點到直線的距離公式的妙證與妙用

■楊錦坤

同學們都知道,點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的距離為,課本上已經給出了幾種證明方法。 那么它還有其他巧妙的證法嗎? 這個公式除了一般用法,還有其他妙用嗎?

一、公式的兩個妙證

妙法1：三角函數法

如圖1所示,設A≠0,B≠0,這時直線l與x軸,y軸都相交,過點P(x0,y0)作直線l的垂線PQ,垂足為Q,過點P(x0,y0)作x軸的平行線,交直線l于點R(x1,y0)。

圖1

當A≠0,B=0時,直線l的方程為,直線PQ的方程為y=y0,可得∠RPQ=0°,此時,上述公式仍適用;

當A=0,B≠0時,直線l的方程為,直線PQ的方程為x=x0,可得∠RPQ=90°,此時,上述公式仍適用。

故點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0 (A,B不同時為 0)的距離

說明:利用上述方法,也可以作y軸的平行線得到點到直線的距離公式。

妙法2：根的判別式法

對于實數a,b,因為(a-b)2=a2+b2-2ab≥0,所以a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時取等號。

由此可設k為任一非零參數,則當且僅當x-x0=Ak,y-y0=Bk時等號成立。

上式可看成關于參數k的一元二次不等式,因其對參數k恒成立,故,由此解得,當且僅當x=時等號成立。

因此點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的距離d=

二、公式的兩個妙用

1.證明不等式

例1已知實數x,y,z滿足x+y+z=a,x2+y2+z2=

求證:0≤z≤

證明：由題意可知,在平面直角坐標系xOy中,直 線x+y+(z-a)=0 與 圓x2+(把z當作常數)有公共點,從而圓心到直線的距離不大于半徑,即,所以(z-a)2≤a2-2z2。由此可得3z2-2za≤0,且a＞0,所以

本題利用方程的幾何意義,把已知條件轉化為直線與圓的位置關系,從而利用點到直線的距離公式來證明,避免了煩瑣的代數推理,顯得十分簡捷明快。

2.求函數的最值

例2求函數的最值。

解：利用點到直線的距離公式可將原函數轉化為,其中可理解為動點)到直線x-y+2=0的距離。不難得到動點(x, 1-x2)的軌跡為單位圓的上半部分,如圖2所示。

圖2

由上可知原函數的最小值即為原點到直線x-y+2=0的距離與單位圓的半徑之差的倍,即,而最大值為點(1,0)到直線x-y+2=0的距離的2倍,即故此函數的最大值為3,最小值為2- 2。

函數的值域問題是函數中的一個難點問題。本題中含有根號,解答時讓人感覺“束手無策”,但函數式中的絕對值符號可令人聯想到點到直線的距離公式,進而通過式子變形探究其幾何意義,使得原問題的“真實面目”得以顯現。解答本題時,利用數形結合思想,可使問題迎刃而解。

1.已知直線l過點P(3,4)且點A(-2,2),B(4,-2)與直線l等距離,則直線l的方程為_____。

提示：顯然,當直線l的斜率不存在時,不滿足題意。

當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0。

故所求直線l的方程為2x-y-2=0或2x+3y-18=0。

2.若直線l1:x-2y+m=0(m＞0)與直線l2:x+ny-3=0之間的距離是5,則m+n=____。

提示：因為直線l1:x-2y+m=0(m＞0)與直線l2:x+ny-3=0 之間的距離為5,可知直線l1與直線l2平行,所以可得方程組即得n=-2,m=2(m=-8＜0,舍去)。故m+n=0。