淺析圓的方程的應用

■胡 彬

圓的方程的應用是高考的常見考點。下面舉例分析圓的方程的應用。

題型一：與圓的幾何性質有關的最值問題

例1已知實數x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0。

(2)求y-x的最大值與最小值。

(3)求x2+y2的最大值與最小值。

解：(1)原方程可化為(x-2)2+y2=3,此方程表示以點(2,0)為圓心,3為半徑的圓。設,即y=kx,當直線y=kx與圓相切時,斜率k取得最大值和最小值。

(2)設y-x=b,即y=x+b,當直線y=x+b與圓相切時,縱截距b取得最大值和最小值。由,可得b=-2± 6,故y-x的最大值為-2+ 6,最小值為-2- 6。

(3)x2+y2表示圓上的點與原點的距離的平方。由平面幾何知識可知,在原點和圓心的連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小 值。 因 為 圓 心 到 原 點 的 距 離 為=2,所以x2+y2的最大值是(2+ 3)2=7+4 3,x2+y2的最小值是(2- 3)2=7-4 3。

評析：與圓有關的最值問題,常見的有以下幾種類型:①形如的最值問題,可轉化為動直線斜率的最值問題;②形如t=ax+by的最值問題,可轉化為動直線截距的最值問題;③形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題。

題型二：利用圓的方程，建立函數關系求最值

例2已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,0),B(m,0)(m＞0),若圓C上存在點P,使得∠APB=90°,則m的最大值為_____。

解：由題意畫出圖形,如圖1 所示,則圓心C的坐標為(3 ,4),半徑r=1,且

圖1

由∠APB=90°,可知=m,要求m的最大值,即求圓C上的點P到 原 點O的 最 大 距 離。 因 為=5,所以即m的最大值為6。

評析：解答本題的關鍵是根據題中條件,列出關于所求目標函數的關系式求最值。

題型三：與圓有關的對稱問題

例3已知圓C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圓C2與 圓C1關 于 直 線x-y-1=0 對稱,則圓C2的方程為____。

解：圓C1的圓心坐標為(-1,1),半徑為1。設圓C2的圓心坐標為(a,b)。由題意可得解得所以圓C2的圓心坐標為(2,-2)。因為兩圓的半徑相等,故圓C2的方程為(x-2)2+(y+2)2=1。

評析：圓的軸對稱性,就是圓關于直徑所在的直線對稱。