基于煤體三軸蠕變試驗的非線性伯格斯模型

屈麗娜

（中原工學院 能源與環境學院，河南 鄭州451191）

0 引 言

煤與瓦斯突出是煤礦井下開采過程中面臨的最嚴重的災害事故，是瓦斯壓力、地應力及地質構造作用等多重因素影響下的一種時效性問題，我國學者周世寧認為煤與瓦斯突出亦是時間效應下蠕變作用的結果［1-2］。鉆孔瓦斯抽采可迅速降低煤層瓦斯壓力、瓦斯含量，是解決該類煤礦事故的最根本技術手段，在我國各大礦區得到了大量應用［3］。然而在實際工程中，由于煤體蠕變效應而導致鉆孔發生變形、失穩、甚至塌孔，降低了煤礦井下瓦斯抽采效率，難以達到理想的消突效果，這對井下回采工作仍具有重大的安全隱患［4-5］。因此，深入探究煤體蠕變特征及其適用模型對煤體失穩預測、瓦斯抽采都具有重要的工程意義。

近年來眾多學者對巖石流變問題開展了大量試驗及理論研究，取得了豐碩的研究成果，提出一些經驗模型及經典的理論模型［6-9］，這都為煤礦開采工程方面的理論研究奠定了重要的基礎。楊逾利用一個非線性黏壺與西原模型進行串聯得到了改進的西原加速模型，彌補了西原模型無法描述加速蠕變階段的缺陷［10］；李祥春通過對西原加速模型進行優化，保留了慣性元件中的二階項，從而解決了模型滯后性的缺陷［11］。王路軍則根據分數階導數理論推導出煤體非線性三維本構模型，并與煤體卸圍壓蠕變數據取得了理想的擬合結果［12］。Kang在考慮煤體損傷效應下對西原模型進行改進，建立了一個分數階非線性蠕變模型，并與煤體單軸蠕變數據進行擬合分析對模型進行了驗證［13］。此外，巨能攀則根據前人經驗將一個黏塑性體與伯格斯模型進行串聯，較好地反映出不同含水率的泥巖的蠕變特性［14］。楊逾則基于Lemaitre原理對伯格斯模型進行了改進，從而實現了對煤礦巷道圍巖（砂巖）蠕變特征的描述［15］。Zhang基于瞬時塑性應變的特點，定義了瞬時塑性模量，建立了修正的Burgers模型，并利用砂巖的單軸壓縮蠕變試驗對模型進行了驗證［16］。

較一般巖石而言，煤體是一類天然有機礦物，在漫長的地質演化過程中內部發育了大量節理、裂隙，相關工程研究表明該類裂隙軟巖的流變性相對于一般巖石材料更為顯著［17-18］，因此在井下復雜環境下煤體強度的時效問題就顯得尤為重要。文中通過開展原煤三軸蠕變試驗，分析不同蠕變載荷下煤樣軸向應變隨時間的變化規律，并提出Burgers模型的改進方法，得到一個七元件的非線性蠕變模型，以便為煤體穩定性的時效性問題提供參考。

1 原煤三軸壓縮蠕變試驗

1.1 試驗原理及方法

原煤三軸壓縮試驗采用RLW-500G煤巖三軸蠕變-滲流試驗系統，試驗原理如圖1所示；該系統由軸向加載系統、圍壓加載系統、孔隙水壓加載系統、伺服系統、控制系統、數據采集和自動繪圖系統等部分組成。軸向加載系統和圍壓加載系統的控制部分采用全數字伺服控制器，可以自動完成煤巖三軸蠕變試驗。

圖1 試驗原理Fig.1 Experimental schematic

煤樣取自河南焦煤集團九里山礦，煤種為無煙煤，煤樣工業分析及基礎參數如下：吸附常數a為29.412 m3/t，吸附常數b為2.252 MPa-1，真密度1.56 g·cm-3，視密度1.49 g·cm-3，水分0.44%，灰分8.12%，揮發分10.58%，固定碳80.86%.按照國際巖石力學學會（ISRM）試驗規程對采集煤塊進行加工，制成直徑50 mm，高度100 mm的標準圓柱形試樣。

原煤三軸壓縮蠕變試驗采用單試件加載法。由于煤樣取自井下采掘工作面，原煤所受圍壓較低，因此本次實驗采用較低的圍壓1 MPa來模擬井下實際條件。試驗過程中首先利用軸壓和圍壓交替加載的方式至初始條件：軸壓1.5 MPa，圍壓1.0 MPa；然后保持圍壓不變，再以50 N/s的加載速率加載軸壓至預設值后開始煤樣三軸蠕變試驗，試驗過程中記錄煤樣軸向應變變化隨時間的變化結果，待煤樣軸向應變穩定不變或煤樣發生破裂后更換煤樣繼續下一組試驗。試驗分別設置軸向載荷10，20，30，40和50 MPa共計5組試驗。

1.2 試驗結果分析

煤體蠕變試驗得到的是煤樣軸向應變ε1隨時間的變化曲線，原煤三軸壓縮蠕變試驗結果如圖2所示。

圖2 原煤三軸蠕變曲線Fig.2 Triaxial creep curves of raw coal specimens

從圖2可以看出，不同應力水平下煤樣蠕變特征差異明顯，呈現出顯著的瞬時變形。當施加一級載荷10 MPa后，煤體軸向應變迅速增加至0.11%，隨著時間的推移，煤體軸向應變雖不斷增大，但增幅逐漸減小，最終穩定于0.17%.隨著蠕變載荷依次增加至20和30 MPa，煤樣蠕變曲線均呈現出相似的變化規律，且煤樣的軸向變形與施加的應力成正比增加；這說明當外界應力小于煤體長期強度時，煤體均由減速蠕變過渡為等速蠕變，具有衰減蠕變特征。

當載荷達到40 MPa時，煤樣經歷一定時間的等速蠕變后約在3.5 h發生加速蠕變；而在50 MPa載荷條件下，煤樣未呈現明顯的等速蠕變過程，直接由減速蠕變過渡為加速蠕變，這就加快了煤體內裂紋的貫通和匯合過程，使得煤樣軸向應變急劇增加，最終導致煤樣的失穩破壞；這表明當外界應力大于煤體長期強度時，煤體在經歷減速、等速蠕變后會進入加速蠕變階段，具有非衰減蠕變特征，且應力水平越高，煤體越早進入加速蠕變。

從試驗結果可以看出，煤體發生加速蠕變預示著煤體即將發生失穩破壞，因此深入探究煤體蠕變特征及機理對確保井下采掘工作安全進展具有重要意義；特別對于高應力水平下的煤體開挖工程，加強對煤體失穩破壞的預測工作及相應防護措施就顯得尤為重要。

2 線性伯格斯模型分析

關于描述巖石材料流變特征的理論模型方面，伯格斯模型是一個在工程中得到普遍應用的經典模型，該模型是由馬克斯威爾體和凱爾文體串聯構成的流變模型，該模型考慮了巖體黏彈和黏性特征，能夠較好的反映出軟巖的減速和等速蠕變結果，其結構簡單實用，已在大量工程中得到普遍應用［19］。假定煤體體積變化是彈性的，蠕變變形主要由偏差應力引起的，當（σ1-σ2）＜Sh時，等圍壓三軸壓縮應力狀態下的伯格斯模型的蠕變方程可表示為［20］

式中 ε為模型的應變，%；σ1和σ3分別為第一和第三主應力，MPa；G1和G2分別為剪切模量，GPa；η1為黏性參數，（GPa·h）；Sh為材料在三維狀態下的偏屈服應力，MPa；t為蠕變時間，h.

按照式（1）形式，采用Matlab數據分析軟件對載荷小于30 MPa以下具有衰減蠕變特性的煤樣蠕變試驗曲線進行擬合計算，模型參數的擬合結果見表1.

表1 伯格斯模型參數擬合結果Table 1 Parameter fitting results of Burgers model

從表1可看出，模型參數擬合相關系數平方均在0.95以上，擬合結果比較理想；將表1中的模型參數代入式（1），可得到煤樣蠕變擬合曲線，如圖3所示。對比模型擬合曲線和試驗曲線可以看出二者吻合度較高，模型擬合曲線能夠很好地描述煤樣衰減蠕變過程中的減速蠕變和等速蠕變特征，由此說明采用伯格斯模型可以較好地描述煤體衰減蠕變特征。

3 非線性伯格斯模型分析

由上述分析結果可知，伯格斯模型可以成功地描述煤體衰減蠕變過程中的減速蠕變和等速蠕變階段特征，但該模型采用的理想線性元件，無法準確反映煤樣加速蠕變過程中蠕變速率呈非線性增加的變化規律。因此，利用一個非線性黏-彈-塑性體與伯格斯模型進行串聯建立一個七元件的非線性蠕變模型來描述煤體的非衰減蠕變特征。

圖3 伯格斯模型擬合結果Fig.3 Fitting results of Burgers model

3.1 黏-彈-塑性模型建立

文獻［21］表明，當應變軟化材料的黏-彈性流動發展到一定程度后會進入黏-塑性流動。對于煤體而言，一旦進入加速蠕變階段后，煤體的變形會伴隨著內部彈性勢能的釋放，此時煤體流動法則應為黏-彈-塑性流動。因此，利用一個非理想牛頓體與彈性體和塑性元件進行并聯，得到一個非線性黏-彈-塑性體來表示煤體加速蠕變特征，元件模型如圖4所示。

圖4 非線性黏-彈-塑性體Fig.4 Nonlinear visco-elastic-plastic body

在該模型中，非理想牛頓體的蠕變加速度¨ε與應力σ呈正比，其本構關系可表示為［22］

則非線性黏-彈-塑性體的本構方程為

式中 σs為屈服強度，MPa；E3為彈性模量，GPa；η3為黏滯系數，GPa·h.。

對上述進行求解，可得一維狀態下非線性黏-彈-塑性模型的蠕變方程

3.2 非線性伯格斯模型改進

由于圖4中非線性黏-彈-塑性體是針對加速蠕變特征進行改進的，可利用該非線性黏-彈-塑性體與伯格斯模型進行串聯得到一個改進的七元件非線性伯格斯模型來反映煤體的非衰減蠕變過程中的減速、等速和加速蠕變特征，其元件組成如圖5所示。

圖5 非線性伯格斯模型Fig.5 Nonlinear Burgers model

對于圖5中的非線性伯格斯模型，當σ＜σs時，模型中僅伯格斯體發生變形，非線性黏-彈-塑性體表現為剛體；當σ≥σs時，伯格斯體和非線性黏-彈-塑性體均發生變形。在一維狀態下伯格斯體的蠕變方程為［23］

式中E1和E2分別為彈性模量，GPa；η1和η2分別為黏滯系數，（GPa·h）。

結合式（5）伯格斯體蠕變方程和式（4）非線性黏-彈-塑性體的蠕變方程，可得到當σ≥σs時改進的非線性伯格斯模型的一維蠕變方程表達式

地下巖體通常處于三向受力狀態，在三維應力條件下，煤體內部的應力張量σij可分解為球應力張量σm和偏應力張量Sij，表達式如下［24］

式中 σm為球應力張量，MPa；Sij為偏應力張量，MPa；δij為Kronecker函數。

一般認為，球應力張量σm只能改變物體體積；而偏應力張量Sij只引起形狀變化。因此也可以將應變張量εij分解成球應變張量εm和偏應變張量eij，表達式如下假設煤巖體為各向同性介質，根據廣義虎克定律，三維應力狀態下的本構關系為

式中K為體積模量，GPa；G為剪切模量，GPa.

假設材料的蠕變僅由偏應力張量引起，結合以上各式可得三維應力狀態下改進的非線性伯格斯模型蠕變方程

通常情況下，實驗室內開展的三軸壓縮蠕變試驗多是在等圍壓條件下進行的，即σ2=σ3，可將Sij=（σ2-σ3）代入上式，由此可以得到等圍壓條件下的非線性伯格斯三維蠕變方程

3.3 模型辨識及分析

為驗證該非線性伯格斯模型的適用性，借助Matlab分析軟件對式（12）進行編程，采用模型辨識的方法對原煤三軸蠕變試驗中應力為40和50 MPa條件下具有非衰減蠕變特征的試驗數據進行擬合分析，并與傳統的伯格斯模型進行對比。模型相關參數擬合結果見表2，蠕變試驗數據與擬合曲線結果對比如圖6所示。

表2 改進的非線性伯格斯模型參數擬合結果Table 2 Parameter fitting results of improved nonlinear Burgers model

圖6 擬合曲線與試驗結果對比Fig.6 Comparisons of fitting curves and test data

表2為不同蠕變模型下參數擬合結果，從表2可以看出，采用改進非線性伯格斯模型擬合相關系數平方R2均在0.98以上，擬合精度顯明顯高于傳統伯格斯模型的擬合精度，說明采用改進的非線性伯格斯模型來描述煤樣非衰減蠕變特征是合適的。

結合圖6中不同蠕變模型的擬合曲線與試驗數據的對比結果可以看出，由傳統的伯格斯模型得到的擬合曲線僅能夠反映出煤樣的衰減蠕變和等速蠕變2個階段的變化特征，在進入加速蠕變階段后，擬合曲線仍保持線性發展趨勢，與試驗數據開始發生偏離，由此造成較大的計算誤差。對比而言，采用改進的非線性伯格斯模型能夠較好地呈現出煤樣非衰減蠕變過程中3個階段的變化特征，特別在加速蠕變階段，能夠反映出蠕變加速度隨時間不斷增加地變化規律，這就說明了改進的非線性伯格斯模型具有更高適用性及優越性。

煤體進入加速蠕變階段是預示煤體即將發生失穩破壞的前兆，能夠準確地預測煤體發生失穩破壞及其發生時間對煤礦井下安全生產具有重要的意義。通過對傳統的伯格斯模型進行非線性改進，較好地反映出了煤體非衰減蠕變特征，解決了傳統伯格斯模型無法描述加速蠕變的缺陷；根據建立的理論模型可對煤體失穩的發生時間進行預判，并及時采取有效的防護措施，這對煤礦井下煤巖失穩預測及防護工作都具有重要的理論意義。

4 結 論

1）原煤三軸壓縮蠕變試驗表明不同應力水平下煤樣蠕變特征差異明顯，具有顯著的瞬時變形，隨著載荷的增加，煤樣軸向變形不斷增大，當載荷大于煤體屈服強度后，應力水平越高，煤體越早進入加速蠕變。

2）利用一個非理想牛頓體與彈性體和塑性體進行并聯，得到一個非線性黏-彈-塑性體來表示煤體加速蠕變特征，并將其與伯格斯體串聯得到改進的非線性伯格斯模型，推導得到三維狀態下該非線性伯格斯模型蠕變方程表達式。

3）采用模型辨識方法對改進的非線性伯格斯模型進行分析驗證，結果表明擬合曲線與煤樣蠕變數據高度吻合，能夠成功地反映出煤樣非衰減蠕變過程中減速、等速和加速3個階段的蠕變特征，驗證了該非線性伯格斯模型的正確性和適用性。