直線與圓的位置關系問題

■林 童

數學學習,效率為先,同學們必須跳出題海,研究方法,提升認知。對于直線與圓的位置關系問題,我們應該把握如下三點解題 “精髓”:①數形結合法,即善于觀察圖形,充分運用平面幾何知識,尋找解題途徑;②等價轉化,如把切線長的最值問題轉化為圓外的點到圓心的距離問題,把公切線的條數問題轉化為兩圓的位置關系問題,把弦長問題轉化為弦心距問題等;③待定系數法,即 “設而不求”,簡化解題過程。欲知詳情,讓我們一起走進直線與圓的位置關系問題 “加油站”。

一、直線與圓位置關系的判斷

例1直線l:mx-y+1-m=0 與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關系是( )。

A.相交 B.相切

C.相離 D.不確定

分析：從 “數”的角度分析,考查由直線方程與圓的方程聯立的方程組的解的情況;從“形”的角度分析,考查圓心到直線的距離與圓的半徑大小的關系,也可以考查直線是否過定點,且定點是否在圓內。

解法1：由消去y,整理可得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0。

因為Δ=16m2+20＞0 恒成立,所以直線l與圓相交。應選A。

解法2：由題意可知,圓心(0,1)到直線l的距離,故直線l與圓相交。應選A。

解法3：因為直線l:mx-y+1-m=0過定點(1,1),且點(1,1)在圓x2+(y-1)2=5的內部,所以直線l與圓相交。應選A。

判斷直線與圓的位置關系常見的三種方法:幾何法,即利用d與r的關系;代數法,即聯立方程組,利用判別式判斷;點與圓的位置關系法,如直線恒過定點且定點在圓內,這時直線與圓相交。

二、直線與圓的相切問題

例2將直線2x-y+λ=0沿x軸向左平移1個單位,所得直線l與圓C:x2+y2+2x-4y=0相切,則實數λ的值為( )。

A.-3或7 B.-2或8

C.0或10 D.1或11

分析：本題考查平移公式,考查直線與圓的位置關系,正確理解平移公式和直線與圓相切的充要條件是解題的關鍵。

解法1：(幾何法)由題意可知,直線2xy+λ=0沿x軸向左平移1個單位后所得直線l的方程為2(x+1)-y+λ=0,已知圓的圓心為C(-1,2),半徑為5。

解法2：(代數法)設切點為P(x,y),則點P(x,y)滿足2(x+1)-y+λ=0,即y=2(x+1)+λ,代入圓方程整理可得5x2+(2+4λ)x+λ2-4=0。由直線與圓相切可知此方程只有一個解,所以Δ=0,即λ2-4λ-21=0,解得λ=-3或λ=7。應選A。

解法1 是利用切線的幾何特征,將原問題轉化為點到直線的距離問題求解的;解法2 是利用切線的代數特征,將原問題轉化為方程組有唯一解求解的。這兩種方法都是同學們必須掌握的基本方法。

三、直線與圓的相交問題

例3已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0 相交于P,Q兩點,O為坐標原點,且OP⊥OQ,求實數m的值。

分析：設P,Q兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則 由kOP·kOQ= -1,可 得x1x2+y1y2=0,再利用一元二次方程的根與系數的關系求解。或者,利用過原點的直線的斜率為,由直線與圓的方程構造以為未知數的一元二次方程,根據根與系數的關系得出kOP·kOQ的值,可使問題得以解決。

解法1：設點P,Q的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)。

由OP⊥OQ,可得kOP·kOQ= -1,即,也即x1x2+y1y2=0 ①。

因為點(x1,y1),(x2,y2)是方程組的實數解,即x1,x2是方程5x+10x+4m-27=0 ②的兩個根,所以x1+x2=-2,x1x2=③。

又因為P,Q在直線x+2y-3=0 上,所以,將③代入此式可得④。

將③④代入①,解得m=3。將m=3代入②可得x2+2x-3=0,此方程顯然Δ＞0成立,故m=3。

解法2：由直線方程可得3=x+2y,代入圓的方程x2+y2+x-6y+m=0,可得=0,整理可得(12+m)x2+4(m-3)xy+(4m-27)y2=0。

由x≠0,可得(4m-27),所以kOP,kOQ是此方程的兩個實數根,故kOP·kOQ= -1,由此可得,解得m=3。

經檢驗可知m=3即為所求。

解答本題時,要注意避開求P,Q兩點坐標的具體數值。除此之外,還要對求出的m值進行必要的檢驗,這是因為在求解過程中并沒有確保交點P,Q存在。解法1揭示了解這類問題的一種通法,解法2的關鍵在于依據直線方程構造出一個關于的二次齊次方程,雖有規律可循,但需要一定的變形技巧,同時也可以看出這種解法給人一種一氣呵成之感。

1.已知點M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關系是( )。

A.相切 B.相交

C.相離 D.不確定

提示：因為點M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,所以a2+b2＞1。

由圓心O(0,0)到直線ax+by=1的距離,可知直線與圓相交。應選B。

2.圓(x-3)2+(y-3)2=9上到直線3x+4y-11=0 的距離等于1 的點的個數為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

提示：因為圓心(3,3)到已知直線的距離為,又圓的半徑為3,所以直線與圓相交。

如圖1所示,圓上到直線的距離為1 的點有3個。應選C。

圖1