,考查數形結合的解題思想方法。需要注意的是題中的曲線是半圓,當直線與圓相切時斜率取得最值。