基于拓撲優化和尺寸優化的水下耐壓球殼輕量化設計

高 原，黃進浩，王永軍，李 飛

(中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082)

0 引 言

隨著經濟社會的發展和科技的進步，人們對海洋資源的重視和依賴程度逐漸加深，對高性能的深海載人潛水器的需求也越來越迫切。水下耐壓結構作為潛水器的核心部分，其結構性能對潛水器有著重要影響。實際上，大深度載人艙往往采用開孔球殼的形式，較大的開孔（如出入艙口）對球殼的強度和剛度影響較大，需要對其進行加強。

常見的球殼開孔加強形式為圍壁加強，殼板加強，以及圍壁、嵌入厚板組合加強[1]，如圖1所示。這些加強形式由設計人員依據工程經驗設計獲得，在圍壁與球殼，厚板與球殼的交接處容易產生應力集中，對球殼的安全性能造成很大影響。因此，在滿足相關設計規范的要求下對耐壓球殼的加強結構進行優化設計，實現球殼的輕量化，提高球殼的承載能力，降低局部應力集中是一個急需解決的問題。

目前，對于水下耐壓結構的優化研究主要集中在對球殼的尺寸優化。操安喜[2]采用響應面近似模型和遺傳算法對深海載人潛水器耐壓球殼進行了多目標優化設計，得到了一種球殼的優化設計方案。劉峰等[3]針對開孔球殼的穩健性進行了優化研究。在這些方法當中，主要是通過分析比較在已有拓撲構型下不同參數尺寸所對應結構性能的優劣，但由于受到傳統構型和已有設計經驗的限制，在優化設計方面并沒有太大突破。

圖1 耐壓球殼的典型開孔加強形式Fig.1 Typical opening reinforcement form of pressure ball shell

為了獲得輕量化率更高，性能更優的耐壓球殼開孔加強結構，需要研究新的理論設計方法。拓撲優化能獲得結構的拓撲形式，是概念設計階段結構新構型設計的有效方法。目前，拓撲優化已廣泛應用于航空航天，車輛工程，建筑等領域，取得了很好的效果，但是對于水下耐壓結構的拓撲優化則很少有人研究，因此，本文將從拓撲優化的角度對水下耐壓球殼的開孔加強結構進行研究，為水下耐壓結構設計提供一種新思路。

1 拓撲優化設計模型

結構拓撲優化的基本思想是把尋求結構的最優拓撲問題轉換為在給定的設計域內尋求材料的最優分布問題。對于連續體結構的拓撲優化方法主要有均勻法，變密度法，水平集法等。變密度法[4-7]的基本思想是人為引進一種假想的密度可變材料，以每個單元的密度為設計變量，密度的取值范圍為0到1，密度為0時，表示該單元無材料，應當刪去（形成孔洞），密度為1時，表示該單元有材料，應當保留。從而將結構拓撲優化問題轉化為單元材料最優分布設計問題。與其他方法相比，變密度法的優勢在于適應任意形狀的設計域，這對于拓撲優化在實際工程中的應用十分重要。因此，本文采用變密度方法，構造了考慮應力約束和體積約束的耐壓球殼開孔加強結構的拓撲優化模型，并利用相關優化算法進行求解。

連續體結構的拓撲優化通常構造為給定材料體積的最小柔順性問題，即

2 拓撲優化模型的求解

本文借助Optistruct軟件采用MMA法求解拓撲優化問題（1）。MMA法[8-11]適用于目標函數復雜且具有多約束的拓撲優化問題。通過引入移動漸進線，將隱式的優化問題轉化為一系列顯式的更為簡單的嚴格凸的近似子優化問題。在每一步迭代中，通過求解近似的子問題來獲得新的設計變量。在實現MMA算法時，需要引入人工變量，以改善子問題的性態，確保可以獲得可行解。優化問題（1）的數學模型表示如下：

其中：

按照上述方法求解拓撲優化模型（2），即可得到耐壓球殼開孔加強結構處的材料分布。但是，由于拓撲優化結構仍然存在著中間密度單元，無法獲得輪廓清晰，外形規則的拓撲構型，從而無法在實際中加工制造。針對這一問題，采用拓撲優化、尺寸優化聯合進行的方式進行優化設計，已確定最終球殼加強結構的構型。優化流程如圖2所示。

圖2 優化方法流程圖Fig.2 Optimization method flow chart

3 設計實例

本文以國產4 500 m耐壓球殼為研究對象，球殼開孔的初始加強結構采用常規的圍壁加強。圍壁長180 mm，寬150 mm，球殼內徑為2 100 mm，開孔半徑240 mm。首先對球殼劃分網格，為保證網格的質量，以六面體單元為主，為了能夠體現沿耐壓殼體厚度方向的應力變化情況，耐壓殼體沿厚度方向保證至少2層網格。設置單元的邊長為28 mm，共產生36 334個單元，196 378個節點。

耐壓球殼的材料為鈦合金TC4ELI，密度為4.5×103kg/m3，楊氏模量為1.1×105MPa，泊松比為0.34，屈服強度為795 MPa。

施加載荷時，外伸圍壁和球殼表面受到垂直于表面的壓力，壓力大小取為最大工作壓力46 MPa，外伸圍壁開口上方施加利用壓力等效原則計算得到的等效壓力，大小為74.04 MPa。在計算中，殼體需要3點支持，約束6個位移分量，邊界條件對稱設置，這樣既可以消除整個剛體位移又不妨礙相對變形，即在殼體位于軸和坐標軸上的位置取3個節點，坐標軸上的節點1和節點2，，坐標軸上的節點3，，如圖3所示。

圖3 對耐壓球殼施加的載荷及邊界條件Fig.3 The load and boundary conditions applied to the pressure ball shell

3.1 初始結構的靜力分析

對耐壓球殼進行靜力學分析，分析結果如圖4和表1所示。由圖4可知，球殼的等效應力和周向應力的極值點都分布在圍壁開口處，其中，最大峰值應力為732.24 MPa，略低于TC4ELI的屈服強度，同時，在圍壁與球殼的交接處存在應力集中現象。分別在圍壁，球殼，以及圍壁球殼的連接處設置路徑，得到各個位置的平均膜應力，與規范[2]的相關要求進行比較，校核結果如表1所示。

3.2 耐壓球殼的拓撲優化

本文利用Hyperworks Optistruct軟件對球殼進行拓撲優化。其中，球殼部分為非設計域，開孔圍壁部分為設計域。為了獲得最優的開孔加強形式，需要有足夠大的設計空間，因此適當增大圍壁的厚度，另一方面，考慮到開孔圍壁的內側需要安裝艙口蓋，同時，避免在優化過程中圍壁出現孔洞而使優化結果不可用，需要選擇圍壁內側的一層單元設置為非設計域。如圖5所示，淺色區域為設計域，深色區域為非設計域。

圖4 原始模型靜力分析結果Fig.4 Original model static analysis results

表1 球殼強度校核表Tab.1 Spherical shell strength checklist

圖5 拓撲優化模型的設計域與非設計域Fig.5 Design domain and non-design domain of topology optimization model

在拓撲優化的過程中，將柔度最小定義為目標；以拓撲優化結果相對于初始設計空間的體積分數作為約束，選擇多個值作為體積分數的上限，分別進行計算以確定合適的體積分數約束。控制球殼的峰值應力不超過795 MPa，最小尺寸約束不小于40 mm。啟動Optistruct對耐壓球殼進行拓撲優化，經過13次的循環迭代，得到了拓撲優化后的結果，如圖6所示。圖7為目標函數（柔度）的迭代曲線，可以看到前5步迭代下降較快，從6步起到第13步球殼的柔度大小基本保持不變。結構的柔度從減小到，減小了12.7%，說明優化后的結構剛度有了較大提升。圖6為優化后的單元密度云圖，設置單元密度閥值為0.3，故密度小于0.3的單元都被刪去，顯示了球殼的最優材料分布。將球殼的拓撲優化結果與我國自行設計的4 500 m耐壓球殼進行比較，可以發現球殼的開孔加強形式非常相似，從而證明了拓撲優化結果的可行性。

圖6 拓撲優化結果Fig.6 Topology optimization result

圖7 目標函數（柔度）迭代曲線Fig.7 Iteration curve of the Objective function(flexibility)

3.3 開孔加強結構的尺寸優化

通過拓撲優化可以得到球殼開孔加強結構的最佳拓撲構型為錐臺截面，但是要想應用到實際工程當中，需要對拓撲構型進行尺寸優化，以確定最終的結構設計。

本文利用Ansys Workbench中的響應面優化模塊對球殼的開孔加強結構進行尺寸優化。如圖8所示。以錐臺上沿的厚度X1和斜邊的角度X2為設計變量，其中，X1的取值范圍為，X2的取值范圍為。設置完設計變量后，分別計算圍壁的膜應力，膜應力疊加彎曲應力以及等效應力。約束條件分別為：膜應力小于，膜應力疊加彎曲應力小于，峰值等效應力小于。目標函數為耐壓球殼質量最小。

在Workbench中，采用試驗分析的方法，選取30個樣本點分別計算以確定合適的尺寸。計算結束后，軟件會根據用戶的需求選出候選點，并用五角星的個數表示結構的優劣。如圖9所示。

圖8 尺寸優化設計變量Fig.8 Design variable of the size optimization

圖9 尺寸優化Fig.9 Size optimization

從圖9可以得到不同的設計變量參數組合下的球殼質量和應力值。其中，球殼的質量相差不大，而球殼的等效應力值遠小于規范要求的上限，因此考慮根據膜應力的大小從候選點中選擇最終的設計參數組合。錐臺上沿邊長為28 mm，斜面與上沿的夾角為130°。和初始結構相比，優化后的加強結構峰值等效應力下降了15.96%，重量減輕了99.1 kg。

4 結 語

本文論述了一種關于耐壓球殼開孔加強結構的優化設計方法，即聯合使用拓撲優化和尺寸優化方法，可以得到最優開孔加強結構的材料分布。算例表明，通過拓撲優化可以得到最優開孔加強結構的合理形式，通過尺寸優化，可以得到最優開孔加強結構的合理尺度。優化后的加強結構較傳統的加強結構在應力強度和重量兩方面都得到了顯著改善，滿足規范的相關要求，實現了結構輕量化的目的，提高了耐壓球殼的承載能力。該方法為設計人員優化水下結構提供了新的思路和途徑。