有關傾斜角與斜率范圍問題剖析

■胡 磊 魏 偉

斜率是高中數學的重要概念,它具有數的特征也有形的性質,斜率的取值范圍問題綜合性強,解法靈活。傾斜角與斜率關系密切,下面具體剖析幾例這類問題的求解策略。

一、根據三角函數性質求傾斜角的取值范圍

例1直線x+ysinα-1=0(α∈R)的傾斜角的取值范圍是____。

解：設直線x+ysinα-1=0(α∈R)的傾斜角為θ,θ∈[0,π)。當sinα=0 時,直線方程為x=1,此時直線的傾斜角為;當sinα≠0 時,直 線 的 斜 率 為,可得,且。 故所求傾斜角的取值范圍是

評析：本題考查直線的斜率與傾斜角的關系,考查三角函數性質以及推理能力。

二、根據數形結合法求參數的取值范圍

例2已知直線l:kx-y+k-2=0和兩點A(3,0),B(0,1),使得直線l與線段AB有公共點(含端點)的k的范圍是____。

解：由題意可知,直線l過定點P(-1,-2),所以,畫出圖形,如圖1所示。

圖1

評析：明確已知直線過定點是解答本題的關鍵。

三、根據交點所在象限求傾斜角的取值范圍

例3若直線l:y=kx- 3與直線x+y-3=0 相交,且交點在第一象限,則直線l的傾斜角的取值范圍是____。

解：由可解得兩 直 線 的 交 點 坐 標 為。因為兩直線的交點在第一象限,所以。設直線l的傾斜角為θ,則故θ∈(30°,90°),即所求傾斜角的取值范圍為(30°,90°)。

評析：掌握直線的傾斜角與斜率的關系是解決問題的關鍵。

四、根據斜率的幾何意義求取值范圍

例4已知點P在直線x+2y-1=0上,點Q在直線x+2y+3=0 上,線段PQ的中點為M(x0,y0),且1≤y0-x0≤7,則的取值范圍是_____。

解：因為直線x+2y-1=0與x+2y+3=0平行,所以點M的軌跡是與兩直線距離相等的一條直線,其方程為x+2y+1=0,即點M(x0,y0)滿足x0+2y0+1=0,且滿足不等式1≤y0-x0≤7,如圖2所示。表示線段AB上的點與原點連線的斜率,其中點A(-1,0)。

圖2

評析：本題主要考查直線斜率的幾何意義在解決問題中的應用。