圓與方程常見典型考題賞析

■趙玉靜 歐陽亮 孔東華

題型1：求圓的方程

求圓的方程主要有兩種方法,即幾何法和代數法。幾何法是利用圓的一些常用性質和定理求解的;代數法是由題目給出的條件,列出等式,求出相關量得解的。

例1已知圓C的圓心在直線x+y=0上,圓C與直線x-y=0相切,且在直線xy-3=0上截得的弦長為6,則圓C的方程為_____。

解：由所求圓的圓心在直線x+y=0上,可設所求圓的圓心為(a,-a)。

因為所求圓與直線x-y=0相切,所以半徑。 又所求圓在直線x-y-3=0 上截得的弦長為6,圓心(a,-a)到直線x-y-3=0 的距離d=,所以,即,解得a=1。 故圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=2。

跟蹤訓練1：經過三點A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圓的面積S=( )。

A.π B.2π

C.3π D.4π

提示：根據A,B兩點的坐標特征可知圓心在直線x=1 上,設圓心坐標為(1,a),則r= 4+a2= (a-2)2,所以a=0,r=2。故圓的面積S=4π。應選D。

題型2：與圓有關的最值問題

與圓有關的最值問題是高考的熱點,這類問題著重考查數形結合與轉化思想的應用。常見的命題角度有:①斜率型最值問題,即形如的最值問題,可轉化為動直線斜率的最值問題;②截距型最值問題,即形如t=ax+by的最值問題,可轉化為動直線截距的最值問題;③距離型最值問題,即形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題;④建立目標函數求最值問題。

例2圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點到直線x-y= 2 的距離的最大值是( )。

A.1+ 2 B.2

C.1+ 2 2D.2+2 2

解：將圓的方程化為(x-1)2+(y-1)2=1,可知圓心坐標為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x-y=2的距離,故圓上的點到直線x-y=2的距離的最大值為d+1= 2+1。應選A。

跟蹤訓練2：已知實數x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則的最大值為____,最小值為____。

提示：原方程可化為(x-2)2+y2=3,此方程表示以(2,0)為圓心,3為半徑的圓。的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率,可設=k,即y=kx。如圖1所示,當直線y=kx與圓相切時,斜率k取得最大值或最小值,此時,解得k=。故的最大值為3,最小值為

圖1

題型3：與圓有關的軌跡問題

求與圓有關的軌跡問題時,根據題設條件的不同常采用以下方法:①直接法,即根據題目提供的條件列出方程;②定義法,即根據圓的定義列出方程;③幾何法,即利用圓的性質列出方程;④相關點代入法,即找到要求點與已知點的關系,代入已知點滿足的關系式。

例3點P(4,-2)與圓x2+y2=4 上任意一點連接的線段的中點的軌跡方程為( )。

A.(x-2)2+(y+1)2=1

B.(x-2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4

D.(x+2)2+(y-1)2=1

解：設中點為A(x,y),圓上的任意一點為B(x',y')。

跟蹤訓練3：已知圓x2+y2=4 上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內一點,P,Q為圓上的動點。

(1)求線段AP中點的軌跡方程。

(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程。

提示：(1)設AP的中點為M(x,y)。

由中點坐標公式可知,點P的坐標為(2x-2,2y)。

因為點P在圓x2+y2=4 上,所 以(2x-2)2+(2y)2=4,故線段AP中點的軌跡方程為(x-1)2+y2=1。

(2)設線段PQ的中點為N(x,y)。在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|。設O為坐標原點,則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,可得x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4。故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0。

題型4：直線與圓的位置關系問題

直線與圓的位置關系的常見判斷方法:①幾何法,即利用d與r的關系判斷。②代數法,即聯立方程利用判別式判斷。③點與圓的位置關系法,如若直線恒過定點且定點在圓內,則直線與圓相交。

例4直線mx-y+2=0 與圓x2+y2=9的位置關系是( )。

A.相交 B.相切

C.相離 D.無法確定

解：已知圓x2+y2=9的圓心坐標為(0,0),半徑為3,直線mx-y+2=0 恒過定點A(0,2),而02+22=4＜9,所以點A在圓的內部,可知直線mx-y+2=0 與圓x2+y2=9相交。應選A。

或者,利用圓心到直線的距離,也可以判斷(解略)。

跟蹤訓練4：若曲線x2+y2-6x=0(y＞0)與直線y=k(x+2)有公共點,則k的取值范圍是( )。

A.[-34,0) B.(0 ,34)

C.(0,34] D.[ -34,34]

提示：已知直線過定點(-2,0)。

x2+y2-6x=0(y＞0)可化為(x-3)2+y2=9(y＞0),所以此曲線表示圓心為(3,0),半徑為3的上半圓(圖略),它與直線y=k(x+2)有公共點的等價條件是圓心(3,0)到直線y=k(x+2)的距離d≤3,且k＞0,所以≤3,且k＞0,解得0＜k≤。應選C。

題型5：圓與圓的位置關系問題

判斷兩圓的位置關系常用幾何法,即用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關系,一般不采用代數法。當兩圓相交時,求公共弦所在的直線方程或公共弦長,只需把兩圓的方程相減就是公共弦所在的直線方程,再根據其中一個圓和這條直線即可求出公共弦長。

例5 若圓C1:x2+y2=m2(m＞0)內切于圓C2:x2+y2+6x-8y-11=0,則m=____。

解：由x2+y2=m2(m＞0),可得圓心C1(0,0),半徑r1=m。圓C2的方程可化為(x+3)2+(y-4)2=36,則圓心C2(-3,4),半徑r2=6。 因為圓C1內切于圓C2,所以|C1C2|=6-m。 又因為|C1C2|=5,所以m=1。

跟蹤訓練5：在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:x2+y2-4x=0 及點A(-1,0),B(1,2)。在圓C上存在點P,使得|PA|2+|PB|2=12,則點P的個數為( )。

A.1 B .2

C.3 D .4

提示：設點P(x,y),圓C的方程可化為(x-2)2+y2=4。由|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,可得x2+(y-1)2=4。因為所以圓(x-2)+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交,可知點P的個數為2。應選B。

題型6：圓的弦長問題

計算弦長時,要利用半徑、弦心距(圓心到弦所在直線的距離)、半弦長構成的直角三角形求解。一般地,圓錐曲線的弦長公式是:或,其中A(x1,y1),B(x2,y2)為弦的兩個端點。

例6已知直線l:x+y-1=0截圓O:x2+y2=r2(r＞0)所得的弦長為 14,點M,N在圓O上,且直線l':(1+2m)x+(m-1)·y-3m=0過定點P,若PM⊥PN,則|MN|的取值范圍為( )。

A.[2- 2,2+ 3]

B.[2- 2,2+ 2]

C.[6- 2,6+ 3]

D.[6- 2,6+ 2]

解：依題意可得,解得r=2。由直線l':(1+2m)x+(m-1)y-3m=0過定點P,由此可得點P(1,1)。設線段MN的中點為Q(x,y),則OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化簡可得,所以點Q的軌跡是以為圓心,為半徑的圓。因為,所以的取值范圍為,則|MN|的取值范圍為[6- 2,6+ 2]。應選D。

跟蹤訓練6：已知直線l經過點P(-4,-3),且被圓(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦長為8,則直線l的方程是____。

提示：由已知條件知圓心為(-1,-2),半徑r=5,弦長m=8。設弦心距為d,由勾股定理可得r2=d2+,即得d=3。

若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=-4,圓心到直線的距離是3,符合題意。若直線l的斜率存在,設為k,則直線l的方程為y+3=k(x+4),即kx-y+4k-3=0,可得,即9k2-6k+1=9k2+9,解得k=,可知直線l的方程為4x+3y+25=0。綜上可得,直線l的方程是x+4=0或4x+3y+25=0。

題型7：與圓有關的定點問題

直線或圓過定點問題(其他曲線過定點太復雜,高中階段一般不涉及),其實質是:當動直線或動圓變化時,這些直線或圓相交于一點,即這些直線或圓繞著定點在轉動。這類問題的解法有兩種,即特殊推理法和直接推理法。

例7已知圓O:x2+y2=1,點P為直線上一動點,過點P向圓O引兩條切線PA,PB,A,B為切點,則直線AB經過定點( )。

解：因為點P是直線上的一動點,所以設點P(4-2m,m)。

因為PA,PB是圓x2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以點A,B在以OP為直徑的圓C上,即弦AB是圓O和圓C的公共弦。

因為圓心C的坐標為,且半徑的平方為,所以圓C的標準方程為,而圓O的方程為x2+y2=1,兩方程相減可得(2m-4)x-my+1=0,即公共弦AB所在的直線方程為(2x-y)m+(-4x+1)=0。

跟蹤訓練7：在平面直角坐標系xOy中,已知圓C與y軸相切,且過點M(1,3),N(1,- 3)。

(1)求圓C的方程。

(2)已知直線l與圓C相交于A,B兩點,且直線OA與直線OB的斜率之積為-2。求證:直線l恒過定點,并求出定點的坐標。

提示：(1)因為圓C過點M(1,3),N(1,- 3),所以圓心C在線段MN的垂直平分線上,即在x軸上,可設圓心為C(a,0),易知a＞0。又因為圓C與y軸相切,所以圓C的半徑r=a,所以圓C的方程為(x-a)2+y2=a2。因為點M(1,3)在圓C上,所以(1-a)2+(3)2=a2,解得a=2。故圓C的方程為(x-2)2+y2=4。

(2)記直線OA的斜率為k(k≠0),則其方程為y=kx。

由k·kOB=-2,可得kOB=,所以直線OB的方程為y=,在點A的坐標中用代換k,可得點

當直線l的斜率不存在時,由,可得k2=2,由此可得直線l的方程為,這時直線l過定點

當直線l的斜率存在時,由,可 得k2≠2,則 直 線l的 斜 率 為,由此可得直線l的方程為,這時直線l過定點

故直線l恒過定點,其定點坐標為

編者注：本文系2019年度鄭州市教育科學規劃研究項目 “高中數學導數及其應用微課程與微課程資源開發研究”(2019-ZJKYB-S24-002)、2017年河南省教育科學 “十三五”規劃重點項目 “高中數學競賽微課程資源開發與應用研究”(2017-JKGHDHZX-094)、2019年河南省基礎教育教學重點研究項目 “基于LFSTM 模式的中學數學解題靶向研究”(JCJYB19030012)的研究成果。