集合函數(shù)測試卷

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）

1.已知集合A={x|-2

2.“a>b”是“2a>2b”的????條件.（請?jiān)凇俺浞植槐匾⒈匾怀浞帧⒊浞直匾⒓炔怀浞忠膊槐匾敝羞x擇最為恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)填在橫線上）

3.函數(shù)f（x）=lnx+1x-1的定義域?yàn)????.

4.設(shè)命題p：“若x>2，則x2>4”，則其否命題為??命題.（請?jiān)跈M線上填“真”或“假”）

5.函數(shù)f（x）=12x2-lnx的極小值為????.

6.若冪函數(shù)f（x）=xa2-a-2在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是????.

7.已知函數(shù)f（x）=x+sinx+1，若f（x0）=2，則f（-x0）=????.

8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足x≥0，

x-y+1≤0，

x+y-2≤0，則y-2x的最小值為????.

9.已知函數(shù)f（x）=4x-2x+1+3，x∈[1，2]，則其最大值與最小值的和為????.

10.若直線y=kx與三次函數(shù)f（x）=x3-x2+1的圖象相切，則實(shí)數(shù)k的值為????.

11.若關(guān)于x的不等式ex-ax≥0（e為自然對數(shù)的底）對任意x∈[0，2]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為????.

12.已知x>1，且2x+y=xy+1，則x+2y的最小值為????.

13.已知函數(shù)f（x）=lnx+12ax2（a∈R），對于x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2都有f（x1）-f（x2）x1-x2>2，則a的取值范圍是????.

14.已知函數(shù)f（x）=（1e）x，x≥4，

ef（x+1），x<4（e為自然對數(shù)的底），若函數(shù)g（x）=f（x）-kx有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為????.

二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分）

15.（本小題滿分14分）

設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=13x3+a2x2+（a+1）x無極值，命題q：（x-m）（x-m-1）<0.

（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（2）若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

16.（本小題滿分14分）

已知f（x）=x2-（m+1）x+m，m∈R.

（1）求不等式f（x）<0的解集;

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）x2，x∈[12，2]，求函數(shù)y=g（x）的最小值.

17.（本小題滿分14分）

設(shè)f（x）=x3-3ax+2，a∈R.

（1）若函數(shù)圖象在x=2處切線方程為6x-y+m=0，求實(shí)數(shù)a，m的值;

（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值.

18.（本小題滿分16分）

已知一圓柱形無色玻璃晶體飾品內(nèi)嵌一個(gè)紅色八面體，其中八面體的上下兩個(gè)頂點(diǎn)O1，O2為圓柱的兩底中心，另外四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在圓柱側(cè)面上，且O1ABCD與O2ABCD是兩個(gè)形狀完全相同的正四棱錐.

（1）若圓柱底面圓半徑r=2cm，高h(yuǎn)=4cm，求內(nèi)嵌八面體的體積;

（2）若圓柱的軸截面的周長為2a（a>0，a為常數(shù)），求內(nèi)嵌八面體體積的最大值.

19.（本小題滿分16分）

已知f（x）=ex-12ax2，a∈R，e為自然對數(shù)的底.

（1）若a=1，解不等式f（x）<1;

（2）試討論函數(shù)g（x）=f（x）-1ex的單調(diào)性.

20.（本小題滿分16分）

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2（a>0）.

（1）若a=1，求函數(shù)y=f（x）的極值;

（2）若f（x）+a≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的值;

（3）若存在1≤x1

參考答案

一、填空題

1.{1，2}?2.充分必要?3.（-∞，-1）∪（1，+∞）?4.假?5.12?6.（-1，2）?7.0?8.12?9.14?10.1

11.（-∞，e]?12.5+22?13.[1，+∞）

14.（0，+∞）∪{-e}

二、解答題

15.解：（1）f′（x）=x2+ax+a+1.

若p為真命題，則Δ=a2-4a-4≤0，

解得：2-22≤a≤2+22.

（2）命題q：m

若q是p的充分不必要條件，則m≥2-22

m+1≤2+22，

實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2-22，1+22].

16.解：（1）f（x）=（x-m）（x-1）<0.

1°當(dāng)m=1時(shí)，不等式的解集為;

2°當(dāng)m>1時(shí)，不等式的解集為（1，m）;

3°當(dāng)m<1時(shí)，不等式的解集為（m，1）.

（2）g（x）=x2-（m+1）x+mx2

=m（1x）2-（m+1）1x+1，x∈[12，2]，

設(shè)t=1x∈[12，2]，則y=mt2-（m+1）t+1，t∈[12，2]，

1°當(dāng)m=0時(shí)，y=-t+1，所以ymin=-2+1=-1，

2°當(dāng)m<0時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對稱軸為t=12+12m<12，所以ymin=2m-1，

3°當(dāng)m>0時(shí)，二次函數(shù)的對稱軸為t=12+12m>12，

①當(dāng)12+12m≤2時(shí)，即m≥13時(shí)，ymin=-（m-1）24m，

②當(dāng)12+12m>2時(shí)，即0

綜上所述：ymin=2m-1，m<13

-（m-1）24m，m≥13.

17.解：（1）f（2）=-6a+10，f′（2）=12-3a，

則函數(shù)圖象在x=2處切線方程為y-10+6a=（12-3a）（x-2），

即（12-3a）x-y-14=0，

所以此方程與6x-y+m=0是同一直線方程，

所以12-3a=6

m=-14，解得a=2

m=-14.

（2）f′（x）=3（x2-a），

因?yàn)閤∈[1，2]，所以x2∈[1，4].

1°當(dāng)a≤1時(shí)，f′（x）≥0，所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞增，

所以f（x）min=f（1）=3-3a.

2°當(dāng)a≥4時(shí)，f′（x）≤0，所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞減，

所以f（x）min=f（2）=10-6a.

3°當(dāng)10，

所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，2]上單調(diào)遞增，

所以f（x）min=f（a）=-2aa+2.

綜上所述：f（x）min=3-3a，a≤1

-2aa+2，1

10-6a，a≥4.

18.解：（1）因?yàn)镺1，O2為圓柱的兩底中心，A，B，C，D在圓柱側(cè)面上，且O1ABCD與O2ABCD是兩個(gè)形狀完全相同的正四棱錐，

所以平面ABCD平行于圓柱的底面，ABCD為正方形，且頂點(diǎn)O1到平面ABCD的距離為圓柱高的12，

因?yàn)閞=2，所以2AB2=16，解得：AB2=8，

所以內(nèi)嵌八面體的體積V=2×13×AB2×2=323cm3.

答：內(nèi)嵌八面體的體積為323cm3.

（2）設(shè)AC的長度為x，圓柱的高為h，內(nèi)嵌八面體體積為y，

則2AB2=x2，2x+2h=2a，

y=2×13×AB2×h2=13×AC22×h

=-16x3+16ax2，x∈（0，a）

設(shè)f（x）=-16x3+16ax2，x∈（0，a）

令f′（x）=-12x2+13ax=0，得：x=23a

所以f（x）max=f（23a）=281a3.

答：內(nèi)嵌八面體的體積的最大值為281a3.

19.解：（1）f（x）=ex-12x2，

設(shè)Q（x）=f′（x）=ex-x，令Q′（x）=ex-1=0得：x=0，

所以y=Q（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f′（x）min=Q（0）=1>0，所以y=f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）單調(diào)遞增，

因?yàn)閒（0）=1，所以不等式f（x）<1的解集為（-∞，0）.

（2）g（x）=ex-12ax2-1ex，

g′（x）=（ex-ax）ex-ex（ex-12ax2-1）（ex）2

=ax2-2ax+22ex，

設(shè)h（x）=ax2-2ax+2，x∈R.

1°當(dāng)a=0時(shí)，h（x）=2>0，所以y=g′（x）>0，

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增;

2°當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（a+a2-2aa，a-a2-2aa）上單調(diào)遞增，

在區(qū)間（-∞，a+a2-2aa），（a-a2-2aa，+∞）上單調(diào)遞減;

3°當(dāng)a>0時(shí)，①當(dāng)Δ=4a2-8a≤0時(shí)，即0

函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增.

②當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（a-a2-2aa，a+a2-2aa）上單調(diào)遞減，

在區(qū)間（-∞，a-a2-2aa），（a+a2-2aa，+∞）上單調(diào)遞增.

綜上：1°當(dāng)0≤a≤2時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，

2°當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（a+a2-2aa，a-a2-2aa）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-∞，a+a2-2aa），（a-a2-2aa，+∞）上單調(diào)遞減，

3°當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（a-a2-2aa，a+a2-2aa）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（-∞，a-a2-2aa），（a+a2-2aa，+∞）上單調(diào)遞增.

20.解：（1）若a=1，則f（x）=lnx-x2，x∈（0，+∞），

令f′（x）=1x-2x=0，解得：x=22

所以函數(shù)y=f（x）的極大值為-12ln2-12.

（2）設(shè)F（x）=f（x）+a=lnx-ax2+a，x∈（0，+∞），

令F′（x）=1x-2ax=1-2ax2x=0，解得：x=12a，

函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，12a）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（12a，+∞）上單調(diào)遞減，

所以F（x）max=F（12a）=-12ln2a+a-12≤0，

設(shè)h（a）=-12ln2a+a-12，h′（a）=-12×1a+1=2a-12a，

所以h（a）在區(qū)間（0，12）單調(diào)遞減，在區(qū)間（12，+∞）上單調(diào)遞增，且h（12）=0，

所以a=12.

（3）由f（x1）=f（x2）得：a=lnx2-lnx1x22-x21，

因?yàn)閤2-x1=1，

所以a=ln（x1+1）-lnx1（x1+1）2-x21=ln（x1+1）-lnx12x1+1，

因?yàn)?≤x1

所以x2=x1+1≤3，所以1≤x1≤2，

設(shè)h（x）=ln（x+1）-lnx2x+1，x∈[1，2]，

h′（x）=（1x+1-1x）（2x+1）-2[ln（x+1）-lnx]（2x+1）2=-2x+1x（x+1）-2lnx+1x（2x+1）2，

因?yàn)閤∈[1，2]，所以x+1x>1，

所以lnx+1x>0，2x+1x（x+1）>0，所以h′（x）<0，

所以函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞減，

所以15ln32≤h（x）≤13ln2，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[15ln32，13ln2].